En la teoría de la probabilidad , la familia de distribuciones normales complejas caracteriza variables aleatorias complejas cuyas partes real e imaginaria son conjuntamente normales . [1] La familia normal compleja tiene tres parámetros: parámetro de ubicación μ , matriz de covarianza, y la matriz de relaciones. La normal compleja estándar es la distribución univariante con, , y .
Parámetros | - ubicación | ||
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CF |
Una subclase importante de la familia normal compleja se llama normal compleja circularmente simétrica (central) y corresponde al caso de la matriz de relación cero y la media cero: y . [2] Este caso se utiliza ampliamente en el procesamiento de señales , donde a veces se lo denomina simplemente normal complejo en la literatura.
Definiciones
Variable aleatoria normal estándar compleja
La variable aleatoria normal compleja estándar o la variable aleatoria gaussiana compleja estándar es una variable aleatoria compleja cuyas partes real e imaginaria son variables aleatorias independientes normalmente distribuidas con media cero y varianza . [3] : pág. 494 [4] : págs. 501 Formalmente,
| ( Ecuación 1 ) |
dónde denota que es una variable aleatoria normal compleja estándar.
Variable aleatoria normal compleja
Suponer y son variables aleatorias reales tales que es un vector aleatorio normal bidimensional . Entonces la variable aleatoria complejase llama variable aleatoria normal compleja o variable aleatoria gaussiana compleja . [3] : pág. 500
| ( Ecuación 2 ) |
Vector aleatorio normal estándar complejo
Un vector aleatorio complejo n-dimensional es un vector aleatorio normal estándar complejo o un vector aleatorio gaussiano estándar complejo si sus componentes son independientes y todos ellos son variables aleatorias normales complejas estándar como se definió anteriormente. [3] : pág. 502 [4] : págs.501 Que es un vector aleatorio normal complejo estándar se denota .
| ( Ecuación 3 ) |
Vector aleatorio normal complejo
Si y son vectores aleatorios en tal que es un vector aleatorio normal concomponentes. Entonces decimos que el vector aleatorio complejo
es un vector aleatorio normal complejo o un vector aleatorio gaussiano complejo .
| ( Ecuación 4 ) |
Notación
El símbolo también se utiliza para la distribución normal compleja.
Media y covarianza
La distribución gaussiana compleja se puede describir con 3 parámetros: [5]
dónde denota la transposición de matriz de, y denota transposición conjugada . [3] : pág. 504 [4] : págs. 500
Aquí el parámetro de ubicación es un vector complejo de n dimensiones; la matriz de covarianza es hermitiano y definido no negativo ; y, la matriz de relación o matriz de pseudo-covarianza es simétrico . El vector aleatorio normal complejo ahora se puede denotar como
también es definida no negativa donde denota el complejo conjugado de . [5]
Relaciones entre matrices de covarianza
Como para cualquier vector aleatorio complejo, las matrices y puede relacionarse con las matrices de covarianza de y a través de expresiones
y por el contrario
Función de densidad
La función de densidad de probabilidad para una distribución normal compleja se puede calcular como
dónde y .
Función característica
La función característica de la distribución normal compleja viene dada por [5]
donde el argumento es un vector complejo n- dimensional.
Propiedades
- Si es un vector n normal complejo ,una matriz m × n , yun vector m constante , entonces la transformada lineal se distribuirá también de forma compleja-normalmente:
- Si es un vector n normal complejo , entonces
- Teorema del límite central . Si son variables aleatorias complejas independientes e idénticamente distribuidas, entonces
- dónde y .
- El módulo de una variable aleatoria normal compleja sigue una distribución de Hoyt . [6]
Caja central circularmente simétrica
Definición
Un vector aleatorio complejo se llama circularmente simétrico si para cada determinista la distribución de es igual a la distribución de . [4] : págs. 500–501
Los vectores aleatorios complejos normales centrales que son circularmente simétricos son de particular interés porque están completamente especificados por la matriz de covarianza. .
La distribución normal compleja circularmente simétrica (central) corresponde al caso de media cero y matriz de relación cero, es decir y . [3] : pág. 507 [7] Esto generalmente se denota
Distribución de piezas reales e imaginarias
Si es circularmente simétrico (central) complejo normal, entonces el vector es normal multivariante con estructura de covarianza
dónde y .
Función de densidad de probabilidad
Para matriz de covarianza no singular , su distribución también se puede simplificar como [3] : p. 508
- .
Por lo tanto, si la media distinta de cero y matriz de covarianza son desconocidos, una función de probabilidad logarítmica adecuada para un solo vector de observación sería
La normal compleja estándar (definida en la ecuación 1 ) corresponde a la distribución de una variable aleatoria escalar con, y . Por lo tanto, la distribución normal compleja estándar tiene densidad
Propiedades
La expresión anterior demuestra por qué el caso , se llama "circularmente simétrico". La función de densidad depende solo de la magnitud depero no en su argumento . Como tal, la magnitudde una variable aleatoria normal compleja estándar tendrá la distribución de Rayleigh y la magnitud al cuadradotendrá la distribución exponencial , mientras que el argumento se distribuirá uniformemente en.
Si son vectores aleatorios normales complejos circulares n- dimensionales independientes e idénticamente distribuidos con, entonces la norma al cuadrado aleatorio
tiene la distribución chi-cuadrado generalizada y la matriz aleatoria
tiene la compleja distribución de Wishart congrados de libertad. Esta distribución se puede describir mediante la función de densidad
dónde , y es un matriz no negativa-definida.
Ver también
- Distribución de razón normal compleja
- Estadísticas direccionales # Distribución de la media
- Distribución normal
- Distribución normal multivariante (una distribución normal compleja es una distribución normal bivariada)
- Distribución chi-cuadrado generalizada
- Distribución Wishart
- Variable aleatoria compleja
Referencias
- ^ Goodman (1963)
- ^ capítulo de libro, Gallager.R , pg9.
- ↑ a b c d e f Lapidoth, A. (2009). Una base en la comunicación digital . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521193955.
- ^ a b c d Tse, David (2005). Fundamentos de la comunicación inalámbrica . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9781139444668.
- ↑ a b c Picinbono (1996)
- ^ Daniel Wollschlaeger. "La Distribución Hoyt (Documentación para el paquete R 'shotGroups' versión 0.6.2)" .[ enlace muerto permanente ]
- ^ librocapítulo, Gallager.R
Otras lecturas
- Goodman, NR (1963). "Análisis estadístico basado en una determinada distribución gaussiana compleja multivariante (una introducción)" . Los Anales de Estadística Matemática . 34 (1): 152-177. doi : 10.1214 / aoms / 1177704250 . JSTOR 2991290 .
- Picinbono, Bernard (1996). "Vectores aleatorios complejos de segundo orden y distribuciones normales" . Transacciones IEEE sobre procesamiento de señales . 44 (10): 2637–2640. doi : 10.1109 / 78.539051 .
- Wollschlaeger, Daniel. "ShotGroups". Hoyt . RDocumentation, nd Web. https://www.rdocumentation.org/packages/shotGroups/versions/0.7.1/topics/Hoyt .
- Gallager, Robert G (2008). "Vectores aleatorios gaussianos circularmente simétricos". (nd): n. pag. Preimpresión. Web. 9 http://www.rle.mit.edu/rgallager/documents/CircSymGauss.pdf .