En matemáticas , una función continua es una función que no tiene cambios bruscos de valor , conocidos como discontinuidades . Más precisamente, una función es continua si se pueden asegurar cambios arbitrariamente pequeños en su salida restringiendo a cambios suficientemente pequeños en su entrada. Si no es continua, se dice que una función es discontinua . Hasta el siglo XIX, los matemáticos se basaron en gran medida en nociones intuitivas de continuidad, durante las cuales se hicieron intentos como la definición épsilon-delta para formalizarla.
La continuidad de las funciones es uno de los conceptos centrales de la topología , que se trata en su totalidad a continuación. La parte introductoria de este artículo se centra en el caso especial en el que las entradas y salidas de funciones son números reales . Una forma más fuerte de continuidad es la continuidad uniforme . Además, este artículo analiza la definición para el caso más general de funciones entre dos espacios métricos . En la teoría del orden , especialmente en la teoría del dominio , se considera una noción de continuidad conocida como continuidad de Scott . Existen otras formas de continuidad, pero no se tratan en este artículo.
Como ejemplo, la función H ( t ) que denota la altura de una flor en crecimiento en el tiempo t se consideraría continua. Por el contrario, la función M ( t ) que denota la cantidad de dinero en una cuenta bancaria en el momento t se consideraría discontinua, ya que "salta" en cada momento en el que se deposita o retira dinero.
Historia
Una forma de la definición épsilon-delta de continuidad fue dada por primera vez por Bernard Bolzano en 1817. Augustin-Louis Cauchy definió la continuidad de de la siguiente manera: un incremento infinitamente pequeño de la variable independiente x siempre produce un cambio infinitamente pequeñode la variable dependiente y (véase, por ejemplo, Cours d'Analyse , p. 34). Cauchy definió cantidades infinitamente pequeñas en términos de cantidades variables, y su definición de continuidad se asemeja mucho a la definición infinitesimal utilizada hoy (ver microcontinuidad ). La definición formal y la distinción entre continuidad puntual y continuidad uniforme fueron dadas por primera vez por Bolzano en la década de 1830, pero el trabajo no se publicó hasta la década de 1930. Al igual que Bolzano, [1] Karl Weierstrass [2] negó la continuidad de una función en un punto c a menos que se definiera en y en ambos lados de c , pero Édouard Goursat [3] permitió que la función se definiera solo en y en un lado de c , y Camille Jordan [4] lo permitió incluso si la función se definió solo en c . Las tres definiciones no equivalentes de continuidad puntual todavía están en uso. [5] Eduard Heine proporcionó la primera definición publicada de continuidad uniforme en 1872, pero basó estas ideas en conferencias dadas por Peter Gustav Lejeune Dirichlet en 1854. [6]
Funciones reales
Definición
Una función real , que es una función de números reales a números reales, se puede representar mediante una gráfica en el plano cartesiano ; tal función es continua si, en términos generales, el gráfico es una única curva ininterrumpida cuyo dominio es la línea real completa. A continuación se ofrece una definición más rigurosa matemáticamente. [7]
En un primer curso de cálculo se suele dar una definición rigurosa de la continuidad de las funciones reales en términos de la idea de límite . Primero, se dice que una función f con variable x es continua en el punto c de la línea real, si el límite de f ( x ) , cuando x se acerca a ese punto c , es igual al valor f (c) ; y segundo, se dice que la función (como un todo) es continua , si es continua en todos los puntos. Se dice que una función es discontinua (o que tiene una discontinuidad ) en algún momento cuando no es continua allí. Estos puntos en sí mismos también se tratan como discontinuidades .
