En matemáticas , un conjunto de Caccioppoli es un conjunto cuyo límite es medible y tiene (al menos localmente ) una medida finita . Un sinónimo es un conjunto de perímetro finito (localmente) . Básicamente, un conjunto es un conjunto de Caccioppoli si su función característica es una función de variación acotada .
Historia
El concepto básico de un conjunto de Caccioppoli fue introducido por primera vez por el matemático italiano Renato Caccioppoli en el artículo ( Caccioppoli 1927 ): considerando un conjunto plano o una superficie definida en un conjunto abierto en el plano , definió su medida o área como la variación total en el sentido de Tonelli de sus funciones definitorias , es decir, de sus ecuaciones paramétricas , siempre que esta cantidad estuviera acotada . La medida del límite de un conjunto se definió como una función funcional , precisamente una función de conjunto , por primera vez: además, al estar definida en conjuntos abiertos , se puede definir en todos los conjuntos de Borel y su valor se puede aproximar por los valores que adquiere una red creciente de subconjuntos . Otra propiedad claramente declarada (y demostrada) de este funcional fue su semicontinuidad inferior .
En el trabajo ( Caccioppoli 1928 ) precisó utilizando una malla triangular como una red creciente que se aproxima al dominio abierto, definiendo variaciones positivas y negativas cuya suma es la variación total, es decir, el área funcional . Su punto de vista inspirador, como admitió explícitamente, fueron los de Giuseppe Peano , como lo expresa la Medida Peano-Jordan : asociar a cada porción de una superficie un área plana orientada de manera similar a como se asocia una cuerda aproximada a una curva . Además, otro tema encontrado en esta teoría fue la extensión de un funcional desde un subespacio a todo el espacio ambiental : el uso de teoremas que generalizan el teorema de Hahn-Banach se encuentra con frecuencia en la investigación de Caccioppoli. Sin embargo, el significado restringido de variación total en el sentido de Tonelli agregó mucha complicación al desarrollo formal de la teoría, y el uso de una descripción paramétrica de los conjuntos restringió su alcance.
Lamberto Cesari introdujo la generalización "correcta" de funciones de variación limitada al caso de varias variables solo en 1936: [1] quizás, esta fue una de las razones que indujeron a Caccioppoli a presentar una versión mejorada de su teoría solo casi 24 años después. , en la charla ( Caccioppoli 1953 ) en el IV Congreso de la UMI en octubre de 1951, seguida de cinco notas publicadas en el Rendiconti de la Accademia Nazionale dei Lincei . Estas notas fueron duramente criticadas por Laurence Chisholm Young en Mathematical Reviews . [2]
En 1952 Ennio de Giorgi presentó sus primeros resultados, el desarrollo de las ideas de Caccioppoli, en la definición de la medida de los límites de conjuntos en el Salzburgo Congreso de la Sociedad Austríaca matemática: obtuvo estos resultados mediante el uso de un operador de suavizado, análogo a un mollifier , construido a partir de la función gaussiana , probando independientemente algunos resultados de Caccioppoli. Probablemente fue llevado a estudiar esta teoría por su maestro y amigo Mauro Picone , quien también había sido el maestro de Caccioppoli y también era su amigo. De Giorgi conoció a Caccioppoli en 1953 por primera vez: durante su encuentro, Caccioppoli expresó un profundo aprecio por su trabajo, comenzando su amistad de por vida. [3] El mismo año publicó su primer artículo sobre el tema, es decir ( De Giorgi 1953 ): sin embargo, este artículo y el que le siguió de cerca no atrajeron mucho interés de la comunidad matemática. Fue sólo con el artículo ( De Giorgi 1954 ), revisado de nuevo por Laurence Chisholm Young en Mathematical Reviews, [4] que su enfoque de conjuntos de perímetro finito se hizo ampliamente conocido y apreciado: también, en la revisión, Young revisó su anterior crítica a la obra de Caccioppoli.
El último artículo de De Giorgi sobre la teoría de los perímetros se publicó en 1958: en 1959, tras la muerte de Caccioppoli, comenzó a llamar a los conjuntos de perímetro finito "conjuntos de Caccioppoli". Dos años después, Herbert Federer y Wendell Fleming publicaron su artículo ( Federer & Fleming 1960 ), cambiando el enfoque de la teoría. Básicamente, introdujeron dos nuevos tipos de corrientes , respectivamente corrientes normales y corrientes integrales : en una serie posterior de artículos y en su famoso tratado, [5] Federer mostró que los conjuntos de Caccioppoli son corrientes normales de dimensión. en -Espacios euclidianos dimensionales . Sin embargo, incluso si la teoría de los conjuntos de Caccioppoli puede estudiarse en el marco de la teoría de las corrientes , se acostumbra estudiarla a través del enfoque "tradicional" utilizando funciones de variación acotada , como las diversas secciones que se encuentran en muchas monografías importantes en testifican las matemáticas y la física matemática . [6]
Definicion formal
En lo que sigue, la definición y propiedades de funciones de variación acotada en el-se utilizará el ajuste dimensional.
