En matemáticas y física matemática , el espaciotiempo complejo extiende la noción tradicional de espaciotiempo descrita por coordenadas espaciales y temporales de valor real a coordenadas espaciales y temporales de valor complejo . La noción es completamente matemática sin implicaciones físicas, pero debe verse como una herramienta, por ejemplo, como lo ejemplifica la rotación de Wick .
Espacios reales y complejos
Matemáticas
La complejidad de un espacio vectorial real da como resultado un espacio vectorial complejo (sobre el campo de números complejos ). "Complejizar" un espacio significa extender la multiplicación escalar ordinaria de vectores por números reales a la multiplicación escalar por números complejos . Para complejizado espacios de producto interior , el producto interior complejo en vectores sustituye el valor real-ordinaria producto interno , un ejemplo de este último es el producto escalar .
En física matemática, cuando complejizamos un espacio de coordenadas real ℝ n creamos un espacio de coordenadas complejo ℂ n , al que se hace referencia en geometría diferencial como una " variedad compleja " . El espacio ℂ n puede relacionarse con ℝ 2 n , ya que todo número complejo constituye dos números reales.
Una geometría de espacio-tiempo compleja se refiere a que el tensor métrico es complejo, no al espacio-tiempo en sí.
Física
El espacio de Minkowski de la relatividad especial (SR) y la relatividad general (GR) es un espacio vectorial de 4 dimensiones " pseudo-espacio euclidiano ". El espacio-tiempo subyacente a las ecuaciones de campo de Albert Einstein , que describen matemáticamente la gravitación , es una verdadera " variedad pseudo-riemanniana " de 4 dimensiones .
En mecánica cuántica, las funciones de onda que describen partículas son funciones de valores complejos de variables espaciales y temporales reales. El conjunto de todas las funciones de onda para un sistema dado es un espacio de Hilbert complejo de dimensión infinita .
Historia
La noción de que el espacio-tiempo tiene más de cuatro dimensiones es interesante por derecho matemático. Su aparición en la física puede tener sus raíces en los intentos de unificar las interacciones fundamentales , originalmente la gravedad y el electromagnetismo . Estas ideas prevalecen en la teoría de cuerdas y más allá. La idea del espacio-tiempo complejo ha recibido mucha menos atención, pero se ha considerado junto con la ecuación de Lorentz-Dirac y las ecuaciones de Maxwell. [1] [2] Otras ideas incluyen mapear el espacio-tiempo real en un espacio de representación complejo de SU (2, 2) , ver teoría de twistor . [3]
En 1919, Theodor Kaluza publicó su extensión de 5 dimensiones de la relatividad general a Albert Einstein , [4] quien quedó impresionado con la forma en que las ecuaciones del electromagnetismo surgieron de la teoría de Kaluza. En 1926, Oskar Klein sugirió [5] que la dimensión extra de Kaluza podría estar " enrollada " en un círculo extremadamente pequeño, como si una topología circular estuviera oculta dentro de cada punto del espacio. En lugar de ser otra dimensión espacial, la dimensión adicional podría pensarse como un ángulo, que creó una hiperdimensión a medida que giraba 360 °. Esta teoría 5d se denomina teoría de Kaluza-Klein .
En 1932, Hsin P. Soh del MIT , asesorado por Arthur Eddington , publicó una teoría que intentaba unificar la gravitación y el electromagnetismo dentro de una geometría riemanniana compleja de 4 dimensiones . El elemento de línea ds 2 tiene un valor complejo, de modo que la parte real corresponde a masa y gravitación, mientras que la parte imaginaria a carga y electromagnetismo. Las coordenadas habituales del espacio x , y , zy el tiempo t en sí mismas son reales y el espacio-tiempo no es complejo, pero se permite que los espacios tangentes lo sean. [6]
Durante varias décadas después de publicar su teoría general de la relatividad en 1915, Albert Einstein intentó unificar la gravedad con el electromagnetismo , para crear una teoría de campo unificado que explicara ambas interacciones. En los últimos años de la Segunda Guerra Mundial , Albert Einstein comenzó a considerar geometrías espaciotemporales complejas de varios tipos. [7]
En 1953, Wolfgang Pauli generalizó [8] la teoría de Kaluza-Klein a un espacio de seis dimensiones, y (usando la reducción dimensional ) derivó los fundamentos de una teoría de gauge SU (2) (aplicada en mecánica cuántica a la interacción electrodébil ), como si el círculo "acurrucado" de Klein se hubiera convertido en la superficie de una hiperesfera infinitesimal .