Hay varias definiciones diferentes de continuidad de una función. A veces se dice que una función es continua si es continua en todos los puntos de su dominio. En este caso, la función f ( x ) = tan ( x ) , con el dominio de todo real x ≠ (2 n +1) π / 2 , n cualquier entero, es continua. A veces se hace una excepción para los límites del dominio. Por ejemplo, la gráfica de la función f ( x ) = √ x , con el dominio de todos los reales no negativos, tiene un extremo izquierdo . En este caso, solo se requiere el límite de la derecha para igualar el valor de la función. Bajo esta definición f es continua en el límite x = 0 y así para todos los argumentos no negativos. La definición más común y restrictiva es que una función es continua si es continua en todos los números reales. En este caso, los dos ejemplos anteriores no son continuos, pero cada función polinomial es continua, al igual que las funciones seno , coseno y exponencial . Se debe tener cuidado al usar la palabra continuo , de modo que quede claro en el contexto qué significado de la palabra se pretende.
Usando la notación matemática, hay varias formas de definir funciones continuas en cada uno de los tres sentidos mencionados anteriormente.
Dejar
- ser una función definida en un subconjunto del set de números reales.
Este subconjunto es el dominio de f . Algunas opciones posibles incluyen
- ( es todo el conjunto de números reales), o, para una y b números reales,
- ( es un intervalo cerrado ), o
- ( es un intervalo abierto ).
En caso del dominio definiéndose como un intervalo abierto, y no perteneces a , y los valores de y no importa para la continuidad en .
Definición en términos de límites de funciones
La función f es continua en algún punto c de su dominio si el límite de f ( x ), cuando x se acerca a c a través del dominio de f , existe y es igual af ( c ). [8] En notación matemática, esto se escribe como
En detalle, esto significa tres condiciones: primero, f debe definirse en c (garantizado por el requisito de que c esté en el dominio de f ). En segundo lugar, tiene que existir el límite en el lado izquierdo de esa ecuación. En tercer lugar, el valor de este límite debe ser igual a f ( c ).
La definición formal de un límite implica que toda función es continua en cada punto aislado de su dominio.
Definición en términos de barrios
Una vecindad de un punto c es un conjunto que contiene, al menos, todos los puntos dentro de una distancia fija de c . Intuitivamente, una función es continua en un punto c si el rango de f en la vecindad de c se reduce a un solo punto f ( c ) cuando el ancho de la vecindad alrededor de c se reduce a cero. Más precisamente, una función f es continua en un punto c de su dominio si, para cualquier vecindad hay un barrio en su dominio tal que cuando sea
Esta definición solo requiere que el dominio y el codominio sean espacios topológicos y, por lo tanto, es la definición más general. De esta definición se deduce que una función f es automáticamente continua en cada punto aislado de su dominio. Como ejemplo específico, cada función de valor real en el conjunto de números enteros es continua.
Definición en términos de límites de sucesiones
En cambio, se puede requerir que para cualquier secuencia de puntos en el dominio que converge a c , la secuencia correspondienteconverge af ( c ). En notación matemática,
Definiciones de Weierstrass y Jordan (épsilon-delta) de funciones continuas
Incluyendo explícitamente la definición del límite de una función, obtenemos una definición autocontenida: Dada una función f : D → R como arriba y un elemento x 0 del dominio D , se dice que f es continua en el punto x 0 cuando se cumple lo siguiente: Para cualquier número ε > 0, por pequeño que sea, existe algún número δ > 0 tal que para todo x en el dominio de f con x 0 - δ < x < x 0 + δ , el valor de f ( x ) satisface
Escrito alternativamente, la continuidad de f : D → R en x 0 ∈ D significa que para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para todo x ∈ D :
Más intuitivamente, podemos decir que si queremos obtener todos los f ( x valores) de residir en una pequeña zona alrededor de f ( x 0 ), simplemente hay que elegir un pequeño barrio suficiente para los x valores en torno x 0 . Si podemos hacer eso sin importar cuán pequeño sea el vecindario f ( x ), entonces f es continua en x 0 .
En términos modernos, esto se generaliza mediante la definición de continuidad de una función con respecto a una base para la topología , aquí la topología métrica .
Weierstrass había requerido que el intervalo x 0 - δ < x < x 0 + δ estuviera completamente dentro del dominio D , pero Jordan eliminó esa restricción.
