Álgebra de Iwahori-Hecke

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En matemáticas, el álgebra de Iwahori-Hecke , o álgebra de Hecke , llamada así por Erich Hecke y Nagayoshi Iwahori , es una deformación del álgebra de grupo de un grupo de Coxeter .

Las álgebras de Hecke son cocientes de los anillos de grupo de los grupos de trenzas de Artin . Esta conexión encontró una aplicación espectacular en la construcción de Vaughan Jones de nuevos invariantes de nudos . Las representaciones de las álgebras de Hecke llevaron al descubrimiento de grupos cuánticos por Michio Jimbo . Michael Freedman propuso las álgebras de Hecke como base para la computación cuántica topológica .

Álgebras de Hecke de grupos de Coxeter

Comience con los siguientes datos:

( W , S ) es un sistema de Coxeter con la matriz de Coxeter M = ( m _st ),
R es un anillo conmutativo con identidad.
{ q _s | s ∈ S } es una familia de unidades de R tal que q _s = q _t siempre que s y t se conjugan en W
A es el anillo de polinomios de Laurent sobre Z con indeterminados q _s (y la restricción anterior de que q _s = q _t siempre que s y t estén conjugados), es decir A = Z [ q^{± 1}
_s]

Álgebras de Hecke multiparamétricas

El álgebra de Hecke multiparamétrica H _R (W, S, q) es un álgebra R asociativa unital con generadores T _s para todos s ∈ S y relaciones:

Relaciones Braid: T _s T _t T _s ... = T _t T _s T _t ..., donde cada lado tiene m _st <∞ factores y s, t pertenecen a S .
Relación cuadrática: Para todos los s en S tenemos: ( T _s - q _s ) ( T _s + 1) = 0.

Advertencia : en libros y artículos posteriores, Lusztig usó una forma modificada de la relación cuadrática que dice Después de extender los escalares para incluir las potencias de medio entero q ${\ Displaystyle (T_ {s} -q_ {s} ^ {1/2}) (T_ {s} + q_ {s} ^ {- 1/2}) = 0.}$ ^{± ½}
_sel álgebra de Hecke resultante es isomórfica a la definida previamente (pero la T _s aquí corresponde a q^-½
_s T _s en nuestra notación). Si bien esto no cambia la teoría general, muchas fórmulas se ven diferentes.

Álgebras genéricas multiparamétricas de Hecke

H _A (W, S, q) es el álgebra de Hecke multiparamétrica genérica . Esta álgebra es universal en el sentido de que todos los demás multiparamétrico Hecke álgebra se puede obtener de ella a través de la (única) homomorfismo de anillos A → R que mapea la indeterminada q _s ∈ A a la unidad de q _s ∈ R . Este homomorfismo convierte R en un álgebra A y la extensión escalar H _A (W, S) ⊗ _A R es canónicamente isomorfa al álgebra de Hecke H _R (W, S, q)como se construyó arriba. A este proceso se le llama especialización del álgebra genérica.

Álgebras de Hecke de un parámetro

Si uno se especializa cada indeterminada q _s a una sola indeterminada q sobre los números enteros (o q^½
_sa q ^½ respectivamente), entonces se obtiene el llamado álgebra de Hecke genérica de un parámetro de (W, S) .

Dado que en los grupos de Coxeter con individuales diagramas Dynkin de cordones (por ejemplo, grupos de tipo A y D) cada par de generadores de Coxeter se conjuga, la restricción de la mencionada anteriormente q _s siendo igual q _t siempre que s y t se conjugan en W fuerzas la multiparamétricos y las álgebras de Hecke de un parámetro sean iguales. Por lo tanto, también es muy común mirar solo álgebras de Hecke de un parámetro.

Grupos de coxeter con pesas

Si se define una función de peso integral en W (es decir, un mapa L: W → Z con L (vw) = L (v) + L (w) para todo v, w ∈ W con l (vw) = l (v) + l (w) ), y luego una especialización común a mirar es la inducida por el homomorfismo q _s ↦ q ^{L (s)} , donde q es un solo indeterminado sobre Z .

Si se usa la convención con potencias de medio entero, entonces también se puede permitir la función de peso L: W → ½ Z. Por razones técnicas, a menudo también es conveniente considerar solo las funciones de ponderación positivas.

Propiedades

1. El álgebra de Hecke tiene una base sobre A indexada por los elementos del grupo W de Coxeter . En particular, H es un módulo A gratuito . Si es una descomposición reducida de w ∈ W , entonces . Esta base del álgebra de Hecke a veces se denomina base natural . El elemento neutro de W corresponde a la identidad de H : T _e = 1. ${\ Displaystyle (T_ {w}) _ {w \ in W}}$ ${\ Displaystyle w = s_ {1} s_ {2} \ ldots s_ {n}}$ ${\ Displaystyle T_ {w} = T_ {s_ {1}} T_ {s_ {2}} \ ldots T_ {s_ {n}}}$

2. Los elementos de la base natural son multiplicativo , a saber, T _yw = T _y T _w cuando l (yw) = l (y) + l (w) , donde l indica la función de longitud en el grupo de Coxeter W .

