álgebra de mentira

En matemáticas , un álgebra de Lie (pronunciado / l iː / "Lee") es un espacio vectorial junto con una operación llamada corchete de Lie , un mapa bilineal alterno , que satisface la identidad de Jacobi . ^[a] El espacio vectorial junto con esta operación es un álgebra no asociativa , lo que significa que el corchete de mentira no es necesariamente asociativo . ${\displaystyle {\mathfrak{g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}},\ (x,y)\mapsto [x,y]}$${\displaystyle {\mathfrak{g}}}$

Las álgebras de Lie están estrechamente relacionadas con los grupos de Lie , que son grupos que también son variedades suaves : cualquier grupo de Lie da lugar a un álgebra de Lie, que es su espacio tangente en la identidad. Por el contrario, para cualquier álgebra de Lie de dimensión finita sobre números reales o complejos, existe un grupo de Lie conectado correspondiente único hasta cubiertas finitas ( tercer teorema de Lie ). Esta correspondencia permite estudiar la estructura y clasificación de los grupos de Lie en términos de álgebras de Lie.

En física, los grupos de Lie aparecen como grupos de simetría de sistemas físicos, y sus álgebras de Lie (vectores tangentes cerca de la identidad) pueden considerarse como movimientos de simetría infinitesimales. Por lo tanto, las álgebras de Lie y sus representaciones se utilizan ampliamente en física, especialmente en mecánica cuántica y física de partículas.

Un ejemplo elemental es el espacio de vectores tridimensionales con la operación de paréntesis definida por el producto cruz . Este es asimétrico ya que , y en lugar de asociatividad satisface la identidad de Jacobi:${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathbb {R} ^{3}}$ ${\ estilo de visualización [x, y] = x \ veces y.}$${\displaystyle x\times y=-y\times x}$

Esta es el álgebra de Lie del grupo de Lie de rotaciones del espacio , y cada vector puede representarse como una rotación infinitesimal alrededor del eje , con una velocidad igual a la magnitud de . El corchete de mentira es una medida de la no conmutatividad entre dos rotaciones: dado que una rotación conmuta consigo misma, tenemos la propiedad de alternancia .${\displaystyle v\en \mathbb {R} ^{3}}$${\ estilo de visualización v}$${\ estilo de visualización v}$${\ estilo de visualización [x, x] = x \ veces x = 0}$

Las álgebras de mentira se introdujeron para estudiar el concepto de transformaciones infinitesimales por Marius Sophus Lie en la década de 1870, ^[1] y fueron descubiertas de forma independiente por Wilhelm Killing ^[2] en la década de 1880. Hermann Weyl le dio el nombre de álgebra de Lie en la década de 1930; en textos más antiguos, se usa el término grupo infinitesimal .

el espacio tangente de una esfera en un punto . Si es el elemento de identidad, entonces el espacio tangente también es un álgebra de mentira${\ estilo de visualización x}$${\ estilo de visualización x}$