Definición caccioppoli
Definición 1 . Dejarser un subconjunto abierto de y deja ser un conjunto Borel . El perímetro de en se define de la siguiente manera
dónde es la función característica de. Es decir, el perímetro de en un set abierto se define como la variación total de su función característica en ese conjunto abierto. Si, luego escribimos para el perímetro (global).
Definición 2 . El conjunto Borel es un conjunto de Caccioppoli si y solo si tiene un perímetro finito en cada subconjunto abierto acotado de , es decir
- cuando sea está abierto y acotado.
Por tanto, un conjunto de Caccioppoli tiene una función característica cuya variación total está acotada localmente. De la teoría de funciones de variación acotada se sabe que esto implica la existencia de una medida de Radón con valores vectoriales tal que
Como se señaló para el caso de funciones generales de variación acotada , esta medida vectorial es el gradiente distribucional o débil de. La medida de variación total asociada con se denota por , es decir, para cada set abierto nosotros escribimos por .
Definición de Giorgi
En sus artículos ( De Giorgi 1953 ) y ( De Giorgi 1954 ), Ennio de Giorgi introduce el siguiente operador de suavizado , análogo a la transformada de Weierstrass en el caso unidimensional
Como se puede probar fácilmente, es una función fluida para todos, tal que
Además, su gradiente está bien definido en todas partes, al igual que su valor absoluto.
Una vez definida esta función, De Giorgi da la siguiente definición de perímetro :
Definición 3 . Dejarser un subconjunto abierto de y deja ser un conjunto Borel . El perímetro de en es el valor
En realidad, De Giorgi consideró el caso : sin embargo, la extensión al caso general no es difícil. Puede demostrarse que las dos definiciones son exactamente equivalentes: para una prueba, véanse los artículos de De Giorgi ya citados o el libro ( Giusti 1984 ). Ahora que ha definido lo que es un perímetro, De Giorgi da la misma definición 2 de lo que es un conjunto de perímetro finito (localmente) .
Propiedades básicas
Las siguientes propiedades son las propiedades ordinarias que se supone que tiene la noción general de perímetro :
- Si luego , con igualdad si y solo si el cierre de es un subconjunto compacto de .
- Para dos conjuntos Cacciopoli cualesquiera y , la relación se mantiene, con igualdad si y solo si , dónde es la distancia entre conjuntos en el espacio euclidiano .
- Si la medida de Lebesgue de es , luego : esto implica que si la diferencia simétrica de dos conjuntos tiene cero medida de Lebesgue, los dos conjuntos tienen el mismo perímetro, es decir .
Nociones de límite
Para cualquier conjunto de Caccioppoli dado existen dos cantidades analíticas asociadas naturalmente: la medida de radón con valores vectoriales y su medida de variación total . Dado que
es el perímetro dentro de cualquier conjunto abierto , uno debe esperar que solo debería de alguna manera dar cuenta del perímetro de .
El límite topológico
Es natural intentar comprender la relación entre los objetos , , y el límite topológico . Hay un lema elemental que garantiza que el soporte (en el sentido de distribuciones ) de, y por lo tanto también , siempre está contenido en:
Lema . El apoyo de la medida del radón con valores vectorialeses un subconjunto del límite topológico de .
Prueba . Para ver esto, elige: luego pertenece al conjunto abierto y esto implica que pertenece a un barrio abierto contenido en el interior de o en el interior de . Dejar. Si dónde es el cierre de, luego por y
Asimismo, si luego por entonces
Con arbitrario se sigue que está fuera del apoyo de .
El límite reducido
El límite topológico resulta ser demasiado tosco para los conjuntos de Caccioppoli porque su medida de Hausdorff compensa en exceso el perímetrodefinido anteriormente. De hecho, el conjunto de Caccioppoli
que representa un cuadrado junto con un segmento de línea que sobresale a la izquierda tiene un perímetro , es decir, se ignora el segmento de línea extraño, mientras que su límite topológico
tiene medida de Hausdorff unidimensional .
Por tanto, el límite "correcto" debería ser un subconjunto de . Definimos:
Definición 4 . El límite reducido de un conjunto de Caccioppoli se denota por y se define como igual a la colección de puntos en el que el límite:
existe y tiene una longitud igual a uno, es decir .