Definición en términos de control del resto
En las pruebas y el análisis numérico, a menudo necesitamos saber qué tan rápido están convergiendo los límites, o en otras palabras, el control del resto. Podemos formalizar esto en una definición de continuidad. Una función se llama función de control si
- C no es decreciente
Una función f : D → R es C -continua en x 0 si
- para todos
Una función es continua en x 0 si es C -Continua para alguna función de control C .
Este enfoque conduce naturalmente a refinar la noción de continuidad al restringir el conjunto de funciones de control admisibles. Para un conjunto dado de funciones de control una función es -continuo si es -continuo para algunos . Por ejemplo, las funciones continuas de Lipschitz y Hölder del exponente α a continuación están definidas por el conjunto de funciones de control
respectivamente
- .
Definición usando oscilación
La continuidad también se puede definir en términos de oscilación : una función f es continua en un punto x 0 si y sólo si su oscilación en ese punto es cero; [9] en símbolos,Una ventaja de esta definición es que cuantifica la discontinuidad: la oscilación da forma tanto la función es discontinua en un punto.
Esta definición es útil en la teoría descriptiva de conjuntos para estudiar el conjunto de discontinuidades y puntos continuos - los puntos continuos son la intersección de los conjuntos donde la oscilación es menor que ε (por lo tanto, un conjunto G δ ) - y da una prueba muy rápida de uno dirección de la condición de integrabilidad de Lebesgue . [10]
La oscilación es equivalente a la definición de ε - δ por una simple reordenación, y usando un límite ( lim sup , lim inf ) para definir la oscilación: si (en un punto dado) para un ε 0 dado no hay δ que satisface la definición de ε - δ , entonces la oscilación es al menos ε 0 y, a la inversa, si para cada ε hay un δ deseado , la oscilación es 0. La definición de oscilación se puede generalizar naturalmente a mapas de un espacio topológico a un espacio métrico .
Definición usando los hiperreal
Cauchy definió la continuidad de una función en los siguientes términos intuitivos: un cambio infinitesimal en la variable independiente corresponde a un cambio infinitesimal de la variable dependiente (ver Cours d'analyse , página 34). El análisis no estándar es una forma de hacer esto matemáticamente riguroso. La línea real se aumenta mediante la adición de números infinitos e infinitesimales para formar los números hiperreales . En el análisis no estándar, la continuidad se puede definir de la siguiente manera.
- Una función de valor real f es continua en x si su extensión natural a los hiperreal tiene la propiedad de que para todo dx infinitesimal , f ( x + dx ) - f ( x ) es infinitesimal [11]
(ver microcontinuidad ). En otras palabras, un incremento infinitesimal de la variable independiente siempre produce un cambio infinitesimal de la variable dependiente, dando una expresión moderna a la definición de continuidad de Augustin-Louis Cauchy .
Construcción de funciones continuas
La verificación de la continuidad de una función dada se puede simplificar al verificar una de las propiedades definitorias anteriores para los bloques de construcción de la función dada. Es sencillo demostrar que la suma de dos funciones, continua en algún dominio, también es continua en este dominio. Dado
entonces la suma de funciones continuas
(definido por para todos ) es continuo en .
Lo mismo vale para el producto de funciones continuas,
(definido por para todos ) es continuo en .
Combinando las preservaciones anteriores de la continuidad y la continuidad de las funciones constantes y de la función de identidad en , se llega a la continuidad de todas las funciones polinomiales en, como
- f ( x ) = x 3 + x 2 - 5 x + 3
(en la foto de la derecha).
De la misma manera se puede demostrar que el recíproco de una función continua
(definido por para todos tal que ) es continuo en .
Esto implica que, excluyendo las raíces de , el cociente de funciones continuas
(definido por para todos , tal que ) también es continuo en .
Por ejemplo, la función (en la imagen)
está definido para todos los números reales x ≠ −2 y es continuo en cada uno de esos puntos. Por tanto, es una función continua. La cuestión de la continuidad en x = −2 no surge, ya que x = −2 no está en el dominio de y . No existe una función continua F : R → R que esté de acuerdo con y ( x ) para todo x ≠ −2 .
