sistema de coordenadas Cartesianas

Coordinate system

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Ilustración de un plano cartesiano de coordenadas. Cuatro puntos están marcados y etiquetados con sus coordenadas: (2, 3) en verde, (−3, 1) en rojo, (−1.5, −2.5) en azul y el origen (0, 0) en violeta.

Un sistema de coordenadas cartesianas ( UK : / k ɑː t i zj ə n / , Estados Unidos : / k ɑr t i ʒ ə n / ) en un plano es un sistema de coordenadas que especifica cada punto de forma única por un par de numéricos coordenadas , que son las distancias con signo al punto de dos líneas orientadas perpendiculares fijas , medidas en la misma unidad de longitud. Cada línea de referencia se llama eje de coordenadas o simplemente eje ( ejes plurales ) del sistema, y ​​el punto donde se encuentran es su origen , en el par ordenado (0, 0) . Las coordenadas también se pueden definir como las posiciones de las proyecciones perpendiculares del punto sobre los dos ejes, expresadas como distancias con signo desde el origen.

Se puede usar el mismo principio para especificar la posición de cualquier punto en el espacio tridimensional por tres coordenadas cartesianas, sus distancias con signo a tres planos mutuamente perpendiculares (o, de manera equivalente, por su proyección perpendicular sobre tres líneas mutuamente perpendiculares). En general, n coordenadas cartesianas (un elemento de verdadero n -espacio ) especificar el punto en un n -dimensional espacio euclidiano para cualquier dimensión n . Estas coordenadas son iguales, hasta firmar , a distancias desde el punto a n mutuamente perpendiculares hiperplanos .

Sistema de coordenadas cartesianas con un círculo de radio 2 centrado en el origen marcado en rojo. La ecuación de un círculo es ( x - a ) ² + ( y - b ) ² = r ² donde a y b son las coordenadas del centro ( a , b ) y r es el radio.

La invención de las coordenadas cartesianas en el siglo XVII por René Descartes ( nombre latinizado : Cartesius ) revolucionó las matemáticas al proporcionar el primer vínculo sistemático entre la geometría euclidiana y el álgebra . Usando el sistema de coordenadas cartesianas, las formas geométricas (como las curvas ) se pueden describir mediante ecuaciones cartesianas : ecuaciones algebraicas que involucran las coordenadas de los puntos que se encuentran en la forma. Por ejemplo, un círculo de radio 2, centrado en el origen del plano, se puede describir como el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas x y y satisfacen la ecuación x² + y ² = 4 .

Las coordenadas cartesianas son la base de la geometría analítica y proporcionan interpretaciones geométricas esclarecedoras para muchas otras ramas de las matemáticas, como el álgebra lineal , el análisis complejo , la geometría diferencial , el cálculo multivariado , la teoría de grupos y más. Un ejemplo familiar es el concepto de gráfica de una función . Las coordenadas cartesianas también son herramientas esenciales para la mayoría de las disciplinas aplicadas que se ocupan de la geometría, incluida la astronomía , la física , la ingeniería y muchas más. Son el sistema de coordenadas más común utilizado en gráficos por computadora ,diseño geométrico asistido por computadora y otros procesos de datos relacionados con la geometría .

Historia

El adjetivo cartesiano se refiere al matemático y filósofo francés René Descartes , quien publicó esta idea en 1637. Fue descubierta de forma independiente por Pierre de Fermat , quien también trabajó en tres dimensiones, aunque Fermat no publicó el descubrimiento. ^[1] El clérigo francés Nicole Oresme utilizó construcciones similares a las coordenadas cartesianas mucho antes de la época de Descartes y Fermat. ^[2]

Tanto Descartes como Fermat utilizaron un solo eje en sus tratamientos y tienen una longitud variable medida en referencia a este eje. El concepto de utilizar un par de ejes se introdujo más tarde, después de que La Géométrie de Descartes fuera traducida al latín en 1649 por Frans van Schooten y sus alumnos. Estos comentaristas introdujeron varios conceptos al intentar aclarar las ideas contenidas en la obra de Descartes. ^[3]

El desarrollo del sistema de coordenadas cartesianas jugaría un papel fundamental en el desarrollo del cálculo de Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz . ^[4] La descripción de dos coordenadas del plano se generalizó más tarde en el concepto de espacios vectoriales . ^[5]

Se han desarrollado muchos otros sistemas de coordenadas desde Descartes, como las coordenadas polares para el plano y las coordenadas esféricas y cilíndricas para el espacio tridimensional.

