En geometría , se dice que un conjunto de puntos es concíclico (o cocíclico ) si se encuentran en un círculo común . Todos los puntos concíclicos están a la misma distancia del centro del círculo. Tres puntos en el plano que no caen todos en línea recta son concíclicos, pero cuatro o más de esos puntos en el plano no son necesariamente concíclicos.
Bisectores
En general, el centro O de un círculo en el que se encuentran los puntos P y Q debe ser tal que OP y OQ sean distancias iguales. Por lo tanto, O debe estar en la bisectriz perpendicular del segmento de recta PQ . [1] Para n puntos distintos hay n ( n - 1) / 2 bisectrices, y la condición concyclic es que todos ellos se encuentran en un solo punto, el centro O .
Polígonos cíclicos
triangulos
Los vértices de cada triángulo forman un círculo. (Debido a esto, algunos autores definen "concíclico" solo en el contexto de cuatro o más puntos en un círculo). [2] El círculo que contiene los vértices de un triángulo se llama el círculo circunscrito del triángulo. Varios otros conjuntos de puntos definidos a partir de un triángulo también son concíclicos, con diferentes círculos; véase el círculo de nueve puntos [3] y el teorema de Lester . [4]
El radio del círculo en el que se encuentra un conjunto de puntos es, por definición, el radio del círculo circunferencial de cualquier triángulo con vértices en tres de esos puntos. Si las distancias por pares entre tres de los puntos son una , b , y c , entonces el radio del círculo es
La ecuación de la circunferencia de un triángulo y las expresiones para el radio y las coordenadas del centro del círculo, en términos de las coordenadas cartesianas de los vértices se dan aquí y aquí .
Cuadriláteros
Un cuadrilátero ABCD con vértices concíclicos se llama cuadrilátero cíclico ; esto sucede si y solo si (el teorema del ángulo inscrito ) que es cierto si y solo si los ángulos opuestos dentro del cuadrilátero son suplementarios . [5] Un cuadrilátero cíclico con lados sucesivos a , b , c , d y semiperímetro s = ( a + b + c + d ) / 2 tiene su circunradio dado por [6] [7]
una expresión que fue derivada por el matemático indio Vatasseri Parameshvara en el siglo XV.
Según el teorema de Ptolomeo , si un cuadrilátero está dado por las distancias por pares entre sus cuatro vértices A , B , C y D en orden, entonces es cíclico si y solo si el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de lados opuestos :
Si dos líneas, una que contiene el segmento AC y la otra que contiene el segmento BD , se cruzan en X , entonces los cuatro puntos A , B , C , D son concíclicos si y solo si [8]
La intersección X puede ser interna o externa al círculo. Este teorema se conoce como potencia de un punto .
Polígonos
De manera más general, un polígono en el que todos los vértices son concíclicos se denomina polígono cíclico . Un polígono es cíclico si y solo si las bisectrices perpendiculares de sus bordes son concurrentes . [9]
Variaciones
Algunos autores consideran que los puntos colineales (conjuntos de puntos que pertenecen todos a una sola línea) son un caso especial de puntos concíclicos, y la línea se ve como un círculo de radio infinito. Este punto de vista es útil, por ejemplo, cuando se estudia la inversión a través de un círculo y las transformaciones de Möbius , ya que estas transformaciones conservan la conciclicidad de puntos solo en este sentido extenso. [10]
En el plano complejo (formado mediante la visualización de las partes real e imaginaria de un número complejo como las x y Y coordenadas cartesianas del plano), concyclicity tiene una formulación particularmente simple: cuatro puntos en el plano complejo son o bien concyclic o colineales si y sólo si su relación cruzada es un número real . [11]
Otras propiedades
Un conjunto de cinco o más puntos es concíclico si y solo si cada subconjunto de cuatro puntos es concíclico. [12] Esta propiedad se puede considerar como un análogo de la conciclicidad de la propiedad de Helly de los conjuntos convexos.