Dado que la función seno es continua en todos los reales, la función sinc G ( x ) = sin ( x ) / x , está definida y es continua para todos los reales x ≠ 0. Sin embargo, a diferencia del ejemplo anterior, G se puede extender a un continuo función en todos los números reales, definiendo el valor G (0) como 1, que es el límite de G ( x ), cuando x se acerca a 0, es decir,
Por lo tanto, estableciendo
la función sinc se convierte en una función continua en todos los números reales. El término singularidad removible se usa en tales casos, cuando (re) definir valores de una función para que coincidan con los límites apropiados hacen que una función sea continua en puntos específicos.
Una construcción más complicada de funciones continuas es la composición de funciones . Dadas dos funciones continuas
su composición, denotada como , y definido por es continuo.
Esta construcción permite afirmar, por ejemplo, que
- es continuo para todos
Ejemplos de funciones discontinuas
Un ejemplo de una función discontinua es la función escalón Heaviside , definido por
Elige por ejemplo . Entonces no hay-barrio alrededor, es decir, sin intervalo abierto con que forzará a todos los valores para estar dentro del -barrio de, es decir, dentro . Intuitivamente podemos pensar en este tipo de discontinuidad como un salto repentino en los valores de las funciones.
Del mismo modo, la función signum o sign
es discontinuo en pero continuo en todas partes. Otro ejemplo más: la función
es continuo en todas partes excepto en .
Además de las continuidades y discontinuidades plausibles como las anteriores, también hay funciones con un comportamiento, a menudo acuñado como patológico , por ejemplo, la función de Thomae ,
es continuo en todos los números irracionales y discontinuo en todos los números racionales. De manera similar, la función de Dirichlet , la función indicadora para el conjunto de números racionales,
no es continuo en ninguna parte.
Propiedades
Un lema útil
Dejar ser una función que es continua en un punto y ser un valor como Luego a lo largo de algún barrio de [12]
Prueba: según la definición de continuidad, tome , entonces existe tal que
Suponga que hay un punto en el vecindario para cual entonces tenemos la contradicción
Teorema del valor intermedio
El teorema del valor intermedio es un teorema de existencia , basado en la propiedad de completitud del número real , y establece:
- Si la función de valor real f es continua en el intervalo cerrado [ a , b ] yk es algún número entre f ( a ) yf ( b ), entonces hay un número c en [ a , b ] tal que f ( c ) = k .
Por ejemplo, si un niño crece de 1 ma 1,5 m entre las edades de dos y seis años, entonces, en algún momento entre los dos y los seis años, la altura del niño debe haber sido de 1,25 m.
Como consecuencia, si f es continua en [ a , b ] yf ( a ) yf ( b ) difieren en el signo , entonces, en algún punto c en [ a , b ], f ( c ) debe ser igual a cero .
Teorema del valor extremo
El teorema del valor extremo establece que si una función f se define en un intervalo cerrado [ a , b ] (o cualquier conjunto cerrado y acotado) y es continua allí, entonces la función alcanza su máximo, es decir, existe c ∈ [ a , b ] con f ( c ) ≥ f ( x ) para todo x ∈ [ a , b ]. Lo mismo ocurre con el mínimo de f . Estas afirmaciones no son, en general, verdaderas si la función se define en un intervalo abierto ( a , b ) (o cualquier conjunto que no sea cerrado y acotado), como, por ejemplo, la función continua f ( x ) = 1 / x , definido en el intervalo abierto (0,1), no alcanza un máximo, siendo ilimitado arriba.
Relación con la diferenciabilidad y la integrabilidad
Cada función diferenciable
es continuo, como se puede demostrar. Lo contrario no se cumple: por ejemplo, la función de valor absoluto
es continuo en todas partes. Sin embargo, no es diferenciable en x = 0 (pero lo es en todas partes). La función de Weierstrass también es continua en todas partes, pero no diferenciable en ninguna parte.
