En matemáticas , los principales resultados sobre representaciones unitarias irreductibles del grupo de Lie SL (2, R ) se deben a Gelfand y Naimark (1946), V. Bargmann (1947) y Harish-Chandra (1952).
Estructura del álgebra de Lie compleja
Elegimos una base H , X , Y para la complejación del álgebra de Lie de SL (2, R ) de modo que iH genere el álgebra de Lie de un subgrupo de Cartan compacto K (así, en particular, las representaciones unitarias se dividen como una suma de espacios propios de H ), y { H , X , Y } es un triple sl 2 , lo que significa que satisfacen las relaciones
Una forma de hacerlo es la siguiente:
- correspondiente al subgrupo K de matrices
El operador de Casimir Ω se define como
Genera el centro del álgebra envolvente universal del álgebra de Lie compleja de SL (2, R ). El elemento de Casimir actúa sobre cualquier representación irreducible como multiplicación por algún escalar complejo μ 2 . Así, en el caso del álgebra de Lie sl 2 , el carácter infinitesimal de una representación irreducible se especifica mediante un número complejo.
El centro Z del grupo SL (2, R ) es un grupo cíclico { I , - I } de orden 2, que consta de la matriz identidad y su negativo. En cualquier representación irreductible, el centro actúa trivialmente o por el carácter no trivial de Z , que representa la matriz - I por multiplicación por -1 en el espacio de representación. En consecuencia, se habla del personaje central trivial o no trivial .
El carácter central y el carácter infinitesimal de una representación irreductible de cualquier grupo de Lie reductivo son importantes invariantes de la representación. En el caso de representaciones admisibles irreductibles de SL (2, R ), resulta que, genéricamente, hay exactamente una representación, hasta un isomorfismo, con los caracteres centrales e infinitesimales especificados. En los casos excepcionales hay dos o tres representaciones con los parámetros prescritos, todas las cuales han sido determinadas.
Representaciones de dimensión finita
Para cada número entero no negativo n , el grupo SL (2, R ) tiene una representación irreducible de dimensión n +1, que es única hasta un isomorfismo. Esta representación se puede construir en el espacio de polinomios homogéneos de grado n en dos variables. El caso n = 0 corresponde a la representación trivial . Una representación irreductible de dimensión finita de un grupo de Lie simple no compacto de dimensión mayor que 1 nunca es unitaria. Por tanto, esta construcción produce sólo una representación unitaria de SL (2, R ), la representación trivial.
La teoría de representación de dimensión finita del grupo no compacto SL (2, R ) es equivalente a la teoría de representación de SU (2) , su forma compacta, esencialmente porque sus álgebras de Lie tienen la misma complexificación y están "algebraicamente simplemente conectadas". (Más precisamente, el grupo SU (2) está simplemente conectado y SL (2, R ) no lo está, pero no tiene extensiones centrales algebraicas no triviales). Sin embargo, en el caso general de dimensión infinita , no existe una estrecha correspondencia entre las representaciones de un grupo y las representaciones de su álgebra de Lie. De hecho, del teorema de Peter-Weyl se deduce que todas las representaciones irreductibles del grupo de Lie compacto SU (2) son de dimensión finita y unitarias. La situación con SL (2, R ) es completamente diferente: posee representaciones irreductibles de dimensión infinita, algunas de las cuales son unitarias y otras no.
Representaciones de series principales
Una técnica importante para construir representaciones de un grupo de Lie reductivo es el método de inducción parabólica . En el caso del grupo SL (2, R ), hay hasta la conjugación solo un subgrupo parabólico propio , el subgrupo Borel de las matrices triangulares superiores del determinante 1. El parámetro inductor de una representación en serie principal inducida es un (posiblemente carácter no unitario) del grupo multiplicativo de números reales, que se especifica eligiendo ε = ± 1 y un número complejo μ. La representación de la serie principal correspondiente se denota I ε, μ . Resulta que ε es el carácter central de la representación inducida y el número complejo μ puede identificarse con el carácter infinitesimal mediante el isomorfismo de Harish-Chandra .