Descripción

Una dimensión

Artículo principal: Recta numérica

Elegir un sistema de coordenadas cartesianas para un espacio unidimensional, es decir, para una línea recta, implica elegir un punto O de la línea (el origen), una unidad de longitud y una orientación para la línea. Una orientación elige cuál de las dos medias líneas determinadas por O es la positiva y cuál es la negativa; luego decimos que la línea "está orientada" (o "puntos") desde la mitad negativa hacia la mitad positiva. Entonces cada punto P de la línea se puede especificar mediante su distancia de O , tomada con un signo + o - en función de la media de línea contiene P .

Una línea con un sistema cartesiano elegido se llama línea numérica . Cada número real tiene una ubicación única en la línea. A la inversa, cada punto de la línea se puede interpretar como un número en un continuo ordenado, como los números reales.

Dos dimensiones

Más información: espacio bidimensional

Un sistema de coordenadas cartesianas en dos dimensiones (también llamado sistema de coordenadas rectangulares o sistema de coordenadas ortogonales ^[6] ) se define por un par ordenado de líneas perpendiculares (ejes), una sola unidad de longitud para ambos ejes y una orientación para cada uno. eje. El punto donde los ejes se encuentran se toma como origen para ambos, convirtiendo cada eje en una recta numérica. Para cualquier punto P , se traza una línea a través de P perpendicular a cada eje, y la posición donde se encuentra con el eje se interpreta como un número. Los dos números, en ese orden elegido, son las coordenadas cartesianas de P. La construcción inversa permite determinar el punto P dadas sus coordenadas.

La primera y la segunda coordenadas se denominan abscisas y ordenadas de P , respectivamente; y el punto donde se encuentran los ejes se llama origen del sistema de coordenadas. Las coordenadas generalmente se escriben como dos números entre paréntesis, en ese orden, separados por una coma, como en (3, −10.5) . Por tanto, el origen tiene coordenadas (0, 0) , y los puntos en los semiejes positivos, a una unidad del origen, tienen coordenadas (1, 0) y (0, 1) .

En matemáticas, física e ingeniería, el primer eje generalmente se define o representa como horizontal y está orientado hacia la derecha, y el segundo eje es vertical y está orientado hacia arriba. (Sin embargo, en algunos contextos de gráficos por computadora , el eje de ordenadas puede estar orientado hacia abajo.) El origen a menudo se etiqueta como O , y las dos coordenadas a menudo se indican con las letras X e Y , o x e y . Los ejes pueden entonces denominarse eje X e Y-eje. Las opciones de letras provienen de la convención original, que consiste en utilizar la última parte del alfabeto para indicar valores desconocidos. La primera parte del alfabeto se utilizó para designar valores conocidos.

Un plano euclidiano con un sistema de coordenadas cartesiano elegido se llama plano cartesiano . En un plano cartesiano se pueden definir representantes canónicos de ciertas figuras geométricas, como el círculo unitario (con radio igual a la unidad de longitud y centro en el origen), el cuadrado unitario (cuya diagonal tiene puntos finales en (0, 0) y (1, 1) ), la hipérbola unitaria , etc.

Los dos ejes dividen el plano en cuatro ángulos rectos , llamados cuadrantes . Los cuadrantes se pueden nombrar o numerar de varias formas, pero el cuadrante donde todas las coordenadas son positivas se suele llamar primer cuadrante .

Si las coordenadas de un punto son ( x , y ) , entonces sus distancias desde el eje X y desde el eje Y son | y | y | x |, respectivamente; donde | ... | denota el valor absoluto de un número.

Tres dimensiones

Más información: espacio tridimensional

Un sistema de coordenadas cartesiano tridimensional, con origen O y líneas de eje X , Y y Z , orientadas como muestran las flechas. Las marcas de graduación en los ejes están separadas por una unidad de longitud. El punto negro muestra el punto con coordenadas x = 2 , y = 3 y z = 4 , o (2, 3, 4) .

