En matemáticas , las representaciones en serie principales de ciertos tipos de grupo topológico G ocurren en el caso en que G no es un grupo compacto . Allí, por analogía con la teoría espectral , se espera que la representación regular de G se descomponga según algún tipo de espectro continuo , de representaciones que involucran un parámetro continuo, así como un espectro discreto . Las principales representaciones en serie son algunas representaciones inducidas construido de manera uniforme, con el fin de completar la parte continua del espectro.
Más detalladamente, el dual unitario es el espacio de todas las representaciones relevantes para descomponer la representación regular. La serie discreta consta de 'átomos' del dual unitario (puntos que llevan una medida de Plancherel > 0). En los primeros ejemplos estudiados, el resto (o la mayoría) del dual unitario podría parametrizarse comenzando con un subgrupo H de G , más simple pero no compacto, y construyendo representaciones inducidas usando representaciones de H que fueran accesibles, en el sentido de ser fácil de escribir e incluir un parámetro. (Tal proceso de inducción puede producir representaciones que no son unitarias).
Para el caso de un grupo de Lie semisimple G , el subgrupo H se construye a partir de la descomposición de Iwasawa
- G = KAN
con K un subgrupo compacto máximo . Entonces se elige H para que contenga AN (que es un grupo de Lie resoluble no compacto ), que se toma como
- HOMBRE
con M el centralizador en K de A . Representaciones ρ de H se consideran que son irreducible, y unitaria, y son la representación trivial en el subgrupo N . (Suponiendo que el caso M sea un grupo trivial, tales ρ son análogos de las representaciones del grupo de matrices diagonales dentro del grupo lineal especial .) Las representaciones inducidas de tal ρ constituyen la serie principal. La serie director esférica consiste en representaciones inducidas a partir de representaciones 1-dimensionales de MAN obtenido mediante la extensión de los caracteres de A usando el homomorfismo de MAN en A .
Puede haber otras series continuas de representaciones relevantes para el dual unitario: como su nombre lo indica, las series principales son la contribución "principal".
Se ha encontrado que este tipo de construcción tiene aplicación a grupos G que no son grupos de Lie (por ejemplo, grupos finitos de tipo Lie , grupos sobre campos p-ádicos ).
Ejemplos de
Para obtener ejemplos, consulte la teoría de la representación de SL 2 (R) . Para el grupo lineal general GL 2 sobre un campo local , la dimensión del módulo Jacquet de una representación en serie principal es dos. [1]
Referencias
- ^ Bump, Daniel (1997), Representaciones y formas automórficas , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 55 , Cambridge University Press , doi : 10.1017 / CBO9780511609572 , ISBN 978-0-521-55098-7, MR 1431508
enlaces externos
- AI Shtern (2001) [1994], "Serie continua de representaciones" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Calcular el dual unitario (PDF)