Compuesto de tres octaedros | |
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Poliedros | 3 octaedros regulares |
Caras | 24 triángulos equiláteros |
Bordes | 36 |
Vértices | 18 |
Grupo de simetría (un solo color) | O h , orden 48 |
En matemáticas, el compuesto de tres octaedros o el octaedro 3-compuesto es un compuesto poliédrico formado a partir de tres octaedros regulares , todos compartiendo un centro común pero rotados entre sí. Aunque apareció antes en la literatura matemática, fue redescubierto y popularizado por MC Escher , quien lo utilizó en la imagen central de su grabado en madera de 1948 Stars .
Construcción
Un octaedro regular se puede circunscribir alrededor de un cubo de tal manera que los ocho bordes de dos cuadrados opuestos del cubo se encuentren en las ocho caras del octaedro. Los tres octaedros formados de esta manera a partir de los tres pares de cuadrados cúbicos opuestos forman el compuesto de tres octaedros. [1] Los ocho vértices del cubo son los mismos que los ocho puntos del compuesto donde tres aristas se cruzan. [2] Cada uno de los bordes del octaedro que participa en estos cruces triples se divide por el punto de cruce en la relación 1: √ 2 . [2] Los bordes restantes del octaedro se cruzan en pares, dentro del interior del compuesto; sus cruces están en sus puntos medios y forman ángulos rectos.
El compuesto de tres octaedros también se puede formar a partir de tres copias de un solo octaedro rotando cada copia en un ángulo de π / 4 alrededor de uno de los tres ejes de simetría que pasan por dos vértices opuestos del octaedro inicial. [3] Una tercera construcción para el mismo compuesto de tres octaedros es como el poliedro dual del compuesto de tres cubos , uno de los compuestos poliedros uniformes .
Los seis vértices de uno de los tres octaedros pueden estar dados por las coordenadas (0, 0, ± 2) y (± √ 2 , ± √ 2 , 0) . Los otros dos octaedros tienen coordenadas que pueden ser obtenidos a partir de estas coordenadas mediante el intercambio de la z de coordenadas para la x o y de coordenadas. [1] [2]
Simetrías
El compuesto de tres octaedros tiene el mismo grupo de simetría que un solo octaedro. Es un deltaedro isoédrico , lo que significa que sus caras son triángulos equiláteros y que tiene una simetría que lleva cada cara a cada otra cara. Hay una familia infinita conocida de deltaedros isoédricos, y 36 más que no pertenecen a esta familia; el compuesto de tres octaedros es uno de los 36 ejemplos esporádicos. [4] Sin embargo, su grupo de simetría no lleva todos los vértices a todos los demás vértices, por lo que no es en sí mismo un compuesto poliedro uniforme.
La intersección de los tres octaedros es un poliedro convexo con 14 vértices y 24 caras, un tetrakis hexaedro , formado al unir una pirámide cuadrada baja a cada cara del cubo central. [2] Por tanto, el compuesto puede verse como una estelación del tetrakis hexaedro. Una forma diferente del hexaedro tetrakis, formado mediante el uso de pirámides más altas en cada cara del cubo, no es convexa pero tiene caras de triángulos equiláteros que de nuevo se encuentran en los mismos planos que las caras de los tres octaedros; es otro de los deltaedros isoédricos conocidos. Un tercer deltaedro isoédrico que comparte los mismos planos de caras, el compuesto de seis tetraedros , puede formarse estelar cada cara del compuesto de tres octaedros para formar tres estelas octangulae . Un cuarto deltaedro isoédrico con los mismos planos faciales, también una estelación del compuesto de tres octaedros, tiene la misma estructura combinatoria que el hexaedro tetrakis pero con las caras del cubo abolladas hacia adentro en pirámides que se cruzan en lugar de unir las pirámides al exterior del cubo . [4]
El cubo alrededor del cual se pueden circunscribir los tres octaedros tiene nueve planos de simetría de reflexión . Tres de estos paneles de reflexión pasan paralelos a los lados del cubo, a medio camino entre dos lados opuestos; los otros seis pasan diagonalmente a través del cubo, a través de cuatro de sus vértices. Estos nueve planos coinciden con los nueve planos ecuatoriales de los tres octaedros. [2]