Un sistema de coordenadas cartesianas para un espacio tridimensional consiste en un triplete ordenado de líneas (los ejes ) que pasan por un punto común (el origen ) y son perpendiculares por pares; una orientación para cada eje; y una sola unidad de longitud para los tres ejes. Como en el caso bidimensional, cada eje se convierte en una recta numérica. Para cualquier punto P del espacio, se considera un hiperplano que pasa por P perpendicular a cada eje de coordenadas, e interpreta el punto donde ese hiperplano corta el eje como un número. Las coordenadas cartesianas de P son esos tres números, en el orden elegido. La construcción inversa determina el punto P dadas sus tres coordenadas.

Alternativamente, cada coordenada de un punto P puede tomarse como la distancia desde P al hiperplano definido por los otros dos ejes, con el signo determinado por la orientación del eje correspondiente.

Cada par de ejes define un hiperplano de coordenadas . Estos hiperplanos dividen el espacio en ocho trihedros , llamados octantes .

Los octantes son: | (+ x, + y, + z) | (-x, + y, + z) | (+ x, + y, -z) | (-x, + y, -z) | (+ x, -y, + z) | (-x, -y, + z) | (+ x, -y, -z) | (-x, -y, -z) |

Las coordenadas generalmente se escriben como tres números (o fórmulas algebraicas) entre paréntesis y separadas por comas, como en (3, −2.5, 1) o ( t , u + v , π / 2) . Por lo tanto, el origen tiene coordenadas (0, 0, 0) y los puntos unitarios en los tres ejes son (1, 0, 0) , (0, 1, 0) y (0, 0, 1) .

No existen nombres estándar para las coordenadas en los tres ejes (sin embargo, a veces se usan los términos abscisa , ordenada y aplicada ). Las coordenadas a menudo se indican con las letras X , Y y Z , o x , y y z . Los ejes pueden entonces denominarse eje X , eje Y y eje Z , respectivamente. Entonces, los hiperplanos de coordenadas pueden denominarse plano XY , plano YZ y plano XZ .

En contextos de matemáticas, física e ingeniería, los dos primeros ejes a menudo se definen o representan como horizontales, con el tercer eje apuntando hacia arriba. En ese caso, la tercera coordenada se puede llamar altura o altitud . La orientación generalmente se elige de modo que el ángulo de 90 grados desde el primer eje al segundo eje se vea en sentido contrario a las agujas del reloj cuando se ve desde el punto (0, 0, 1) ; una convención que comúnmente se llama la regla de la mano derecha .

Las superficies de coordenadas de las coordenadas cartesianas ( x , y , z ) . El eje z es vertical y el eje x está resaltado en verde. Así, el hiperplano rojo muestra los puntos con x = 1 , el hiperplano azul muestra los puntos con z = 1 y el hiperplano amarillo muestra los puntos con y = −1 . Las tres superficies se cruzan en el punto P (mostrado como una esfera negra) con las coordenadas cartesianas (1, -1, 1 ).

Dimensiones superiores

Dado que las coordenadas cartesianas son únicas y no ambiguas, los puntos de un plano cartesiano se pueden identificar con pares de números reales ; es decir, con el producto cartesiano , donde es el conjunto de todos los números reales. De la misma forma, los puntos en cualquier espacio euclidiano de dimensión n se identificarán con las tuplas (listas) de n números reales, es decir, con el producto cartesiano .${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Generalizaciones

El concepto de coordenadas cartesianas se generaliza para permitir ejes que no sean perpendiculares entre sí y / o unidades diferentes a lo largo de cada eje. En ese caso, cada coordenada se obtiene proyectando el punto sobre un eje a lo largo de una dirección paralela al otro eje (o, en general, al hiperplano definido por todos los demás ejes). En tal sistema de coordenadas oblicuas, los cálculos de distancias y ángulos deben modificarse a partir de los sistemas cartesianos estándar, y muchas fórmulas estándar (como la fórmula de Pitágoras para la distancia) no se cumplen (ver plano afín ).

