Hexaedro tetrakis | |
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(Haga clic aquí para ver el modelo giratorio) | |
Tipo | Sólido catalán |
Diagrama de Coxeter | |
Notación de Conway | kC |
Tipo de cara | V4.6.6 triángulo isósceles |
Caras | 24 |
Bordes | 36 |
Vértices | 14 |
Vértices por tipo | 6 {4} +8 {6} |
Grupo de simetría | O h , B 3 , [4,3], (* 432) |
Grupo de rotacion | O, [4,3] + , (432) |
Ángulo diedro | 143 ° 07′48 ″ arcos (-4/5) |
Propiedades | convexo, cara transitiva |
Octaedro truncado ( poliedro dual ) | Neto |
En geometría , un tetrakis hexaedro (también conocido como tetrahexaedro , hextetraedro , tetrakis cubo y kiscube [2] ) es un sólido catalán . Su dual es el octaedro truncado , un sólido de Arquímedes .
También se le puede llamar hexaedro disdyakis o tetraedro hexakis como el dual de un tetraedro omnitruncado .
Coordenadas cartesianas
Las coordenadas cartesianas para los 14 vértices de un hexaedro tetrakis centrado en el origen, son los puntos (± 3/2, 0, 0), (0, ± 3/2, 0), (0, 0, ± 3/2) y (± 1, ± 1, ± 1).
La longitud de las aristas más cortas de este hexaedro tetraquis es igual a 3/2 y la de las aristas más largas es igual a 2. Las caras son triángulos isósceles agudos. El ángulo mayor de estos es igual a y los dos mas pequeños iguales .
Proyecciones ortogonales
El tetrakis hexaedro , dual del octaedro truncado tiene 3 posiciones de simetría, dos ubicadas en los vértices y una en el borde medio.
Simetría proyectiva | [2] | [4] | [6] |
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Hexaedro tetrakis | |||
truncada octaedro |
Usos
Se observan formaciones naturales ( cristalinas ) de tetrahexaedros en los sistemas de cobre y fluorita .
Los jugadores usan ocasionalmente dados poliédricos con forma de hexaedro tetrakis .
Una celda de 24 vistas bajo una proyección en perspectiva de vértice primero tiene una topología de superficie de un hexaedro tetrakis y las proporciones geométricas del dodecaedro rómbico , con las caras rómbicas divididas en dos triángulos.
El hexaedro tetrakis aparece como uno de los ejemplos más simples en la teoría de la construcción . Considere el espacio simétrico de Riemann asociado al grupo SL 4 ( R ) . Su límite de Tetas tiene la estructura de un edificio esférico cuyos apartamentos son esferas bidimensionales. La partición de esta esfera en simplices esféricos (cámaras) se puede obtener tomando la proyección radial de un hexaedro tetrakis.
Simetría
Con T d , [3,3] (* 332) simetría tetraédrica , las caras triangulares representan los 24 dominios fundamentales de la simetría tetraédrica. Este poliedro se puede construir a partir de 6 grandes círculos en una esfera. También puede verse por un cubo con sus caras cuadradas trianguladas por sus vértices y centros de caras y un tetraedro con sus caras divididas por vértices, aristas medias y un punto central.
Tetratetraedro truncado | Disdyakis hexaedro | deltoidal dodecaedro | rómbica hexaedro | Tetraedro |
Poliedro esférico | |||
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(ver modelo giratorio ) | Proyecciones ortográficas de 2, 3 y 4 ejes |
Los bordes del hexaedro tetrakis esférico pertenecen a seis grandes círculos, que corresponden a planos especulares en simetría tetraédrica . Se pueden agrupar en tres pares de círculos ortogonales (que normalmente se cruzan en un eje de coordenadas cada uno). En las imágenes de abajo, estos hosoedros cuadrados están coloreados de rojo, verde y azul.
Proyecciones estereográficas | |||
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Doble | Triple | 4 veces | |
Dimensiones
Si denotamos la longitud del borde del cubo base por a , la altura de cada cima de la pirámide sobre el cubo es a/4. La inclinación de cada cara triangular de la pirámide frente a la cara del cubo es arctan ( 1/2), aproximadamente 26,565 ° (secuencia A073000 en la OEIS ). Un borde de los triángulos isósceles tiene una longitud a , los otros dos tienen una longitud 3 a/4, que sigue aplicando el teorema de Pitágoras a la altura y la longitud de la base. Esto produce una altitud de √ 5 a/4en el triángulo ( OEIS : A204188 ). Su area es √ 5 a/8, y los ángulos internos son arccos ( 2/3) (aproximadamente 48.1897 °) y los complementarios 180 ° - 2 arcos ( 2/3) (aproximadamente 83,6206 °).
El volumen de la pirámide es un 3/12; por lo que el volumen total de las seis pirámides y el cubo en el hexaedro es 3 a 3/2.
Kleetope
Puede verse como un cubo con pirámides cuadradas que cubren cada cara cuadrada; es decir, es el Kleetope del cubo.
Pirámide cúbica
Es muy similar a la red 3D para una pirámide cúbica 4D , ya que la red para una base cuadrada es un cuadrado con triángulos unidos a cada borde, la red para una pirámide cúbica es un cubo con pirámides cuadradas unidas a cada cara.
