En la teoría de la representación hay varias bases que se denominan "canónicas", por ejemplo, la base canónica de Lusztig y la base cristalina de Kashiwara estrechamente relacionada en los grupos cuánticos y sus representaciones. Existe un concepto general que subyace a estas bases:
Considere el anillo de polinomios integrales de Laurent con sus dos subanillos y el automorfismo definido por .
Una estructura precanónica en un libre-módulo consiste en
- Una base estándar de ,
- Un intervalo de orden parcial finito en, es decir, es finito para todos ,
- Una operación de dualización, es decir, una biyección. de orden dos que es - semilineal y será denotado por también.
Si se da una estructura precanónica, entonces se puede definir el submódulo de .
Una base canónica en de la estructura precanónica es entonces un -base de que satisface:
- y
para todos . Una base canónica en se define análogamente como una base que satisface
- y
para todos . El nombre "en"alude al hecho y de ahí la "especialización" corresponde al cociente de la relación .
Se puede demostrar que existe como máximo una base canónica en v = 0 (y como máximo una en) para cada estructura precanónica. Una condición suficiente para la existencia es que los polinomios definido por satisfacer y .
Una base canónica en v = 0 () induce un isomorfismo de a ( respectivamente).
Ejemplos de
Grupos cuánticos
La base canónica de los grupos cuánticos en el sentido de Lusztig y Kashiwara son bases canónicas en .
Álgebras de Hecke
Dejar sé un grupo Coxeter . El álgebra de Iwahori-Hecke correspondiente tiene la base estándar , el grupo está parcialmente ordenado por el orden de Bruhat que es intervalo finito y tiene una operación de dualización definida por. Esta es una estructura precanónica en que satisfaga la condición suficiente anterior y la base canónica correspondiente de a es la base Kazhdan – Lusztig
con siendo los polinomios Kazhdan – Lusztig .
Si nos dan una matriz n × n y deseo encontrar una matriz en forma normal de Jordan , similar a, estamos interesados sólo en conjuntos de vectores propios generalizados linealmente independientes . Una matriz en la forma normal de Jordan es una "matriz casi diagonal", es decir, lo más cerca posible de la diagonal. Una matriz diagonal es un caso especial de una matriz en forma normal de Jordan. Un vector propio ordinario es un caso especial de un vector propio generalizado.
Cada matriz n × nposee n vectores propios generalizados linealmente independientes. Los vectores propios generalizados correspondientes a valores propios distintos son linealmente independientes. Si es un valor propio de de multiplicidad algebraica , luego tendrá vectores propios generalizados linealmente independientes correspondientes a .
Para cualquier matriz n × n dada, hay infinitas formas de elegir los n vectores propios generalizados linealmente independientes. Si se eligen de una manera particularmente juiciosa, podemos usar estos vectores para demostrar quees similar a una matriz en forma normal de Jordan. En particular,
Definición: Un conjunto de n vectores propios generalizados linealmente independientes es una base canónica si está compuesto enteramente por cadenas de Jordan.
Por lo tanto, una vez que hemos determinado que un vector propio generalizado de rango m tiene una base canónica, se deduce que los vectores m - 1 que están en la cadena de Jordan generados por también están en la base canónica. [2]
Cálculo
Dejar ser un valor propio de de multiplicidad algebraica . Primero, encuentre los rangos (rangos de la matriz) de las matrices. El enterose determina que es el primer número entero para el que tiene rango ( siendo n el número de filas o columnas de, es decir, es n × n ).
Ahora define
La variable designa el número de autovectores generalizados linealmente independientes de rango k (rango de autovector generalizado; ver autovector generalizado ) correspondiente al autovalor que aparecerá en una base canónica para . Tenga en cuenta que
Una vez que hemos determinado el número de autovectores generalizados de cada rango que tiene una base canónica, podemos obtener los vectores explícitamente (ver autovector generalizado ). [3]
Ejemplo
Este ejemplo ilustra una base canónica con dos cadenas de Jordan. Desafortunadamente, es un poco difícil construir un ejemplo interesante de orden inferior. [4] La matriz
tiene valores propios y con multiplicidades algebraicas y , pero multiplicidades geométricas y .
Para tenemos
- tiene rango 5,
- tiene rango 4,
- tiene rango 3,
- tiene rango 2.
Por lo tanto
Por lo tanto, una base canónica para tendrá, correspondiente a un vector propio generalizado de cada uno de los rangos 4, 3, 2 y 1.
Para tenemos
- tiene rango 5,
- tiene rango 4.
Por lo tanto
Por lo tanto, una base canónica para tendrá, correspondiente a un vector propio generalizado, cada uno de los rangos 2 y 1.
Una base canónica para es
es el vector propio ordinario asociado con . y son vectores propios generalizados asociados con . es el vector propio ordinario asociado con . es un vector propio generalizado asociado con .
Una matriz en forma normal de Jordan, similar a se obtiene de la siguiente manera:
donde la matriz es una matriz modal generalizada para y . [5]