Notaciones y convenciones

Las coordenadas cartesianas de un punto generalmente se escriben entre paréntesis y separadas por comas, como en (10, 5) o (3, 5, 7) . El origen a menudo se etiqueta con la letra O mayúscula . En geometría analítica, las coordenadas genéricas o desconocidas a menudo se indican con las letras ( x , y ) en el plano y ( x , y , z ) en el espacio tridimensional. Esta costumbre proviene de una convención del álgebra, que usa letras cerca del final del alfabeto para valores desconocidos (como las coordenadas de puntos en muchos problemas geométricos) y letras cerca del principio para cantidades dadas.

Estos nombres convencionales se utilizan a menudo en otros dominios, como la física y la ingeniería, aunque se pueden utilizar otras letras. Por ejemplo, en un gráfico que muestra cómo varía una presión con el tiempo , las coordenadas del gráfico pueden denotarse p y t . Cada eje generalmente recibe el nombre de la coordenada que se mide a lo largo de él; por lo que uno dice el eje x , el eje y , el eje t , etc.

Otra convención común para nombrar coordenadas es usar subíndices, como ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) para las n coordenadas en un espacio n -dimensional, especialmente cuando n es mayor que 3 o no está especificado. Algunos autores prefieren la numeración ( x ₀ , x ₁ , ..., x _{n −1} ). Estas notaciones son especialmente ventajosas en la programación de computadoras : al almacenar las coordenadas de un punto como una matriz , en lugar de un registro , el subíndice Puede servir para indexar las coordenadas.

En ilustraciones matemáticas de sistemas cartesianos bidimensionales, la primera coordenada (tradicionalmente llamada abscisa ) se mide a lo largo de un eje horizontal , orientado de izquierda a derecha. La segunda coordenada (la ordenada ) se mide luego a lo largo de un eje vertical , generalmente orientado de abajo hacia arriba. Los niños pequeños que aprenden el sistema cartesiano, comúnmente aprenden el orden para leer los valores antes de cimentar los conceptos de los ejes x , y , y z , comenzando con mnemotécnicos 2D (por ejemplo, 'Camine por el pasillo y luego suba las escaleras' similar a a lo largo del eje x y luego hacia arriba verticalmente a lo largo del eje y ). ^[7]

Sin embargo, los gráficos por computadora y el procesamiento de imágenes utilizan a menudo un sistema de coordenadas con el eje y orientado hacia abajo en la pantalla de la computadora. Esta convención se desarrolló en la década de 1960 (o antes) a partir de la forma en que las imágenes se almacenaban originalmente en los búferes de visualización .

Para sistemas tridimensionales, una convención es representar el plano xy horizontalmente, con el eje z agregado para representar la altura (positivo hacia arriba). Además, existe una convención para orientar el eje x hacia el espectador, sesgado hacia la derecha o hacia la izquierda. Si un diagrama ( proyección en 3D o 2D dibujo en perspectiva ) muestra la x - y y eje x horizontal y vertical, respectivamente, entonces el z eje x se deben mostrar que señala "fuera de la página" hacia el espectador o la cámara. En tal diagrama 2D de un sistema de coordenadas 3D, la z-Eje aparecería como una línea o rayo apuntando hacia abajo y hacia la izquierda o hacia abajo y hacia la derecha, dependiendo del presunto espectador o la perspectiva de la cámara . En cualquier diagrama o visualización, la orientación de los tres ejes, en su conjunto, es arbitraria. Sin embargo, la orientación de los ejes entre sí siempre debe cumplir con la regla de la mano derecha , a menos que se indique específicamente lo contrario. Todas las leyes de la física y las matemáticas asumen esta destreza , lo que garantiza la coherencia.