No es necesario que la derivada f ′ ( x ) de una función diferenciable f ( x ) sea continua. Si f ′ ( x ) es continua, se dice que f ( x ) es continuamente diferenciable. El conjunto de tales funciones se denota C 1 ( ( a , b ) ). De manera más general, el conjunto de funciones
(desde un intervalo abierto (o subconjunto abierto de R ) Ω a los reales) tal que f es n veces diferenciable y tal que la n -ésima derivada de f es continua se denota C n (Ω). Ver clase de diferenciabilidad . En el campo de los gráficos por computadora, las propiedades relacionadas (pero no idénticas) con C 0 , C 1 , C 2 a veces se denominan G 0 (continuidad de posición), G 1 (continuidad de tangencia) y G 2 (continuidad de curvatura) ; consulte Suavidad de curvas y superficies .
Cada función continua
es integrable (por ejemplo, en el sentido de la integral de Riemann ). Lo contrario no se cumple, como muestra la función de signo (integrable, pero discontinua) .
Límites puntuales y uniformes
Dada una secuencia
de funciones tales que el límite
existe para todas las x en D , la función resultante f ( x ) se conoce como el límite puntual de la secuencia de funciones ( f n ) n ∈ N . La función de límite puntual no necesita ser continua, incluso si todas las funciones f n son continuas, como muestra la animación de la derecha. Sin embargo, f es continua si todas las funciones f n son continuas y la secuencia converge uniformemente , según el teorema de convergencia uniforme . Este teorema se puede utilizar para demostrar que las funciones exponenciales , los logaritmos , la función raíz cuadrada y las funciones trigonométricas son continuas.
Direccional y semicontinuidad
Una función continua a la derecha
Una función continua a la izquierda
Las funciones discontinuas pueden ser discontinuas de forma restringida, dando lugar al concepto de continuidad direccional (o funciones continuas derecha e izquierda) y semicontinuidad . En términos generales, una función es continua a la derecha si no se produce ningún salto cuando se llega al punto límite desde la derecha. Formalmente, se dice que f es continua a la derecha en el punto c si se cumple lo siguiente: Para cualquier número ε > 0, por pequeño que sea, existe un número δ > 0 tal que para todo x en el dominio con c < x < c + δ , el valor de f ( x ) satisfará
Esta es la misma condición que para las funciones continuas, excepto que se requiere mantener para x estrictamente mayor que c solamente. Requerirlo en cambio para todo x con c - δ < x < c produce la noción de funciones continuas por la izquierda . Una función es continua si y solo si es tanto continua a la derecha como continua a la izquierda.
Una función f es semicontinua más baja si, aproximadamente, los saltos que puedan ocurrir solo van hacia abajo, pero no hacia arriba. Es decir, para cualquier ε > 0, existe un número δ > 0 tal que para todo x en el dominio con | x - c | < δ , el valor de f ( x ) satisface
La condición inversa es la semicontinuidad superior .
Funciones continuas entre espacios métricos
El concepto de funciones continuas de valor real se puede generalizar a funciones entre espacios métricos . Un espacio métrico es un conjunto X equipado con una función (llamada métrica ) d X , que puede ser pensado como una medida de la distancia de cualesquiera dos elementos en X . Formalmente, la métrica es una función
que satisface una serie de requisitos, en particular la desigualdad del triángulo . Dados dos espacios métricos ( X , d X ) y ( Y , d Y ) y una función
entonces f es continua en el punto c en X (con respecto a las métricas dadas) si para cualquier número real positivo ε, existe un número real positivo δ tal que todo x en X que satisfaga d X ( x , c ) <δ será también satisfaga d Y ( f ( x ), f ( c )) <ε. Como en el caso de las funciones reales anteriores, esto es equivalente a la condición de que para cada secuencia ( x n ) en X con límite lim x n = c , tenemos lim f ( x n ) = f ( c ). La última condición se puede debilitar de la siguiente manera: f es continua en el punto c si y solo si para cada secuencia convergente ( x n ) en X con límite c , la secuencia ( f ( x n )) es una secuencia de Cauchy , y c está en el dominio de f .
