En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , el centro (o centro de Drinfeld , en honor al matemático soviético-estadounidense Vladimir Drinfeld ) es una variante de la noción del centro de un monoide, grupo o anillo de una categoría.
Definición
El centro de una categoría monoidal , denotado , es la categoría cuyos objetos son pares (A, u) que consisten en un objeto A de y un isomorfismo que es natural en satisfactorio
y
- (esto es en realidad una consecuencia del primer axioma). [1]
Una flecha de (A, u) a (B, v) en consiste en una flecha en tal que
- .
Esta definición del centro aparece en Joyal & Street (1991) . De manera equivalente, el centro puede definirse como
es decir, los endofunctores de C que son compatibles con la acción izquierda y derecha de C sobre sí mismo dada por el producto tensorial.
Trenza
La categoría se convierte en una categoría monoidal trenzada con el producto tensorial en los objetos definidos como
dónde , y el trenzado obvio.
Versión categórica superior
El centro categórico es particularmente útil en el contexto de categorías superiores. Esto se ilustra con el siguiente ejemplo: el centro de la categoría ( abeliana )de módulos R , para un anillo conmutativo R , esde nuevo. El centro de una categoría ∞ monoidal C se puede definir, de manera análoga a lo anterior, como
- .
Ahora, en contraste con lo anterior, el centro de la categoría derivada de módulos R (considerado como una categoría ∞) está dado por la categoría derivada de módulos sobre el complejo cocadena que codifica la cohomología de Hochschild , un complejo cuyo término de grado 0 es R (como en la situación abeliana anterior), pero incluye términos superiores como( derivado de Hom). [2]
La noción de centro en esta generalidad es desarrollada por Lurie (2017 , §5.3.1). Al extender el trenzado mencionado anteriormente en el centro de una categoría monoidal ordinaria, el centro de una categoría ∞ monoidal se convierte en un-categoría monoidal. De manera más general, el centro de un-La categoría monoidal es un objeto de álgebra en -categorías monoidales y, por tanto, por aditividad de Dunn , una-categoría monoidal.
Ejemplos de
Hinich (2007) ha demostrado que el centro Drinfeld de la categoría de haces en una orbifold X es la categoría de haces en la orbifold inercia de X . Para que X sea el espacio de clasificación de un grupo finito G , la inercia orbifold es el cociente de pila G / G , donde G actúa sobre sí mismo por conjugación. Para este caso especial, el resultado de Hinich especializa a la afirmación de que el centro de la categoría de G -representations (con respecto a algún campo de tierra k ) es equivalente a la categoría que consiste en G -graded k espacios-vector, es decir, objetos de la formulario
para algunos espacios de k -vector, junto con G -morfismos equivariantes, donde G actúa sobre sí mismo por conjugación.
En el mismo sentido, Ben-Zvi, Francis y Nadler (2010) han demostrado que el centro de Drinfeld de la categoría derivada de haces cuasi-coherente sobre una pila perfecta X es la categoría derivada de poleas en la pila de lazo de X .
Nociones relacionadas
Centros de objetos monoides
El centro de un monoide y el centro de Drinfeld de una categoría monoidal son ejemplos del siguiente concepto más general. Dada una categoría monoidal C y un objeto monoide A en C , el centro de A se define como
Para que C sea la categoría de conjuntos (con el producto cartesiano habitual), un objeto monoide es simplemente un monoide, y Z ( A ) es el centro del monoide. Del mismo modo, si C es la categoría de los grupos abelianos, los objetos monoides son anillos y lo anterior recupera el centro de un anillo . Finalmente, si C es la categoría de categorías , con el producto como operación monoidal, los objetos monoide en C son categorías monoidales, y lo anterior recupera el centro de Drinfeld.
Traza categórica
El rastro categórico de una categoría monoidal (o categoría ∞ monoidal) se define como
El concepto se está aplicando ampliamente, por ejemplo en Zhu (2018) .
Referencias
- ^ Majid 1991 .
- ^ Ben-Zvi, Francis y Nadler (2010 , observación 1.5)
- Ben-Zvi, David; Francis, John; Nadler, David (2010), "Transformaciones integrales y centros Drinfeld en geometría algebraica derivada", Journal of the American Mathematical Society , 23 (4): 909–966, arXiv : 0805.0157 , doi : 10.1090 / S0894-0347-10-00669 -7 , MR 2669705
- Hinich, Vladimir (2007), "Drinfeld double for orbifolds", actas de la conferencia matemática de Israel. Grupos cuánticos. Actas de una conferencia en memoria de Joseph Donin, Haifa, Israel, 5 al 12 de julio de 2004 , AMS, págs. 251–265, arXiv : math / 0511476 , ISBN 978-0-8218-3713-9, Zbl 1142.18004
- Joyal, André ; Street, Ross (1991), "Operadores Tortile Yang-Baxter en categorías de tensor", Journal of Pure and Applied Algebra , 71 (1): 43–51, doi : 10.1016 / 0022-4049 (91) 90039-5 , MR 1107651.
- Lurie, Jacob (2017), Álgebra superior
- Majid, Shahn (1991). "Representaciones, duales y dobles cuánticos de categorías monoidales" . Actas de la Escuela de Invierno de Geometría y Física (Srní, 1990) . Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . Serie II. Suplemento (26). págs. 197–206. Señor 1151906 .
- Zhu, Xinwen (2018), "Satake geométrico, trazas categóricas y aritmética de las variedades Shimura", Desarrollos actuales en matemáticas 2016 , Int. Press, Somerville, MA, págs. 145–206, MR 3837875
enlaces externos
- Centro Drinfeld en nLab