Para los diagramas 3D, los nombres "abscisa" y "ordenada" rara vez se utilizan para x e y , respectivamente. Cuando lo son, la coordenada z a veces se denomina aplicada . Las palabras abscisa , ordenada y aplicada se utilizan a veces para referirse a ejes de coordenadas en lugar de a los valores de las coordenadas. ^[6]

Cuadrantes y octantes

Artículos principales: Octante (geometría sólida) y Cuadrante (geometría plana)

Los cuatro cuadrantes de un sistema de coordenadas cartesianas

Los ejes de un sistema cartesiano bidimensional dividen el plano en cuatro regiones infinitas, llamadas cuadrantes , ^[6] cada una delimitada por dos semiejes. A menudo se numeran del 1 al 4 y se indican con números romanos : I (donde los signos de las dos coordenadas son I (+, +), II (-, +), III (-, -) y IV (+, -). Cuando los ejes se dibujan de acuerdo con la costumbre matemática, la numeración va en sentido antihorario comenzando desde el cuadrante superior derecho ("noreste").

De manera similar, un sistema cartesiano tridimensional define una división del espacio en ocho regiones u octantes , ^{[6] de} acuerdo con los signos de las coordenadas de los puntos. La convención utilizada para nombrar un octante específico es enumerar sus signos, por ejemplo (+ + +) o (- + -) . La generalización del cuadrante y del octante a un número arbitrario de dimensiones es el orto , y se aplica un sistema de denominación similar.

Fórmulas cartesianas para el plano

Distancia entre dos puntos

La distancia euclidiana entre dos puntos del plano con coordenadas cartesianas y es${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$

${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.}$

Esta es la versión cartesiana del teorema de Pitágoras . En el espacio tridimensional, la distancia entre puntos y es${\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})}$${\displaystyle (x_{2},y_{2},z_{2})}$

${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}},}$

que se puede obtener mediante dos aplicaciones consecutivas del teorema de Pitágoras. ^[8]

Transformaciones euclidianas

Las transformaciones euclidianas o movimientos euclidianos son los mapeos ( biyectivos ) de puntos del plano euclidiano a sí mismos que conservan distancias entre puntos. Hay cuatro tipos de estas asignaciones (también llamadas isometrías): traslaciones , rotaciones , reflejos y reflejos de deslizamiento . ^[9]

Traducción

Traducir un conjunto de puntos del plano, conservando las distancias y direcciones entre ellos, equivale a sumar un par fijo de números ( a , b ) a las coordenadas cartesianas de cada punto del conjunto. Es decir, si las coordenadas originales de un punto son ( x , y ) , después de la traslación serán

${\displaystyle (x',y')=(x+a,y+b).}$

Rotación

Para girar una figura en sentido antihorario alrededor del origen por un ángulo que equivale a la sustitución de todos los puntos con coordenadas ( x , Y ) por el punto de coordenadas ( x ' y' ), donde${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle x'=x\cos \theta -y\sin \theta }$

${\displaystyle y'=x\sin \theta +y\cos \theta .}$

Por lo tanto:

${\displaystyle (x',y')=((x\cos \theta -y\sin \theta \,),(x\sin \theta +y\cos \theta \,)).}$

Reflexión

Si ( x , y ) son las coordenadas cartesianas de un punto, entonces (- x , y ) son las coordenadas de su reflexión a través del segundo eje de coordenadas (el eje y), como si esa línea fuera un espejo. Asimismo, ( x , - y ) son las coordenadas de su reflexión a través del primer eje de coordenadas (el eje x). En más general, la reflexión a través de una línea que pasa por el origen formando un ángulo con el eje x, es equivalente a reemplazar cada punto con coordenadas ( x , y ) por el punto con coordenadas (${\displaystyle \theta }$x ′, y ′) , donde

${\displaystyle x'=x\cos 2\theta +y\sin 2\theta }$

${\displaystyle y'=x\sin 2\theta -y\cos 2\theta .}$

Por lo tanto:${\displaystyle (x',y')=((x\cos 2\theta +y\sin 2\theta \,),(x\sin 2\theta -y\cos 2\theta \,)).}$

Reflexión de deslizamiento

Un reflejo de deslizamiento es la composición de un reflejo a través de una línea seguida de una traslación en la dirección de esa línea. Se puede ver que el orden de estas operaciones no importa (la traducción puede ir primero, seguida de la reflexión).

