Operador compacto

---

En el análisis funcional , una rama de las matemáticas , un operador compacto es un operador lineal , donde son espacios vectoriales normados , con la propiedad de mapear subconjuntos acotados de a subconjuntos relativamente compactos de (subconjuntos con cierre compacto en ). Tal operador es necesariamente un operador acotado , y por lo tanto continuo. ^[1] Algunos autores exigen que sean Banach, pero la definición puede extenderse a espacios más generales.${\displaystyle T:X\a Y}$${\ estilo de visualización X, Y}$${\ estilo de visualización T}$${\ estilo de visualización X}$${\ estilo de visualización Y}$${\ estilo de visualización Y}$${\ estilo de visualización X, Y}$

Cualquier operador acotado que tenga un rango finito es un operador compacto; de hecho, la clase de operadores compactos es una generalización natural de la clase de operadores de rango finito en un entorno de dimensión infinita. Cuando es un espacio de Hilbert , es cierto que cualquier operador compacto es un límite de operadores de rango finito, ^[1] por lo que la clase de operadores compactos puede definirse alternativamente como el cierre del conjunto de operadores de rango finito en la norma topología _ Si esto era cierto en general para los espacios de Banach (la propiedad de aproximación ) fue una pregunta sin resolver durante muchos años; en 1973, Per Enflo dio un contraejemplo, basándose en el trabajo de${\ estilo de visualización T}$${\ estilo de visualización Y}$Grothendieck y Banach . ^[2]

El origen de la teoría de los operadores compactos está en la teoría de las ecuaciones integrales , donde los operadores integrales proporcionan ejemplos concretos de tales operadores. Una ecuación integral típica de Fredholm da lugar a un operador compacto K en espacios de funciones ; la propiedad de compacidad se muestra por equicontinuidad . El método de aproximación por operadores de rango finito es básico en la solución numérica de este tipo de ecuaciones. La idea abstracta del operador de Fredholm se deriva de esta conexión.

Se dice que una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales topológicos es compacta si existe una vecindad del origen en la que es un subconjunto relativamente compacto de . ^[3]${\displaystyle T:X\a Y}$${\ estilo de visualización U}$${\ estilo de visualización X}$${\ estilo de visualización T (U)}$${\ estilo de visualización Y}$

Sean espacios normados y un operador lineal. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes, y algunas de ellas son usadas como definición principal por diferentes autores ^[4]${\ estilo de visualización X, Y}$${\displaystyle T:X\a Y}$

Si además es Banach, estas declaraciones también equivalen a:${\ estilo de visualización Y}$

---