3. Los elementos de la base natural son invertibles. Por ejemplo, de la relación cuadrática concluimos que T⁻¹
_s= q⁻¹
_s T _s + ( q⁻¹
_s-1).

4. Suponga que W es un grupo finito y que el anillo de tierra es el campo C de números complejos. Jacques Tits ha demostrado que si el q indeterminado está especializado en cualquier número complejo fuera de una lista explícitamente dada (que consta de raíces de unidad), entonces el parámetro resultante del álgebra de Hecke es semisimple e isomorfo al álgebra de grupo complejo C [ W ] ( que también corresponde a la especialización q ↦ 1) ^{[ cita requerida ]} .

5. Más generalmente, si W es un grupo finito y el anillo de tierra R es un campo de característica cero , entonces el álgebra de Hecke de un parámetro es un álgebra asociativa semisimple sobre R [ q ^{± 1} ]. Además, extendiendo los resultados anteriores de Benson y Curtis, George Lusztig proporcionó un isomorfismo explícito entre el álgebra de Hecke y el álgebra de grupo después de la extensión de escalares al campo cociente de R [ q ^{± ½} ]

Base canónica

Un gran descubrimiento de Kazhdan y Lusztig fue que un álgebra de Hecke admite una base diferente , que de alguna manera controla la teoría de la representación de una variedad de objetos relacionados.

El multiparamétrico genérico Hecke álgebra, H _A (W, S, q) , tiene una involución bar que mapea q ^½ a q ^-½ y actúa como la identidad en Z . Entonces H admite un automorfismo de anillo único i que es semilineal con respecto a la involución de barra de A y mapea T _s a T⁻¹
_s. Puede demostrarse además que este automorfismo es involutivo (tiene orden dos) y toma cualquier T _w para ${\ Displaystyle T_ {w ^ {- 1}} ^ {- 1}.}$

Teorema de Kazhdan-Lusztig: Para cada w ∈ W existe un elemento único que es invariante bajo la involución i y si se escribe su expansión en términos de la base natural: ${\ Displaystyle C_ {w} ^ {\ prime}}$
${\ Displaystyle C '_ {w} = \ left (q ^ {- 1/2} \ right) ^ {l (w)} \ sum _ {y \ leq w} P_ {y, w} T_ {y} ,}$
uno tiene lo siguiente:
P _{w, w} = 1,
P _{y, w} en Z [ q ] tiene un grado menor o igual a ½ (l (w) -l (y) -1) si y <w en el orden de Bruhat ,
P _{y, w} = 0 si ${\ Displaystyle y \ nleq w.}$

Los elementos donde w varía sobre W forman una base del álgebra H , que se llama la base canónica dual del álgebra H de Hecke . La base canónica { C _w | w ∈ W } se obtiene de forma similar. Los polinomios P _{y, w} ( q ) que aparecen en este teorema son los polinomios de Kazhdan-Lusztig . ${\ Displaystyle C_ {w} ^ {\ prime}}$

Las nociones Kazhdan-Lusztig de izquierda, derecha y de dos caras células en grupos de Coxeter se definen a través del comportamiento de la base canónica bajo la acción de H .

Álgebra de Hecke de un grupo localmente compacto

Las álgebras de Iwahori-Hecke aparecieron por primera vez como un caso especial importante de una construcción muy general en la teoría de grupos. Deje (G, K) sea un par que consiste en una unimodular grupo topológico localmente compacto G y un subgrupo cerrado K de G . Entonces, el espacio de K -bi funciones continuas invariantes de soporte compacto , C _c (K \ G / K) , se puede dotar de una estructura de álgebra asociativa bajo la operación de convolución . Esta álgebra se denota por H (G // K) y se llama el anillo de Hecke del par (G, K).

Ejemplo: Si G = SL ( n , Q _p ) y K = SL ( n , Z _p ) entonces el anillo de Hecke es conmutativo y sus representaciones fueron estudiadas por Ian G. Macdonald . De manera más general, si (G, K) es un par Gelfand, entonces el álgebra resultante resulta ser conmutativa.

Ejemplo: Si G = SL (2, Q ) y K = SL (2, Z ) obtenemos el anillo abstracto detrás de los operadores de Hecke en la teoría de formas modulares , que dio el nombre a las álgebras de Hecke en general.