El conjunto de puntos en los que una función entre espacios métricos es continua es un conjunto G δ ; esto se deriva de la definición de continuidad ε-δ.
Esta noción de continuidad se aplica, por ejemplo, en el análisis funcional . Una declaración clave en esta área dice que un operador lineal
entre los espacios vectoriales normativos V y W (que son espacios vectoriales equipados con una norma compatible , denotada || x ||) es continua si y solo si está acotada , es decir, hay una constante K tal que
para todas las x en V .
Continuidad de Uniform, Hölder y Lipschitz
El concepto de continuidad para funciones entre espacios métricos se puede fortalecer de varias formas limitando la forma en que δ depende de ε yc en la definición anterior. Intuitivamente, una función f como la anterior es uniformemente continua si δ no depende del punto c . Más precisamente, se requiere que para cada número real ε > 0 exista δ > 0 tal que para cada c , b ∈ X con d X ( b , c ) < δ , tenemos que d Y ( f ( b ), f ( c )) < ε . Por tanto, cualquier función uniformemente continua es continua. Lo contrario no se cumple en general, pero sí cuando el espacio de dominio X es compacto . Los mapas uniformemente continuos se pueden definir en la situación más general de espacios uniformes . [13]
Una función es Hölder continua con α exponente (un número real) si hay una constante K tal que para todo b y c en X , la desigualdad
sostiene. Cualquier función continua de Hölder es uniformemente continua. El caso particular α = 1 se conoce como continuidad de Lipschitz . Es decir, una función es continua de Lipschitz si hay una constante K tal que la desigualdad
holds for any b, c in X.[14] The Lipschitz condition occurs, for example, in the Picard–Lindelöf theorem concerning the solutions of ordinary differential equations.
Funciones continuas entre espacios topológicos
Another, more abstract, notion of continuity is continuity of functions between topological spaces in which there generally is no formal notion of distance, as there is in the case of metric spaces. A topological space is a set X together with a topology on X, which is a set of subsets of X satisfying a few requirements with respect to their unions and intersections that generalize the properties of the open balls in metric spaces while still allowing to talk about the neighbourhoods of a given point. The elements of a topology are called open subsets of X (with respect to the topology).
A function
between two topological spaces X and Y is continuous if for every open set V ⊆ Y, the inverse image
is an open subset of X. That is, f is a function between the sets X and Y (not on the elements of the topology TX), but the continuity of f depends on the topologies used on X and Y.
This is equivalent to the condition that the preimages of the closed sets (which are the complements of the open subsets) in Y are closed in X.
An extreme example: if a set X is given the discrete topology (in which every subset is open), all functions
to any topological space T are continuous. On the other hand, if X is equipped with the indiscrete topology (in which the only open subsets are the empty set and X) and the space T set is at least T0, then the only continuous functions are the constant functions. Conversely, any function whose range is indiscrete is continuous.
Continuity at a point
The translation in the language of neighborhoods of the (ε, δ)-definition of continuity leads to the following definition of the continuity at a point:
A function is continuous at a point if and only if for any neighborhood V of in Y, there is a neighborhood U of x such that f(U) ⊆ V.
This definition is equivalent to the same statement with neighborhoods restricted to open neighborhoods and can be restated in several ways by using preimages rather than images.
Also, as every set that contains a neighborhood is also a neighborhood, and is the largest subset U of X such that f(U) ⊆ V, this definition may be simplified into:
A function is continuous at a point if and only if is a neighborhood of x for every neighborhood V of in Y.
As an open set is a set that is a neighborhood of all its points, a function is continuous at every point of X if and only if it is a continuous function.
If X and Y are metric spaces, it is equivalent to consider the neighborhood system of open balls centered at x and f(x) instead of all neighborhoods. This gives back the above δ-ε definition of continuity in the context of metric spaces. In general topological spaces, there is no notion of nearness or distance. If however the target space is a Hausdorff space, it is still true that f is continuous at a if and only if the limit of f as x approaches a is f(a). At an isolated point, every function is continuous.