Se puede observar que según el teorema de radón-Nikodimio, el límite reducido está necesariamente contenido en el apoyo de , que a su vez está contenido en el límite topológico como se explica en la sección anterior. Es decir:
Las inclusiones anteriores no son necesariamente iguales, como muestra el ejemplo anterior. En ese ejemplo, es el cuadrado con el segmento sobresaliendo, es el cuadrado, y es el cuadrado sin sus cuatro esquinas.
Teorema de de Giorgi
Por conveniencia, en esta sección tratamos solo el caso en el que , es decir, el conjunto tiene (globalmente) un perímetro finito. El teorema de De Giorgi proporciona una intuición geométrica para la noción de límites reducidos y confirma que es la definición más natural para los conjuntos de Caccioppoli al mostrar
es decir, que su medida de Hausdorff es igual al perímetro del conjunto. El enunciado del teorema es bastante extenso porque interrelaciona varias nociones geométricas de una sola vez.
Teorema . Suponeres un set de Caccioppoli. Entonces en cada punto del límite reducido existe una multiplicidad un espacio tangente aproximado de , es decir, un subespacio codimensión-1 de tal que
para cada continuo, con soporte compacto . De hecho, el subespacioes el complemento ortogonal del vector unitario
definido previamente. Este vector unitario también satisface
localmente en , por lo que se interpreta como un vector normal unitario que apunta hacia adentro aproximado al límite reducido. Finalmente,es (n-1) - rectificable y la restricción de la medida de Hausdorff (n-1) -dimensional a es , es decir
- para todos los sets de Borel .
En otras palabras, hasta -medida cero el límite reducido es el conjunto más pequeño en el que esta apoyado.
Aplicaciones
Una fórmula de Gauss-Green
De la definición de la medida de radón vectorial y de las propiedades del perímetro, la siguiente fórmula es cierta:
Ésta es una versión del teorema de divergencia para dominios con límite no uniforme . El teorema de De Giorgi se puede utilizar para formular la misma identidad en términos del límite reducido y el vector normal aproximado de la unidad que apunta hacia adentro . Precisamente, se cumple la siguiente igualdad
Ver también
- Teoría de la medida geométrica
- Teorema de divergencia
- Integral de Pfeffer
Notas
- ^ En el periódico ( Cesari 1936 ). Consulte las entradas " Variación limitada " y " Variación total " para obtener más detalles.
- ^ Ver MR 56067 .
- ↑ Duró hasta la trágica muerte de Caccioppoli en 1959.
- ^ Ver MR0062214 .
- ^ Ver ( Federer 1969 ) .
- ^ Consulte lasección" Referencias ".
Referencias
Referencias históricas
- Ambrosio, Luigi (2010), "La teoria dei perimetri di Caccioppoli – De Giorgi ei suoi più recenti sviluppi" [La teoría de los perímetros De Giorgi-Caccioppoli y sus desarrollos más recientes], Rendiconti Lincei - Matematica e Applicazioni , 9, 21 ( 3): 275–286, doi : 10.4171 / RLM / 572 , MR 2677605 , Zbl 1195.49052. Un artículo que examina la historia de la teoría de conjuntos de perímetro finito, desde el artículo seminal de Renato Caccioppoli y las contribuciones de Ennio De Giorgi a algunos desarrollos más recientes y problemas abiertos en espacios de medida métrica, en grupos de Carnot y en Gauss de dimensión infinita. espacios.
- Caccioppoli, Renato (1927), "Sulla quadratura delle superfici piane e curve" [En la cuadratura de superficies planas y curvas], Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Rendiconti. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , VI (en italiano), 6 : 142–146, JFM 53.0214.02. El primer artículo que contiene el concepto fundamental de lo que es un conjunto de Caccioppoli.
- Caccioppoli, Renato (1928), "Sulle coppie di funzioni a variazione limitata" [Sobre pares de funciones de variación acotada], Rendiconti dell'Accademia di Scienze Fisiche e Matematiche di Napoli , 3 (en italiano), 34 : 83–88, JFM 54.0290.04. El trabajo donde Caccioppoli hizo riguroso y desarrolló los conceptos introducidos en el artículo anterior ( Caccioppoli 1927 ).
- Caccioppoli, Renato (1953), "Elementi di una teoria generale dell'integrazione k -dimensionale en uno spazio n -dimensionale", Atti Congresso IV UMI, Taormina, Octubre 1.951 [ Elementos de una teoría general de la k integración -dimensional en un n -espacio dimensional ] (en italiano), 2 , Roma : Edizioni Cremonese (distribuido por Unione Matematica Italiana ), págs. 41–49, MR 0056067 , Zbl 0051.29402.El primer artículo que detalla la teoría del perímetro finito en un escenario bastante completo.