Forma matricial general de las transformaciones

Todas estas transformaciones euclidianas del plano pueden describirse de manera uniforme mediante el uso de matrices. El resultado de aplicar una transformación euclidiana a un punto viene dado por la fórmula${\displaystyle (x',y')}$${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle (x',y')=(x,y)A+b}$

where A is a 2×2 orthogonal matrix and b = (b₁, b₂) is an arbitrary ordered pair of numbers;^[10] that is,

${\displaystyle x'=xA_{11}+yA_{21}+b_{1}}$

${\displaystyle y'=xA_{12}+yA_{22}+b_{2},}$

where

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}.}$ [The row vectors are used for point coordinates, and the matrix is written on the right.]

To be orthogonal, the matrix A must have orthogonal rows with same Euclidean length of one, that is,

${\displaystyle A_{11}A_{21}+A_{12}A_{22}=0}$

and

${\displaystyle A_{11}^{2}+A_{12}^{2}=A_{21}^{2}+A_{22}^{2}=1.}$

This is equivalent to saying that A times its transpose must be the identity matrix. If these conditions do not hold, the formula describes a more general affine transformation of the plane provided that the determinant of A is not zero.

The formula defines a translation if and only if A is the identity matrix. The transformation is a rotation around some point if and only if A is a rotation matrix, meaning that

${\displaystyle A_{11}A_{22}-A_{21}A_{12}=1.}$

A reflection or glide reflection is obtained when,

${\displaystyle A_{11}A_{22}-A_{21}A_{12}=-1.}$

Assuming that translation is not used transformations can be combined by simply multiplying the associated transformation matrices.

Affine transformation

Another way to represent coordinate transformations in Cartesian coordinates is through affine transformations. In affine transformations an extra dimension is added and all points are given a value of 1 for this extra dimension. The advantage of doing this is that point translations can be specified in the final column of matrix A. In this way, all of the euclidean transformations become transactable as matrix point multiplications. The affine transformation is given by:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&b_{1}\\A_{12}&A_{22}&b_{2}\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}}.}$ [Note the matrix A from above was transposed. The matrix is on the left and column vectors for point coordinates are used.]

Using affine transformations multiple different euclidean transformations including translation can be combined by simply multiplying the corresponding matrices.

Scaling

An example of an affine transformation which is not a Euclidean motion is given by scaling. To make a figure larger or smaller is equivalent to multiplying the Cartesian coordinates of every point by the same positive number m. If (x, y) are the coordinates of a point on the original figure, the corresponding point on the scaled figure has coordinates

${\displaystyle (x',y')=(mx,my).}$

If m is greater than 1, the figure becomes larger; if m is between 0 and 1, it becomes smaller.

Shearing

A shearing transformation will push the top of a square sideways to form a parallelogram. Horizontal shearing is defined by:

${\displaystyle (x',y')=(x+ys,y)}$

Shearing can also be applied vertically:

${\displaystyle (x',y')=(x,xs+y)}$

Orientation and handedness

Main article: Orientation (mathematics)

See also: Right-hand rule and Axes conventions

In two dimensions

The right-hand rule

Fixing or choosing the x-axis determines the y-axis up to direction. Namely, the y-axis is necessarily the perpendicular to the x-axis through the point marked 0 on the x-axis. But there is a choice of which of the two half lines on the perpendicular to designate as positive and which as negative. Each of these two choices determines a different orientation (also called handedness) of the Cartesian plane.

The usual way of orienting the plane, with the positive x-axis pointing right and the positive y-axis pointing up (and the x-axis being the "first" and the y-axis the "second" axis), is considered the positive or standard orientation, also called the right-handed orientation.

A commonly used mnemonic for defining the positive orientation is the right-hand rule. Placing a somewhat closed right hand on the plane with the thumb pointing up, the fingers point from the x-axis to the y-axis, in a positively oriented coordinate system.

The other way of orienting the plane is following the left hand rule, placing the left hand on the plane with the thumb pointing up.

When pointing the thumb away from the origin along an axis towards positive, the curvature of the fingers indicates a positive rotation along that axis.

Regardless of the rule used to orient the plane, rotating the coordinate system will preserve the orientation. Switching any two axes will reverse the orientation, but switching both will leave the orientation unchanged.