Given a map is continuous at if and only if whenever is a filter on that converges to in which is expressed by writing then necessarily in If denotes the neighborhood filter at then is continuous at if and only if in [15] Moreover, this happens if and only if the prefilter is a filter base for the neighborhood filter of in [15]
Alternative definitions
Several equivalent definitions for a topological structure exist and thus there are several equivalent ways to define a continuous function.
Sequences and nets
In several contexts, the topology of a space is conveniently specified in terms of limit points. In many instances, this is accomplished by specifying when a point is the limit of a sequence, but for some spaces that are too large in some sense, one specifies also when a point is the limit of more general sets of points indexed by a directed set, known as nets. A function is (Heine-)continuous only if it takes limits of sequences to limits of sequences. In the former case, preservation of limits is also sufficient; in the latter, a function may preserve all limits of sequences yet still fail to be continuous, and preservation of nets is a necessary and sufficient condition.
In detail, a function f: X → Y is sequentially continuous if whenever a sequence (xn) in X converges to a limit x, the sequence (f(xn)) converges to f(x). Thus sequentially continuous functions "preserve sequential limits". Every continuous function is sequentially continuous. If X is a first-countable space and countable choice holds, then the converse also holds: any function preserving sequential limits is continuous. In particular, if X is a metric space, sequential continuity and continuity are equivalent. For non first-countable spaces, sequential continuity might be strictly weaker than continuity. (The spaces for which the two properties are equivalent are called sequential spaces.) This motivates the consideration of nets instead of sequences in general topological spaces. Continuous functions preserve limits of nets, and in fact this property characterizes continuous functions.
For instance, consider the case of real-valued functions of one real variable:[16]
Theorem — A function is continuous at if and only if it is sequentially continuous at that point.
Proof |
---|
Proof. Assume that is continuous at (in the sense of ϵ − δ {\displaystyle \epsilon -\delta } continuity). Let be a sequence converging at (such a sequence always exists, e.g. ); since is continuous at For any such we can find a natural number such that since converges at ; combining this with we obtain Assume on the contrary that is sequentially continuous and proceed by contradiction: suppose is not continuous at then we can take and call the corresponding point : in this way we have defined a sequence such that by construction but , which contradicts the hypothesis of sequentially continuity. ∎ |
Closure operator and interior operator definitions
In terms of the interior operator, a function between topological spaces is continuous if and only if for every subset
In terms of the closure operator, is continuous if and only if for every subset
That is to say, given any element that belongs to the closure of a subset necessarily belongs to the closure of in If we declare that a point is close to a subset if then this terminology allows for a plain English description of continuity: is continuous if and only if for every subset maps points that are close to to points that are close to Similarly, is continuous at a fixed given point if and only if whenever is close to a subset then is close to
Instead of specifying topological spaces by their open subsets, any topology on can alternatively be determined by a closure operator or by an interior operator. Specifically, the map that sends a subset of a topological space to its topological closure satisfies the Kuratowski closure axioms and conversely, for any closure operator there exists a unique topology on (specifically, ) such that for every subset is equal to the topological closure of in If the sets and are each associated with closure operators (both denoted by ) then a map is continuous if and only if for every subset
Similarly, the map that sends a subset of to its topological interior defines an interior operator and conversely, any interior operator induces a unique topology on (specifically, ) such that for every is equal to the topological interior of in If the sets and are each associated with interior operators (both denoted by ) then a map is continuous if and only if for every subset [17]
Filters and prefilters
Continuity can also be characterized in terms of filters. A function is continuous if and only if whenever a filter on converges in to a point then the prefilter converges in to This characterization remains true if the word "filter" is replaced by "prefilter."[15]
Properties
If f: X → Y and g: Y → Z are continuous, then so is the composition g ∘ f: X → Z. If f: X → Y is continuous and
- X is compact, then f(X) is compact.
- X is connected, then f(X) is connected.
