Función cóncava

Negativo de una función convexa

En matemáticas , una función cóncava es el negativo de una función convexa . Una función cóncava también se sinónimo llama cóncava hacia abajo , cóncava hacia abajo , convexa hacia arriba , tapa convexa , o convexa superior .

Definición

Una función de valor real ${\displaystyle f}$en un intervalo (o, más generalmente, un conjunto convexo en el espacio vectorial ) se dice que es cóncavo si, para cualquier${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle y}$ en el intervalo y para cualquier ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$, ^[1]

${\displaystyle f((1-\alpha )x+\alpha y)\geq (1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)}$

Una función se llama estrictamente cóncava si

${\displaystyle f((1-\alpha )x+\alpha y)>(1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)\,}$

para cualquier ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$ y ${\displaystyle x\neq y}$.

Para una función ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, esta segunda definición simplemente establece que para cada ${\displaystyle z}$ estrictamente entre ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle y}$, el punto ${\displaystyle (z,f(z))}$ en la gráfica de ${\displaystyle f}$ está por encima de la línea recta que une los puntos ${\displaystyle (x,f(x))}$ y ${\displaystyle (y,f(y))}$.

Una función ${\displaystyle f}$es cuasicóncavo si el contorno superior de la función${\displaystyle S(a)=\{x:f(x)\geq a\}}$son conjuntos convexos. ^[2]

Propiedades

Funciones de una sola variable

1. Una función diferenciable f es (estrictamente) cóncava en un intervalo si y solo si su función derivada f ′ es (estrictamente) monótonamente decreciente en ese intervalo, es decir, una función cóncava tiene una pendiente no creciente (decreciente) . ^{[3] [4]}

2. Los puntos donde cambia la concavidad (entre cóncavo y convexo ) son puntos de inflexión . ^[5]

3. Si f es dos veces diferenciable , entonces f es cóncava si y sólo si f ′ ′ no es positivo (o, informalmente, si la " aceleración " no es positiva). Si su segunda derivada es negativa, entonces es estrictamente cóncava, pero lo contrario no es cierto, como lo muestra f ( x ) = - x ⁴ .

4. Si f es cóncava y diferenciable, entonces está acotada arriba por su aproximación de Taylor de primer orden : ^[2]

${\displaystyle f(y)\leq f(x)+f'(x)[y-x]}$

5. Un Lebesgue función medible en un intervalo C es cóncava si y sólo si es cóncava punto medio, es decir, para cualquier x y y en C

${\displaystyle f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\geq {\frac {f(x)+f(y)}{2}}}$

6. Si una función f es cóncava y f (0) ≥ 0 , entonces f es subaditivo en${\displaystyle [0,\infty )}$. Prueba:

• Dado que f es cóncava y 1 ≥ t ≥ 0 , dejando y = 0 tenemos${\displaystyle f(tx)=f(tx+(1-t)\cdot 0)\geq tf(x)+(1-t)f(0)\geq tf(x).}$
• Para ${\displaystyle a,b\in [0,\infty )}$:

${\displaystyle f(a)+f(b)=f\left((a+b){\frac {a}{a+b}}\right)+f\left((a+b){\frac {b}{a+b}}\right)\geq {\frac {a}{a+b}}f(a+b)+{\frac {b}{a+b}}f(a+b)=f(a+b)}$

Funciones de n variables

1. Una función f es cóncava sobre un conjunto convexo si y sólo si la función −f es una función convexa sobre el conjunto.

2. La suma de dos funciones cóncavas es en sí misma cóncava y también lo es el mínimo puntual de dos funciones cóncavas, es decir, el conjunto de funciones cóncavas en un dominio dado forma un semicampo .

3. Cerca de un máximo local en el interior del dominio de una función, la función debe ser cóncava; como recíproco parcial, si la derivada de una función estrictamente cóncava es cero en algún punto, entonces ese punto es un máximo local.