In three dimensions

Fig. 7 – The left-handed orientation is shown on the left, and the right-handed on the right.

Fig. 8 – The right-handed Cartesian coordinate system indicating the coordinate planes.

Once the x- and y-axes are specified, they determine the line along which the z-axis should lie, but there are two possible orientation for this line. The two possible coordinate systems which result are called 'right-handed' and 'left-handed'. The standard orientation, where the xy-plane is horizontal and the z-axis points up (and the x- and the y-axis form a positively oriented two-dimensional coordinate system in the xy-plane if observed from above the xy-plane) is called right-handed or positive.

3D Cartesian coordinate handedness

The name derives from the right-hand rule. If the index finger of the right hand is pointed forward, the middle finger bent inward at a right angle to it, and the thumb placed at a right angle to both, the three fingers indicate the relative orientation of the x-, y-, and z-axes in a right-handed system. The thumb indicates the x-axis, the index finger the y-axis and the middle finger the z-axis. Conversely, if the same is done with the left hand, a left-handed system results.

Figure 7 depicts a left and a right-handed coordinate system. Because a three-dimensional object is represented on the two-dimensional screen, distortion and ambiguity result. The axis pointing downward (and to the right) is also meant to point towards the observer, whereas the "middle"-axis is meant to point away from the observer. The red circle is parallel to the horizontal xy-plane and indicates rotation from the x-axis to the y-axis (in both cases). Hence the red arrow passes in front of the z-axis.

Figure 8 is another attempt at depicting a right-handed coordinate system. Again, there is an ambiguity caused by projecting the three-dimensional coordinate system into the plane. Many observers see Figure 8 as "flipping in and out" between a convex cube and a concave "corner". This corresponds to the two possible orientations of the space. Seeing the figure as convex gives a left-handed coordinate system. Thus the "correct" way to view Figure 8 is to imagine the x-axis as pointing towards the observer and thus seeing a concave corner.

Representing a vector in the standard basis

A point in space in a Cartesian coordinate system may also be represented by a position vector, which can be thought of as an arrow pointing from the origin of the coordinate system to the point.^[11] If the coordinates represent spatial positions (displacements), it is common to represent the vector from the origin to the point of interest as ${\displaystyle \mathbf {r} }$. In two dimensions, the vector from the origin to the point with Cartesian coordinates (x, y) can be written as:

${\displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} ,}$

where ${\displaystyle \mathbf {i} ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$ and ${\displaystyle \mathbf {j} ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$ are unit vectors in the direction of the x-axis and y-axis respectively, generally referred to as the standard basis (in some application areas these may also be referred to as versors). Similarly, in three dimensions, the vector from the origin to the point with Cartesian coordinates ${\displaystyle (x,y,z)}$ can be written as:^[12]

${\displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} ,}$

where ${\displaystyle \mathbf {i} ={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},}$ ${\displaystyle \mathbf {j} ={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},}$ and ${\displaystyle \mathbf {k} ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}.}$

There is no natural interpretation of multiplying vectors to obtain another vector that works in all dimensions, however there is a way to use complex numbers to provide such a multiplication. In a two-dimensional cartesian plane, identify the point with coordinates (x, y) with the complex number z = x + iy. Here, i is the imaginary unit and is identified with the point with coordinates (0, 1), so it is not the unit vector in the direction of the x-axis. Since the complex numbers can be multiplied giving another complex number, this identification provides a means to "multiply" vectors. In a three-dimensional cartesian space a similar identification can be made with a subset of the quaternions.

Applications

Cartesian coordinates are an abstraction that have a multitude of possible applications in the real world. However, three constructive steps are involved in superimposing coordinates on a problem application. 1) Units of distance must be decided defining the spatial size represented by the numbers used as coordinates. 2) An origin must be assigned to a specific spatial location or landmark, and 3) the orientation of the axes must be defined using available directional cues for all but one axis.

