En matemáticas , la norma del operador es un medio para crear una idea de tamaño para ciertos operadores lineales . Formalmente, es una norma definida en el espacio de operadores lineales acotados entre dos espacios vectoriales normativos dados .
Introducción y definición
Dados dos espacios vectoriales normativos y (sobre el mismo campo base , ya sea los números reales o los números complejos ), un mapa lineal es continuo si y solo si existe un número real tal que [1]
La norma de la izquierda es la de y la norma de la derecha es la de . Intuitivamente, el operador continuo nunca aumenta la longitud de ningún vector en más de un factor de Por tanto, la imagen de un conjunto acotado bajo un operador continuo también está acotada. Debido a esta propiedad, los operadores lineales continuos también se conocen como operadores acotados . Para "medir el tamaño" deentonces parece natural tomar el mínimo de los números tal que la desigualdad anterior se aplique a todos Este número representa el factor escalar máximo por el cual "alarga" los vectores. En otras palabras, medimos el "tamaño" deen cuánto "alarga" los vectores en el caso "más grande". Entonces definimos la norma del operador de como
El infimum se alcanza como el conjunto de todos esos está cerrado , no vacío y delimitado desde abajo. [2]
Es importante tener en cuenta que esta norma de operador depende de la elección de normas para los espacios vectoriales normativos. y W .
Ejemplos de
Cada real -por- matriz corresponde a un mapa lineal de a Cada par de la plétora de normas (vectoriales) aplicables a espacios vectoriales reales induce una norma de operador para todos-por-matrices de números reales; estas normas inducidas forman un subconjunto de normas matriciales .
Si elegimos específicamente la norma euclidiana en ambos y entonces la norma matricial dada a una matriz es la raíz cuadrada del valor propio más grande de la matriz (dónde denota la transposición conjugada de). [3] Esto equivale a asignar el mayor valor singular de
Pasando a un ejemplo típico de dimensión infinita, considere el espacio de secuencia que es un espacio Lp , definido por
Esto puede verse como un análogo de dimensión infinita del espacio euclidiano. Ahora considere una secuencia acotada La secuencia es un elemento del espacio con una norma dada por
Definir un operador simplemente por multiplicación:
El operador está delimitado con la norma del operador
Se puede extender esta discusión directamente al caso donde es reemplazado por un general espacio con y reemplazado por
Definiciones equivalentes
Las primeras cuatro definiciones son siempre equivalentes, y si además entonces todos son equivalentes:
Si entonces los conjuntos en las dos últimas filas estarán vacíos y, en consecuencia, sus supremums sobre el conjunto será igual en lugar del valor correcto de Si el supremo se hace cargo del conjunto en cambio, entonces el supremo del conjunto vacío es y las fórmulas son válidas para cualquier
Propiedades
La norma del operador es de hecho una norma en el espacio de todos los operadores acotados entrey W . Esto significa
La siguiente desigualdad es una consecuencia inmediata de la definición:
La norma de operador también es compatible con la composición o multiplicación de operadores: si , y son tres espacios normativos sobre el mismo campo base, y y son dos operadores acotados, entonces es una norma sub-multiplicativa , es decir:
Para operadores limitados en , esto implica que la multiplicación de operadores es conjuntamente continua.
De la definición se deduce que si una secuencia de operadores converge en la norma del operador, converge uniformemente en conjuntos acotados.
Tabla de normas de operadores comunes
Algunas normas de operador comunes son fáciles de calcular y otras son NP-estrictas . A excepción de las normas NP-hard, todas estas normas se pueden calcular en operaciones (para un matriz), con la excepción de la norma (que requiere operaciones para la respuesta exacta, o menos si la aproxima con el método de potencia o iteraciones de Lanczos ).
Co-dominio | ||||
---|---|---|---|---|
Dominio | Máximo norma de una columna | Máximo norma de una columna | Máximo norma de una columna | |
NP-duro | Valor singular máximo | Máximo de una fila | ||
NP-duro | NP-duro | Máximo norma de una fila |
La norma del adjunto o transpuesta se puede calcular de la siguiente manera. Tenemos eso para cualquier luego dónde son Hölder conjugado a es decir, y
Operadores en un espacio Hilbert
Suponer es un espacio de Hilbert real o complejo . Si es un operador lineal acotado, entonces tenemos
y
dónde denota el operador adjunto de(que en los espacios euclidianos de Hilbert con el producto interno estándar corresponde a la transpuesta conjugada de la matriz).
En general, el radio espectral de está delimitado anteriormente por la norma del operador de :
Para ver por qué la igualdad no siempre se cumple, considere la forma canónica de Jordan de una matriz en el caso de dimensión finita. Debido a que hay entradas distintas de cero en la superdiagonal, se puede violar la igualdad. Los operadores cuasinilpotentes son una clase de tales ejemplos. Un operador cuasinilpotente distinto de cero tiene espectro Entonces tiempo
Sin embargo, cuando una matriz es normal , su forma canónica de Jordan es diagonal (hasta equivalencia unitaria); este es el teorema espectral . En ese caso, es fácil ver que
Esta fórmula a veces se puede usar para calcular la norma de operador de un operador acotado dado : define el operador hermitiano determinar su radio espectral, y tomar la raíz cuadrada para obtener la norma del operador de
El espacio de los operadores acotados en con la topología inducida por la norma del operador, no es separable . Por ejemplo, considere el espacio de Hilbert L 2 [0, 1] . Para dejar ser la función característica de y ser el operador de multiplicación dado por es decir,
Entonces cada es un operador acotado con la norma de operador 1 y
Pero es un conjunto incontable . Esto implica el espacio de operadores acotados enno es separable, en norma de operador. Se puede comparar esto con el hecho de que el espacio de secuencia no es separable.
El conjunto de todos los operadores acotados en un espacio de Hilbert, junto con la norma del operador y la operación adjunta, produce un C * -álgebra .
Ver también
- Operador lineal continuo
- Mapa lineal discontinuo
- Norma dual
- Norma de la matriz - Norma sobre un espacio vectorial de las matrices
- Norma (matemáticas) - Longitud en un espacio vectorial
- Espacio normado
- Álgebra de operadores : rama del análisis funcional
- Teoría del operador
- Espacio vectorial topológico: espacio vectorial con una noción de proximidad
- Topologías en el conjunto de operadores en un espacio de Hilbert
- Operador ilimitado
Notas
- ^ Kreyszig, Erwin (1978), Análisis funcional introductorio con aplicaciones , John Wiley & Sons, p. 97, ISBN 9971-51-381-1
- ^ Véase, por ejemplo, el Lema 6.2 de Aliprantis & Border (2007) .
- ^ Weisstein, Eric W. "Operador Norma" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 14 de marzo de 2020 .
- ^ sección 4.3.1,Tesis doctoral de Joel Tropp , [1]
Referencias
- Aliprantis, Charalambos D .; Border, Kim C. (2007), Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide , Springer, p. 229, ISBN 9783540326960.
- Conway, John B. (1990), "III.2 Operadores lineales en espacios normativos", Un curso de análisis funcional , Nueva York: Springer-Verlag, págs. 67–69, ISBN 0-387-97245-5