Ejemplos de
triangulos
En cualquier triángulo, los siguientes nueve puntos son concíclicos en lo que se llama el círculo de nueve puntos : los puntos medios de los tres bordes, los pies de las tres altitudes y los puntos a medio camino entre el ortocentro y cada uno de los tres vértices.
El teorema de Lester establece que en cualquier triángulo escaleno , los dos puntos de Fermat , el centro de nueve puntos y el circuncentro son concíclicos.
Si se dibujan líneas a través del punto de Lemoine paralelas a los lados de un triángulo, entonces los seis puntos de intersección de las líneas y los lados del triángulo son concíclicos, en lo que se llama el círculo de Lemoine .
El círculo de van Lamoen asociado con cualquier triángulo dadocontiene los circuncentros de los seis triángulos que se definen dentropor sus tres medianas .
El circuncentro de un triángulo , su punto Lemoine y sus dos primeros puntos Brocard son concíclicos, siendo el segmento desde el circuncentro al punto Lemoine un diámetro . [13]
Otros polígonos
Un polígono se define como cíclico si sus vértices son todos concíclicos. Por ejemplo, todos los vértices de un polígono regular de cualquier número de lados son concíclicos.
Un polígono tangencial es aquel que tiene un círculo inscrito tangente a cada lado del polígono; estos puntos de tangencia son por tanto concíclicos en el círculo inscrito.
Un cuadrilátero convexo es ortodiagonal (tiene diagonales perpendiculares) si y solo si los puntos medios de los lados y los pies de las cuatro altitudes son ocho puntos concíclicos, en lo que se llama el círculo de ocho puntos .
Referencias
- ^ Libeskind, Shlomo (2008), geometría euclidiana y transformacional: una investigación deductiva , Jones & Bartlett Learning, p. 21, ISBN 9780763743666/
- ^ Elliott, John (1902), geometría elemental , Swan Sonnenschein & co., P. 126.
- ^ Isaacs, I. Martin (2009), Geometría para estudiantes universitarios , textos de pregrado puros y aplicados, 8 , American Mathematical Society, p. 63, ISBN 9780821847947.
- ^ Yiu, Paul (2010), "Los círculos de Lester, Evans, Parry y sus generalizaciones" (PDF) , Forum Geometricorum , 10 : 175-209, MR 2868943.
- ^ Pedoe, Dan (1997), Circles: A Mathematical View , MAA Spectrum (2ª ed.), Cambridge University Press, p. xxii, ISBN 9780883855188.
- ^ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2007), "Sobre las diagonales de un cuadrilátero cíclico" (PDF) , Forum Geometricorum , 7 : 147–9
- ^ Hoehn, Larry (marzo de 2000), "Circumradius of a cyclic quadrilateral", Mathematical Gazette , 84 (499): 69–70, JSTOR 3621477
- ^ Bradley, Christopher J. (2007), El álgebra de la geometría: coordenadas cartesianas, areales y proyectivas , alta percepción, p. 179, ISBN 1906338000, OCLC 213434422
- ^ Byer, Owen; Lazebnik, Felix; Smeltzer, Deirdre L. (2010), Métodos para la geometría euclidiana , Asociación Matemática de América, p. 77, ISBN 9780883857632.
- ^ Zwikker, C. (2005), La geometría avanzada de las curvas planas y sus aplicaciones , Publicaciones de Courier Dover, p. 24, ISBN 9780486442761.
- ^ Hahn, Liang-shin (1996), Números complejos y geometría , MAA Spectrum (2ª ed.), Cambridge University Press, pág. 65, ISBN 9780883855102.
- ^ Pedoe, Dan (1988), Geometría: Un curso completo , Publicaciones de Courier Dover, p. 431, ISBN 9780486658124.
- ^ Scott, JA "Algunos ejemplos del uso de coordenadas de área en geometría triangular", Mathematical Gazette 83, noviembre de 1999, 472–477.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Concyclic" . MathWorld .
- Cuatro puntos concíclicos de Michael Schreiber, The Wolfram Demonstrations Project .