Consider as an example superimposing 3D Cartesian coordinates over all points on the Earth (i.e. geospatial 3D). What units make sense? Kilometers are a good choice, since the original definition of the kilometer was geospatial—10 000 km equaling the surface distance from the Equator to the North Pole. Where to place the origin? Based on symmetry, the gravitational center of the Earth suggests a natural landmark (which can be sensed via satellite orbits). Finally, how to orient X-, Y- and Z-axis? The axis of Earth's rotation provides a natural orientation strongly associated with "up vs. down", so positive Z can adopt the direction from geocenter to North Pole. A location on the Equator is needed to define the X-axis, and the prime meridian stands out as a reference orientation, so the X-axis takes the orientation from geocenter out to 0 degrees longitude, 0 degrees latitude. Note that with three dimensions, and two perpendicular axes orientations pinned down for X and Z, the Y-axis is determined by the first two choices. In order to obey the right-hand rule, the Y-axis must point out from the geocenter to 90 degrees longitude, 0 degrees latitude. So what are the geocentric coordinates of the Empire State Building in New York City? From a longitude of −73.985656 degrees, a latitude 40.748433 degrees, and Earth radius of 40,000/2π km, and transforming from spherical to Cartesian coordinates, you can estimate the geocentric coordinates of the Empire State Building, (x, y, z) = (1330.53 km, –4635.75 km, 4155.46 km). GPS navigation relies on such geocentric coordinates.

In engineering projects, agreement on the definition of coordinates is a crucial foundation. One cannot assume that coordinates come predefined for a novel application, so knowledge of how to erect a coordinate system where there is none is essential to applying René Descartes' thinking.

While spatial applications employ identical units along all axes, in business and scientific applications, each axis may have different units of measurement associated with it (such as kilograms, seconds, pounds, etc.). Although four- and higher-dimensional spaces are difficult to visualize, the algebra of Cartesian coordinates can be extended relatively easily to four or more variables, so that certain calculations involving many variables can be done. (This sort of algebraic extension is what is used to define the geometry of higher-dimensional spaces.) Conversely, it is often helpful to use the geometry of Cartesian coordinates in two or three dimensions to visualize algebraic relationships between two or three of many non-spatial variables.

The graph of a function or relation is the set of all points satisfying that function or relation. For a function of one variable, f, the set of all points (x, y), where y = f(x) is the graph of the function f. For a function g of two variables, the set of all points (x, y, z), where z = g(x, y) is the graph of the function g. A sketch of the graph of such a function or relation would consist of all the salient parts of the function or relation which would include its relative extrema, its concavity and points of inflection, any points of discontinuity and its end behavior. All of these terms are more fully defined in calculus. Such graphs are useful in calculus to understand the nature and behavior of a function or relation.

See also

• Horizontal and vertical
• Jones diagram, which plots four variables rather than two
• Orthogonal coordinates
• Polar coordinate system
• Regular grid
• Spherical coordinate system

References

1. Bix, Robert A.; D'Souza, Harry J. "Analytic geometry". Encyclopædia Britannica. Retrieved 6 August 2017.
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Sources

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• Burton, David M. (2011), The History of Mathematics/An Introduction (7th ed.), New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-338315-6
• Smart, James R. (1998), Modern Geometries (5th ed.), Pacific Grove: Brooks/Cole, ISBN 978-0-534-35188-5

Further reading

• Descartes, René (2001). Discourse on Method, Optics, Geometry, and Meteorology. Translated by Paul J. Oscamp (Revised ed.). Indianapolis, IN: Hackett Publishing. ISBN 978-0-87220-567-3. OCLC 488633510.
• Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers (1st ed.). New York: McGraw-Hill. pp. 55–79. LCCN 59-14456. OCLC 19959906.
• Margenau H, Murphy GM (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. LCCN 55-10911.
• Moon P, Spencer DE (1988). "Rectangular Coordinates (x, y, z)". Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (corrected 2nd, 3rd print ed.). New York: Springer-Verlag. pp. 9–11 (Table 1.01). ISBN 978-0-387-18430-2.
• Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-043316-8. LCCN 52-11515.
• Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. LCCN 67-25285.

External links

• Cartesian Coordinate System
• MathWorld description of Cartesian coordinates
• Coordinate Converter – converts between polar, Cartesian and spherical coordinates
• Coordinates of a point Interactive tool to explore coordinates of a point
• open source JavaScript class for 2D/3D Cartesian coordinate system manipulation