En 1975, Jerzy Plebanski publicó "Algunas soluciones de ecuaciones complejas de Albert Einstein". [9]
Ha habido intentos de formular la ecuación de Dirac en el espacio-tiempo complejo mediante la continuación analítica . [10]
Ver también
- Construcción de una tétrada nula compleja
- Cuatro vector
- Espacio Hilbert
- Espacio twistor
- Base esférica
- Vector de Riemann-Silberstein
Referencias
- ^ Trautman, A. (1962). "Una discusión sobre el estado actual de la relatividad - Soluciones analíticas de ecuaciones lineales invariantes de Lorentz". Proc. Roy. Soc. Una . 270 (1342): 326–328. Código bibliográfico : 1962RSPSA.270..326T . doi : 10.1098 / rspa.1962.0222 . S2CID 120301116 .
- ^ Newman, ET (1973). "Ecuaciones de Maxwell y espacio complejo de Minkowski". J. Math. Phys . El Instituto Americano de Física. 14 (1): 102–103. Código bibliográfico : 1973JMP .... 14..102N . doi : 10.1063 / 1.1666160 .
- ^ Penrose, Roger (1967), "Twistor algebra" , Journal of Mathematical Physics , 8 (2): 345–366, Bibcode : 1967JMP ..... 8..345P , doi : 10.1063 / 1.1705200 , MR 0216828 , archivado desde el original el 12 de enero de 2013 , consultado el 14 de junio de 2015
- ^ País, Abraham (1982). Sutil es el Señor ...: La ciencia y la vida de Albert Einstein . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 329–330.
- ^ Oskar Klein (1926). "Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie". Zeitschrift für Physik A . 37 (12): 895–906. Bibcode : 1926ZPhy ... 37..895K . doi : 10.1007 / BF01397481 .
- ^ Soh, HP (1932). "Una teoría de la gravitación y la electricidad". J. Math. Phys. (MIT) . 12 (1–4): 298–305. doi : 10.1002 / sapm1933121298 .
- ^ Einstein, A. (1945), "Una generalización de la teoría relativista de la gravitación", Ann. de Matemáticas. , 46 (4): 578–584, doi : 10.2307 / 1969197 , JSTOR 1969197
- ^ N. Straumann (2000). "Sobre la invención de Pauli de la teoría no abeliana de Kaluza-Klein en 1953". arXiv : gr-qc / 0012054 . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Plebański, J. (1975). "Algunas soluciones de ecuaciones complejas de Einstein". Revista de Física Matemática . 16 (12): 2395–2402. Código bibliográfico : 1975JMP .... 16.2395P . doi : 10.1063 / 1.522505 . S2CID 122814301 .
- ^ Mark Davidson (2012). "Un estudio de la ecuación de Lorentz-Dirac en el espacio-tiempo complejo de pistas para la mecánica cuántica emergente" . Journal of Physics: Serie de conferencias . 361 (1): 012005. Código Bibliográfico : 2012JPhCS.361a2005D . doi : 10.1088 / 1742-6596 / 361/1/012005 .
Otras lecturas
- Goenner, Hubert FM (2014). "Sobre la historia de las teorías de campo unificado Parte II (ca. 1930 - ca. 1965)" . Reseñas vivientes en relatividad . 17 (5): 5. Bibcode : 2014LRR .... 17 .... 5G . doi : 10.12942 / lrr-2014-5 . PMC 5255905 . PMID 28179849 .
- Kaiser, Gerald (2009). "Física cuántica, relatividad y espacio-tiempo complejo: hacia una nueva síntesis". arXiv : 0910.0352 [ math-ph ].