El caso que conduce al álgebra de Hecke de un grupo Weyl finito es cuando G es el grupo Chevalley finito sobre un campo finito con p ^k elementos, y B es su subgrupo Borel . Iwahori demostró que el anillo de Hecke H (G // B) se obtiene del álgebra de Hecke genérica H _q del grupo de Weyl W de G especializando el q indeterminado de este último álgebra en p ^k , la cardinalidad del campo finito. George Lusztig comentó en 1984 ( Caracteres de grupos reductivos sobre un campo finito, xi, nota al pie):

Creo que sería más apropiado llamarlo álgebra de Iwahori, pero el nombre de anillo de Hecke (o álgebra) dado por el propio Iwahori ha estado en uso durante casi 20 años y probablemente sea demasiado tarde para cambiarlo ahora.

Iwahori y Matsumoto (1965) considerado el caso cuando G es un grupo de puntos de un grupo algebraico reductiva sobre un no Arquímedes de campo local K , tales como Q _p , y K es lo que ahora se llama un subgrupo Iwahori de G . El anillo Hecke resultante es isomorfo al álgebra Hecke del grupo afín Weyl de G , o la affine Hecke álgebra , donde el indeterminada q se ha especializado a la cardinalidad del campo residuo de K .

El trabajo de Roger Howe en la década de 1970 y sus artículos con Allen Moy sobre representaciones de p -ádico GL ( n ) abrieron la posibilidad de clasificar representaciones admisibles irreductibles de grupos reductivos sobre campos locales en términos de álgebras de Hecke construidas apropiadamente. (También hicieron contribuciones importantes Joseph Bernstein y Andrey Zelevinsky .) Estas ideas fueron llevadas mucho más lejos en la teoría de tipos de Colin Bushnell y Philip Kutzko ., permitiéndoles completar la clasificación en el caso lineal general. Muchas de las técnicas pueden extenderse a otros grupos reductores, lo que sigue siendo un área de investigación activa. Se ha conjeturado que todas las álgebras de Hecke que alguna vez se necesitan son generalizaciones leves de álgebras afines de Hecke.

Representaciones de álgebras de Hecke

De la obra de Iwahori se deduce que las representaciones complejas de álgebras de Hecke de tipo finito están íntimamente relacionadas con la estructura de las representaciones esféricas de las series principales de grupos finitos de Chevalley.

George Lusztig llevó esta conexión mucho más lejos y fue capaz de describir la mayoría de los caracteres de grupos finitos del tipo de Lie en términos de la teoría de la representación de las álgebras de Hecke. Este trabajo utilizó una mezcla de técnicas geométricas y varias reducciones, condujo a la introducción de varios objetos generalizando las álgebras de Hecke y la comprensión detallada de sus representaciones (por q no es una raíz de unidad). Las representaciones modulares de álgebras de Hecke y las representaciones en las raíces de la unidad resultaron estar relacionadas con la teoría de bases canónicas en grupos cuánticos afines y combinatoria.

La teoría de la representación de las álgebras afines de Hecke fue desarrollada por Lusztig con miras a aplicarla a la descripción de representaciones de grupos p -ádicos. Es diferente en muchos aspectos ^{[ ¿cómo? ]} del caso finito. Ivan Cherednik utilizó una generalización de las álgebras afines de Hecke, llamada álgebra doble afín de Hecke , en su demostración de la conjetura del término constante de Macdonald .

Referencias

David Goldschmidt Group Caracteres, funciones simétricas y el álgebra de Hecke MR 1225799 , ISBN 0-8218-3220-4
Iwahori, Nagayoshi; Matsumoto, Hideya Sobre alguna descomposición de Bruhat y la estructura de los anillos de Hecke de grupos p-ádicos de Chevalley. Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS, 25 (1965), págs. 5-48. Señor 0185016
Alexander Kleshchev, Representaciones lineales y proyectivas de grupos simétricos , tratados de Cambridge en matemáticas, vol. 163. Cambridge University Press, 2005. MR 2165457 , ISBN 0-521-83703-0
George Lusztig, Álgebras de Hecke con parámetros desiguales , serie de monografías CRM, vol.18, American Mathematical Society, 2003. MR 1658581 , ISBN 0-8218-3356-1
Andrew Mathas, álgebras de Iwahori-Hecke y álgebras de Schur del grupo simétrico , University Lecture Series, vol.15, American Mathematical Society, 1999. MR 1711316 , ISBN 0-8218-1926-7
Lusztig, George, Sobre un teorema de Benson y Curtis , J. Algebra 71 (1981), no. 2, 490–498. Señor 0630610 , doi : 10.1016 / 0021-8693 (81) 90188-5
Colin Bushnell y Philip Kutzko, El dual admisible de GL (n) a través de subgrupos abiertos compactos , Annals of Mathematics Studies, vol. 129, Princeton University Press, 1993. MR 1204652 , ISBN 0-691-02114-7