Poliedros y teselados relacionados
Poliedros octaédricos uniformes | ||||||||||
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Simetría : [4,3], (* 432) | [4,3] + (432) | [1 + , 4,3] = [3,3] (* 332) | [3 + , 4] (3 * 2) | |||||||
{4,3} | t {4,3} | r {4,3} r {3 1,1 } | t {3,4} t {3 1,1 } | {3,4} {3 1,1 } | rr {4,3} s 2 {3,4} | tr {4,3} | sr {4,3} | h {4,3} {3,3} | h 2 {4,3} t {3,3} | s {3,4} s {3 1,1 } |
= | = | = | = o | = o | = | |||||
Poliedros duales a uniformes | ||||||||||
V4 3 | V3.8 2 | V (3,4) 2 | V4.6 2 | V3 4 | V3.4 3 | V4.6.8 | V3 4 .4 | V3 3 | V3.6 2 | V3 5 |
* n 32 mutación de simetría de teselaciones truncadas: n .6.6 | ||||||||||||
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Sym. * n 42 [n, 3] | Esférico | Euclides. | Compacto | Parac. | Hiperbólico no compacto | |||||||
* 232 [2,3] | * 332 [3,3] | * 432 [4,3] | * 532 [5,3] | * 632 [6,3] | * 732 [7,3] | * 832 [8,3] ... | * ∞32 [∞, 3] | [12i, 3] | [9i, 3] | [6i, 3] | ||
Figuras truncadas | ||||||||||||
Config. | 2.6.6 | 3.6.6 | 4.6.6 | 5.6.6 | 6.6.6 | 7.6.6 | 8.6.6 | ∞.6.6 | 12i.6.6 | 9i.6.6 | 6i.6.6 | |
figuras n-kis | ||||||||||||
Config. | V2.6.6 | V3.6.6 | V4.6.6 | V5.6.6 | V6.6.6 | V7.6.6 | V8.6.6 | V∞.6.6 | V12i.6.6 | V9i.6.6 | V6i.6.6 |
Es un poliedro en una secuencia definida por la configuración de caras V4.6.2 n . Este grupo es especial por tener todos los números pares de aristas por vértice y formar planos bisectantes a través de los poliedros y líneas infinitas en el plano, y continuar hacia el plano hiperbólico para cualquier n ≥ 7.
Con un número par de caras en cada vértice, estos poliedros y teselados se pueden mostrar alternando dos colores para que todas las caras adyacentes tengan colores diferentes.
Cada cara en estos dominios también corresponde al dominio fundamental de un grupo de simetría con orden 2,3, n espejos en cada vértice de la cara del triángulo.
* n 32 mutaciones de simetría de teselaciones omnitruncadas: 4.6.2n | ||||||||||||
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Sym. * n 32 [ n , 3] | Esférico | Euclides. | Hyperb compacto. | Paraco. | Hiperbólico no compacto | |||||||
* 232 [2,3] | * 332 [3,3] | * 432 [4,3] | * 532 [5,3] | * 632 [6,3] | * 732 [7,3] | * 832 [8,3] | * ∞32 [∞, 3] | [12i, 3] | [9i, 3] | [6i, 3] | [3i, 3] | |
Cifras | ||||||||||||
Config. | 4.6.4 | 4.6.6 | 4.6.8 | 4.6.10 | 4.6.12 | 4.6.14 | 4.6.16 | 4.6.∞ | 4.6.24i | 4.6.18i | 4.6.12i | 4.6.6i |
Duales | ||||||||||||
Config. | V4.6.4 | V4.6.6 | V4.6.8 | V4.6.10 | V4.6.12 | V4.6.14 | V4.6.16 | V4.6.∞ | V4.6.24i | V4.6.18i | V4.6.12i | V4.6.6i |
Ver también
- Triacontaedro de Disdyakis
- Disdyakis dodecaedro
- Azulejos Kisrhombille
- Compuesto de tres octaedros
- Iicositetraedro deltoidal , otro sólido catalán de 24 caras.
Referencias
- ^ Hexakistetraeder en alemán, consulte, por ejemplo, la página de Meyers y la página de Brockhaus . El mismo dibujo aparece en Brockhaus y Efron como преломленный пирамидальный тетраэдр ( tetraedro piramidal refractado ).
- ^ Conway, Simetrías de las cosas , p.284
- Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro fuente de diseño . Publicaciones de Dover, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Sección 3-9)
- Wenninger, Magnus (1983), Modelos duales , Cambridge University Press , doi : 10.1017 / CBO9780511569371 , ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208 (Los trece poliedros convexos semirregulares y sus duales, página 14, tetraquishexaedro)
- Las simetrías de las cosas 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Capítulo 21, Denominación de los poliedros y teselaciones de Arquímedes y Catalán, página 284, Hexaedro de tetrakis)
enlaces externos
- Eric W. Weisstein , Tetrakis hexahedron ( sólido catalán ) en MathWorld .
- Poliedros de realidad virtual www.georgehart.com: La enciclopedia de los poliedros
- Modelo VRML
- Notación de Conway para Polyhedra Try: "dtO" o "kC"
- Tetrakis Hexahedron - Modelo de poliedro interactivo
- Los poliedros uniformes