Historia
En el manuscrito del siglo XV De quinque corporibus regularibus de Piero della Francesca , della Francesca ya incluye un dibujo de un octaedro circunscrito alrededor de un cubo, con ocho de los bordes del cubo que se encuentran en las ocho caras del octaedro. Tres octaedros circunscritos de esta manera alrededor de un solo cubo formarían el compuesto de tres octaedros, pero della Francesca no representa el compuesto. [5]
La siguiente aparición del compuesto de tres octaedros en la literatura matemática parece ser una obra de 1900 de Max Brückner , que lo menciona e incluye una fotografía de un modelo del mismo. [2] [6]
El artista holandés MC Escher , en su xilografía Stars de 1948 , utilizó como figura central del grabado una jaula con esta forma, que contenía dos camaleones y flotaba en el espacio. [7] HSM Coxeter , asumiendo que Escher redescubrió esta forma de forma independiente, escribe que "Es notable que Escher, sin ningún conocimiento de álgebra o geometría analítica, fue capaz de redescubrir esta figura altamente simétrica". [2] Sin embargo, George W. Hart ha documentado que Escher estaba familiarizado con el trabajo de Brückner y lo utilizó como base para muchos de los poliedros estrellados y compuestos poliédricos que dibujó. [8] A principios de 1948, Escher había hecho un grabado en madera preliminar con un tema similar, Estudio de estrellas , pero en lugar de utilizar el compuesto de tres octaedros regulares en el estudio, utilizó una forma diferente pero relacionada, un dodecaedro rómbico estrellado (a veces llamado Sólido de Escher), que puede formarse como un compuesto de tres octaedros aplanados. [9] Esta forma de poliedro es topológicamente idéntica al dodecaedro disdyakis , que puede verse como un dodecaedro rómbico con pirámides más cortas en las caras rómbicas. La figura dual del compuesto octaédrico, el compuesto de tres cubos, también se muestra en un grabado posterior de Escher, Cascada , junto al mismo dodecaedro rómbico estrellado. [7]
El compuesto de tres octaedros volvió a entrar en la literatura matemática más propiamente con el trabajo de Bakos & Johnson (1959) , quienes observaron su existencia y proporcionaron coordenadas para sus vértices. Wenninger (1968) y Coxeter (1985) lo estudiaron con más detalle .
Otros compuestos de tres octaedros
Con los octaedros vistos como antiprismas triangulares , existe otro compuesto prismático uniforme de antiprismas con simetría D 3d , orden 12. Cada antiprisma se gira 40 grados. Se puede ver que los planos superior e inferior contienen el eneagrama compuesto , {9/3} o 3 {3}.
Ver también
- Compuesto de cuatro octaedros
- Compuesto de cinco octaedros
- Compuesto de diez octaedros
- Compuesto de veinte octaedros
Referencias
- ^ a b Bakos, T .; Johnson, Norman W. (1959), "Octahedra inscrito en un cubo", The Mathematical Gazette , 43 (343): 17-20, JSTOR 3608867.
- ^ a b c d e f g Coxeter, HSM (1985), "Una reseña de libro especial: MC Escher: Su vida y obra gráfica completa", The Mathematical Intelligencer , 7 (1): 59–69, doi : 10.1007 / BF03023010. La discusión del compuesto de tres octaedros se encuentra en las págs. 61–62.
- ^ Wenninger, MJ (1968), "Algunos compuestos octaédricos interesantes", The Mathematical Gazette , 52 (379): 16-23, JSTOR 3614454.
- ^ a b Shephard, GC (1999), "Isohedra deltahedra", Periodica Mathematica Hungarica , 39 (1-3): 83-106, doi : 10.1023 / A: 1004838806529.
- ^ Hart, George W. (1998), "Poliedros de Piero della Francesca", Poliedros virtuales.
- ^ Brückner, Max (1900), Vielecke und Vielflache , Leipzig: Teubner, pág. 188 y Tafel VIII 12. Como lo cita Coxeter (1985) .
- ^ a b Hart, George W. (1996), "Los poliedros de MC Escher", Poliedros virtuales.
- ^ Hart, George W. , "Max Brücknerʼs Wunderkammer of Paper Polyhedra", Actas de la conferencia Bridges 2019 (PDF) , págs. 59–66
- ↑ El compuesto de tres octaedros y un notable compuesto de tres bipirámides cuadradas, el sólido de Escher , Livio Zefiro, Universidad de Génova.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. , "Octahedron 3-Compound" , MathWorld