4. Cualquier máximo local de una función cóncava también es un máximo global . Una función estrictamente cóncava tendrá como máximo un máximo global.

Ejemplos

• Las funciones ${\displaystyle f(x)=-x^{2}}$ y ${\displaystyle g(x)={\sqrt {x}}}$ son cóncavas en sus dominios, ya que sus segundas derivadas ${\displaystyle f''(x)=-2}$ y ${\textstyle g''(x)=-{\frac {1}{4x^{3/2}}}}$ son siempre negativos.
• La función logaritmo${\displaystyle f(x)=\log {x}}$ es cóncava en su dominio ${\displaystyle (0,\infty )}$, como su derivado ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$ es una función estrictamente decreciente.
• Cualquier función afín ${\displaystyle f(x)=ax+b}$ es cóncava y convexa, pero ni estrictamente cóncava ni estrictamente convexa.
• La función seno es cóncava en el intervalo${\displaystyle [0,\pi ]}$.
• La función ${\displaystyle f(B)=\log |B|}$, donde ${\displaystyle |B|}$es el determinante de una matriz B definida no negativa , es cóncava. ^[6]

Aplicaciones

• Los rayos que se desvían en el cálculo de la atenuación de las ondas de radio en la atmósfera involucran funciones cóncavas.
• En la teoría de la utilidad esperada para la elección en condiciones de incertidumbre , las funciones de utilidad cardinales de quienes toman decisiones con aversión al riesgo son cóncavas.
• En la teoría microeconómica , generalmente se supone que las funciones de producción son cóncavas en algunos o todos sus dominios, lo que da como resultado rendimientos decrecientes de los factores de entrada. ^[7]

Ver también

• Polígono cóncavo
• La desigualdad de Jensen
• Función logarítmicamente cóncava
• Función cuasicóncava
• Concavificación

Referencias

1. Lenhart, S .; Obrero, JT (2007). Control óptimo aplicado a modelos biológicos . Serie de Biología Matemática y Computacional. Chapman y Hall / CRC. ISBN 978-1-58488-640-2.
2. Varian, Hal R. (1992). Análisis microeconómico (3ª ed.). Nueva York: Norton. pag. 489. ISBN 0-393-95735-7. OCLC  24847759 .
3. Rudin, Walter (1976). Análisis . pag. 101.
4. Gradshteyn, ES; Ryzhik, MI; Hays, DF (1 de julio de 1976). "Tabla de Integrales, Series y Productos" . Revista de tecnología de lubricación . 98 (3): 479. doi : 10.1115 / 1.3452897 . ISSN 0022-2305 . 
5. Hass, Joel (13 de marzo de 2017). Cálculo de Thomas . Heil, Christopher, 1960-, Weir, Maurice D. ,, Thomas, George B., Jr. (George Brinton), 1914-2006. (Decimocuarta ed.). [Estados Unidos]. pag. 203. ISBN 978-0-13-443898-6. OCLC  965446428 .
6. Portada, Thomas M .; Thomas, JA (1988). "Desigualdades determinantes a través de la teoría de la información". Revista SIAM sobre Análisis y Aplicaciones Matriciales . 9 (3): 384–392. doi : 10.1137 / 0609033 . S2CID 5491763 . 
7. Pemberton, Malcolm; Rau, Nicolás (2015). Matemáticas para economistas: un libro de texto introductorio . Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 363–364. ISBN 978-1-78499-148-7.

Más referencias

• Crouzeix, J.-P. (2008). "Cuasi-concavidad" . En Durlauf, Steven N .; Blume, Lawrence E (eds.). The New Palgrave Dictionary of Economics (Segunda ed.). Palgrave Macmillan. págs. 815–816. doi : 10.1057 / 9780230226203.1375 . ISBN 978-0-333-78676-5.
• Rao, Singiresu S. (2009). Optimización de la ingeniería: teoría y práctica . John Wiley e hijos. pag. 779. ISBN 978-0-470-18352-6.