- Caccioppoli, Renato (1963), Opere scelte [ Artículos seleccionados ], Roma : Edizioni Cremonese (distribuido por Unione Matematica Italiana ), págs. XXX + 434 (vol. 1), 350 (vol. 2), ISBN 88-7083-505-7, Zbl 0112.28201. Una selección de los trabajos científicos de Caccioppoli con una biografía y un comentario de Mauro Picone .
- Cesari, Lamberto (1936), "Sulle funzioni a variazione limitata" [Sobre las funciones de variación acotada], Annali della Scuola Normale Superiore , Serie II (en italiano), 5 (3-4): 299-313, MR 1556778 , Zbl 0014.29605. Disponible en Numdam . El artículo de la línea divisoria de aguas de Cesari, donde extiende el ahora llamado concepto de variación del plano Tonelli para incluir en la definición una subclase de la clase de funciones integrables.
- De Giorgi, Ennio (1953), "Definizione ed espressione analitica del perimetro di un insieme" [Definición y expresión analítica del perímetro de un conjunto], Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Rendiconti. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , VIII (en italiano), 14 : 390–393, MR 0056066 , Zbl 0051.29403. La primera nota publicada por De Giorgi que describe su acercamiento a los conjuntos de Caccioppoli.
- De Giorgi, Ennio (1954), "Su una teoria generale della misura ( r -1) -dimensionale in uno spazio ad r dimensioni" [Sobre una teoría general de ( r -1) -medida dimensional en el espacio r -dimensional], Annali di Matematica Pura ed Applicata , Serie IV (en italiano), 36 (1): 191–213, doi : 10.1007 / BF02412838 , hdl : 10338.dmlcz / 126043 , MR 0062214 , S2CID 122418733 , Zbl 0055.28504. La primera exposición completa de De Giorgi de la teoría de conjuntos de Caccioppoli.
- Federer, Herbert ; Fleming, Wendell H. (1960), "Corrientes normales e integrales", Annals of Mathematics , Serie II, 72 (4): 458–520, doi : 10.2307 / 1970227 , JSTOR 1970227 , MR 0123260 , Zbl 0187.31301. El primer artículo de Herbert Federer que ilustra su aproximación a la teoría de los perímetros basada en la teoría de las corrientes.
- Miranda, Mario (2003), "Caccioppoli sets" , Atti della Accademia Nazionale dei Lincei, Rendiconti Lincei, Matematica e Applicazioni , IX, 14 (3): 173-177, MR 2064264 , Zbl 1072.49030 , archivado desde el original en 2006- 06-04 , consultado el 14 de enero de 2007. Un artículo que esboza la historia de la teoría de conjuntos de perímetro finito, desde el artículo seminal de Renato Caccioppoli hasta los principales descubrimientos.
Referencias científicas
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- Giusti, Enrico (1984), Superficies mínimas y funciones de variaciones limitadas , Monografías en matemáticas, 80 , Basilea - Boston - Stuttgart : Birkhäuser Verlag , págs. Xii + 240, ISBN 0-8176-3153-4, MR 0775682 , Zbl 0.545,49018, en particular la parte I, capítulo 1 " Funciones de variación acotada y conjuntos de Caccioppoli ". Una buena referencia sobre la teoría de los conjuntos de Caccioppoli y su aplicación al problema de la superficie mínima .
- Hudjaev, Sergei Ivanovich; Vol'pert, Aizik Isaakovich (1985), Análisis en clases de funciones discontinuas y ecuaciones de la física matemática , Mecánica: análisis, 8 , Dordrecht-Boston-Lancaster: Martinus Nijhoff Publishers, págs. Xviii + 678, ISBN 90-247-3109-7, MR 0785938 , Zbl 0.564,46025, en particular parte II, capítulo 4 párrafo 2 " Conjuntos con perímetro finito ". Uno de los mejores libros sobre las funciones de BV y su aplicación a problemas de física matemática , particularmente cinética química .
- Maz'ya, Vladimir G. (1985), Sobolev Spaces , Berlín - Heidelberg - Nueva York : Springer-Verlag , págs. Xix + 486, ISBN 3-540-13589-8, MR 0817985 , Zbl 0.692,46023; en particular el capítulo 6, "Funciones de encendido en el espacio BV (Ω) ". Una de las mejores monografías sobre la teoría de los espacios de Sobolev .
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enlaces externos
- O'Neil, Toby Christopher (2001) [1994], "Teoría de la medida geométrica" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press
- Zagaller, Victor Abramovich (2001) [1994], "Perímetro" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Función de variación limitada en Encyclopedia of Mathematics