Conexión (matemáticas)
En geometría , la noción de conexión precisa la idea de transportar objetos geométricos locales, como vectores tangentes o tensores en el espacio tangente, a lo largo de una curva o familia de curvas de manera paralela y consistente. Hay varios tipos de conexiones en la geometría moderna, según el tipo de datos que se desee transportar. Por ejemplo, una conexión afín , el tipo de conexión más elemental, proporciona un medio para el transporte paralelo de vectores tangentes en una variedad de un punto a otro a lo largo de una curva. Una conexión afín se da típicamente en forma de una derivada covariante , que proporciona un medio para tomarderivadas direccionales de campos vectoriales, midiendo la desviación de un campo vectorial de ser paralelo en una dirección dada.
Las conexiones son de importancia central en la geometría moderna en gran parte porque permiten una comparación entre la geometría local en un punto y la geometría local en otro punto. La geometría diferencial abarca varias variaciones sobre el tema de la conexión, que se dividen en dos grupos principales: la infinitesimal y la teoría local. La teoría local se ocupa principalmente de las nociones de transporte paralelo y holonomía . La teoría infinitesimal se ocupa de la diferenciación de datos geométricos. Por lo tanto, una derivada covariante es una forma de especificar una derivada de un campo vectorial a lo largo de otro campo vectorial en una variedad. Una conexión Cartanes una forma de formular algunos aspectos de la teoría de conexiones utilizando formas diferenciales y grupos de Lie . Una conexión Ehresmann es una conexión en un haz de fibras o un haz principal especificando las direcciones permitidas de movimiento del campo. Una conexión Koszul es una conexión que define la derivada direccional para secciones de un paquete vectorial más general que el paquete tangente.
Las conexiones también conducen a formulaciones convenientes de invariantes geométricos , como la curvatura (ver también tensor de curvatura y forma de curvatura ) y tensor de torsión .
Considere el siguiente problema. Supongamos que en el polo norte se da un vector tangente a la esfera S , y vamos a definir una manera de mover consistentemente este vector a otros puntos de la esfera: un medio para el transporte paralelo . Ingenuamente, esto podría hacerse usando un sistema de coordenadas particular. Sin embargo, a menos que se aplique el cuidado adecuado, el transporte paralelo definido en un sistema de coordenadas no coincidirá con el de otro sistema de coordenadas. Un sistema de transporte paralelo más apropiado explota la simetría de la esfera bajo rotación. Dado un vector en el polo norte, uno puede transportar este vector a lo largo de una curva girando la esfera de tal manera que el polo norte se mueva a lo largo de la curva sin rodar axialmente. Este último medio de transporte paralelo es la conexión Levi-Civita en la esfera. Si se dan dos curvas diferentes con el mismo punto inicial y terminal, y un vector v se mueve rígidamente a lo largo de la primera curva mediante una rotación, el vector resultante en el punto terminal será diferente deel vector resultante de mover rígidamente v a lo largo de la segunda curva. Este fenómeno refleja la curvatura de la esfera. Un dispositivo mecánico simple que se puede usar para visualizar el transporte paralelo es el carro que apunta al sur .
Por ejemplo, supongamos que S es una esfera dada por las coordenadas de la proyección estereográfica . Considere S como consistente en vectores unitarios en R 3 . Entonces S lleva un par de parches de coordenadas correspondientes a las proyecciones desde el polo norte y el polo sur. las asignaciones
cubrir una vecindad U 0 del polo norte y U 1 del polo sur, respectivamente. Sean X , Y , Z las coordenadas ambientales en R 3 . Entonces φ 0 y φ 1 tienen inversas