- X is path-connected, then f(X) is path-connected.
- X is Lindelöf, then f(X) is Lindelöf.
- X is separable, then f(X) is separable.
The possible topologies on a fixed set X are partially ordered: a topology τ1 is said to be coarser than another topology τ2 (notation: τ1 ⊆ τ2) if every open subset with respect to τ1 is also open with respect to τ2. Then, the identity map
- id X: ( X, τ 2) → ( X, τ 1)
is continuous if and only if τ1 ⊆ τ2 (see also comparison of topologies). More generally, a continuous function
stays continuous if the topology τY is replaced by a coarser topology and/or τX is replaced by a finer topology.
Homeomorphisms
Symmetric to the concept of a continuous map is an open map, for which images of open sets are open. In fact, if an open map f has an inverse function, that inverse is continuous, and if a continuous map g has an inverse, that inverse is open. Given a bijective function f between two topological spaces, the inverse function f−1 need not be continuous. A bijective continuous function with continuous inverse function is called a homeomorphism.
If a continuous bijection has as its domain a compact space and its codomain is Hausdorff, then it is a homeomorphism.
Defining topologies via continuous functions
Given a function
where X is a topological space and S is a set (without a specified topology), the final topology on S is defined by letting the open sets of S be those subsets A of S for which f−1(A) is open in X. If S has an existing topology, f is continuous with respect to this topology if and only if the existing topology is coarser than the final topology on S. Thus the final topology can be characterized as the finest topology on S that makes f continuous. If f is surjective, this topology is canonically identified with the quotient topology under the equivalence relation defined by f.
Dually, for a function f from a set S to a topological space X, the initial topology on S is defined by designating as an open set every subset A of S such that for some open subset U of X. If S has an existing topology, f is continuous with respect to this topology if and only if the existing topology is finer than the initial topology on S. Thus the initial topology can be characterized as the coarsest topology on S that makes f continuous. If f is injective, this topology is canonically identified with the subspace topology of S, viewed as a subset of X.
A topology on a set S is uniquely determined by the class of all continuous functions into all topological spaces X. Dually, a similar idea can be applied to maps
Nociones relacionadas
If is a continuous function from some subset of a topological space then an continuous extension of to is any continuous function such that for every which is a condition that often written as In words, it is any continuous function that restricts to on This notion is used, for example, in the Tietze extension theorem and the Hahn–Banach theorem. Were not continuous then it could not possibly have a continuous extension. If is a Hausdorff space and is a dense subset of then a continuous extension of to if one exists, will be unique.
Various other mathematical domains use the concept of continuity in different, but related meanings. For example, in order theory, an order-preserving function between particular types of partially ordered sets X and Y is continuous if for each directed subset A of X, we have Here is the supremum with respect to the orderings in X and Y, respectively. This notion of continuity is the same as topological continuity when the partially ordered sets are given the Scott topology.[18][19]
In category theory, a functor
between two categories is called continuous, if it commutes with small limits. That is to say,
for any small (i.e., indexed by a set I, as opposed to a class) diagram of objects in .
A continuity space is a generalization of metric spaces and posets,[20][21] which uses the concept of quantales, and that can be used to unify the notions of metric spaces and domains.[22]
Ver también
- Absolute continuity
- Classification of discontinuities
- Coarse function
- Continuous function (set theory)
- Continuous stochastic process
- Dini continuity
- Equicontinuity
- Normal function
- Open and closed maps
- Piecewise
- Symmetrically continuous function
- Direction-preserving function - an analogue of a continuous function in discrete spaces.
Referencias
- ^ Bolzano, Bernard (1817), Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewaehren, wenigstens eine reele Wurzel der Gleichung liege, Prague: Haase
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Example 5. The function 1/x is continuous on (0, ∞) and on (−∞, 0), i.e., for x > 0 and for x < 0, in other words, at every point in its domain. However, it is not a continuous function since its domain is not an interval. It has a single point of discontinuity, namely x = 0, and it has an infinite discontinuity there.
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