Espacio Baire
En matemáticas , se dice que un espacio topológico es un espacio de Baire , si para cualquier colección contable dada de conjuntos cerrados con interior vacío en , su unión también tiene interior vacío en . [1] De manera equivalente, un espacio localmente convexo que no es exiguo en sí mismo se denomina espacio de Baire. [2] Según el teorema de categoría de Baire , los espacios compactos de Hausdorff y los espacios métricos completos son ejemplos de un espacio de Baire. [3] Bourbaki acuñó el término "espacio de Baire". [4]
En un espacio topológico arbitrario, la clase de conjuntos cerrados con interior vacío consiste precisamente en los límites de conjuntos abiertos densos . Estos conjuntos son, en cierto sentido, "despreciables". Algunos ejemplos son conjuntos finitos en curvas suaves en el plano y subespacios afines propios en un espacio euclidiano . Si un espacio topológico es un espacio de Baire, entonces es "grande", lo que significa que no es una unión contable de subconjuntos despreciables . Por ejemplo, el espacio euclidiano tridimensional no es una unión contable de sus planos afines.
La definición precisa de un espacio de Baire ha sufrido ligeros cambios a lo largo de la historia, principalmente debido a las necesidades y puntos de vista predominantes. Un espacio topológico se denomina espacio de Baire si cumple cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:
El teorema de la categoría de Baire da condiciones suficientes para que un espacio topológico sea un espacio de Baire. Es una herramienta importante en topología y análisis funcional .
BCT2 muestra que toda variedad es un espacio de Baire, incluso si no es paracompacto y, por lo tanto, no metrizable . Por ejemplo, el long line es de segunda categoría .