En matemáticas , se dice que una variedad abeliana A definida sobre un campo K tiene tipo CM si tiene un subanillo conmutativo suficientemente grande en su anillo de endomorfismo End ( A ). La terminología aquí proviene de la teoría de la multiplicación compleja , que se desarrolló para las curvas elípticas en el siglo XIX. Uno de los mayores logros en la teoría de números algebraica y la geometría algebraica del siglo XX fue encontrar las formulaciones correctas de la teoría correspondiente para las variedades abelianas de dimensión d> 1. El problema está en un nivel más profundo de abstracción, porque es mucho más difícil manipular funciones analíticas de varias variables complejas .
La definición formal es que
el producto tensorial de End ( A ) con el número racional campo Q , debe contener un subanillo conmutativa de dimensión 2 d sobre Q . Cuando d = 1 esto solo puede ser un campo cuadrático , y se recuperan los casos donde Fin ( A ) es un orden en un campo cuadrático imaginario . Para d > 1 hay casos comparables para campos CM , las complejas extensiones cuadráticas de campos totalmente reales . Hay otros casos que reflejan que A puede no ser una simple variedad abeliana (podría ser un producto cartesiano de curvas elípticas, por ejemplo). Otro nombre para las variedades abelianas de tipo CM es variedades abelianas con multiplicaciones suficientemente complejas .
Se sabe que si K son los números complejos, entonces cualquier A tiene un campo de definición que de hecho es un campo numérico . Los posibles tipos de anillo de endomorfismo se han clasificado como anillos con involución ( involución de Rosati ), lo que lleva a una clasificación de variedades abelianas de tipo CM. Para construir tales variedades en el mismo estilo que para las curvas elípticas, comenzando con un retículo Λ en C d , se deben tener en cuenta las relaciones de Riemann de la teoría de variedades abelianas.
El tipo CM es una descripción de la acción de un subanillo conmutativo (máximo) L del extremo Q ( A ) en el espacio tangente holomórfico de A en el elemento de identidad . Se aplica la teoría espectral de tipo simple para mostrar que L actúa a través de una base de vectores propios ; en otras palabras L tiene una acción que es a través de matrices diagonales en los campos de vectores holomorfas en A . En el caso simple, donde L es de por sí un campo de número en lugar de un producto de un número de campos, la de tipo CM es entonces una lista de incrustaciones complejos de L . Hay 2 d de esos, que ocurren en pares conjugados complejos ; el tipo CM es una elección de uno de cada par. Se sabe que se pueden realizar todos estos tipos de CM posibles.
Los resultados básicos de Goro Shimura y Yutaka Taniyama calculan la función L Hasse-Weil de A , en términos del tipo CM y una función L de Hecke con carácter Hecke , que tiene un tipo infinito derivado de ella. Estos generalizan los resultados de Max Deuring para el caso de la curva elíptica.
Referencias
- Lang, Serge (1983), Multiplicación compleja , Springer Verlag, ISBN 0-387-90786-6