La representación de la serie principal I ε, μ (o más precisamente su módulo Harish-Chandra de K- elementos finitos) admite una base que consta de elementos w j , donde el índice j pasa por los enteros pares si ε = 1 y los enteros impares si ε = -1. La acción de X , Y y H viene dada por las fórmulas
Representaciones admisibles
Usando el hecho de que es un vector propio del operador de Casimir y tiene un vector propio para H , se deduce fácilmente que cualquier representación admisible irreducible es una subrepresentación de una representación inducida parabólicamente. (Esto también es cierto para grupos de Lie reductivos más generales y se conoce como teorema de subrepresentación de Casselman .) Por lo tanto, las representaciones admisibles irreductibles de SL (2, R ) se pueden encontrar descomponiendo las representaciones en serie principales I ε, μ en componentes irreducibles y determinando los isomorfismos. Resumimos las descomposiciones de la siguiente manera:
- I ε, μ es reducible si y solo si μ es un número entero y ε = - (- 1) μ . Si I ε, μ es irreducible, entonces es isomorfo a I ε, −μ .
- I −1, 0 se divide como la suma directa I ε, 0 = D +0 + D −0 de dos representaciones irreducibles, llamadas límite de representaciones de series discretas. D +0 tiene una base w j para j ≥1, y D −0 tiene una base w j para j ≤ − 1,
- Si I ε, μ es reducible con μ> 0 (entonces ε = - (- 1) μ ) entonces tiene un cociente irreducible único que tiene una dimensión finita μ, y el núcleo es la suma de dos representaciones en series discretas D + μ + D −μ . La representación D μ tiene una base w μ + j para j ≥1, y D −μ tiene una base w −μ− j para j ≤ − 1.
- Si I ε, μ es reducible con μ <0 (entonces ε = - (- 1) μ ) entonces tiene una subrepresentación irreducible única, que tiene una dimensión finita -μ, y el cociente es la suma de dos representaciones de series discretas D + μ + D −μ .
Esto da la siguiente lista de representaciones admisibles irreductibles:
- Una representación de dimensión finita de dimensión μ para cada entero positivo μ, con carácter central - (- 1) μ .
- Dos límites de representaciones de series discretas D +0 , D −0 , con μ = 0 y carácter central no trivial.
- Representaciones de series discretas D μ para μ un entero distinto de cero, con carácter central - (- 1) μ . [ −μ = (- 1) μ para D+
μ(p. 35) (Septiembre de 2012) "> dudoso ] - Dos familias de representaciones de series principales irreductibles I ε, μ para ε ≠ - (- 1) μ (donde I ε, μ es isomorfo a I ε, −μ ).
Relación con la clasificación de Langlands
Según la clasificación de Langlands , las representaciones admisibles irreductibles están parametrizadas por ciertas representaciones templadas de los subgrupos M de Levi de los subgrupos parabólicos P = MAN . Esto funciona de la siguiente manera:
- Las representaciones de serie discreta, límite de serie discreta y serie principal unitaria I ε, μ con μ imaginaria ya están templadas, por lo que en estos casos el subgrupo parabólico P es SL (2, R ) en sí mismo.
- Las representaciones de dimensión finita y las representaciones I ε, μ para ℜμ> 0, μ no es un número entero o ε ≠ - (- 1) μ son los cocientes irreducibles de las representaciones en serie principales I ε, μ para ℜμ> 0, que son inducida a partir de representaciones templadas del subgrupo parabólico P = MAN de matrices triangulares superiores, con A las matrices diagonales positivas y M el centro de orden 2. Para μ un entero positivo y ε = - (- 1) μ la representación de la serie principal tiene un representación de dimensión finita como su cociente irreductible, y por lo demás ya es irreducible.
Representaciones unitarias
Las representaciones unitarias irreductibles se pueden encontrar comprobando cuál de las representaciones admisibles irreductibles admite una forma hermitiana invariante positivamente definida. Esto da como resultado la siguiente lista de representaciones unitarias de SL (2, R ):
- La representación trivial (la única representación de dimensión finita en esta lista).
- Los dos límites de las representaciones de series discretas D + 0 , D - 0 .
- Las representaciones de series discretas D k , indexadas por enteros distintos de cero k . Todos son distintos.
- Las dos familias de representación de series principales irreductibles , constituidas por la serie principal esférica I +, i μ indexada por los números reales μ, y la serie principal unitaria no esférica I -, i μ indexada por los números reales distintos de cero μ. La representación con el parámetro μ es isomorfa a la que tiene el parámetro −μ, y no hay más isomorfismos entre ellos.
- Las representaciones de series complementarias I +, μ para 0 <| μ | <1. La representación con el parámetro μ es isomorfa a la que tiene el parámetro −μ, y no hay más isomorfismos entre ellos.
De estos, los dos límites de las representaciones de series discretas, las representaciones de series discretas y las dos familias de representaciones de series principales se atenúan , mientras que las representaciones de series triviales y complementarias no se atenúan.
Referencias
- Bargmann, V. (1947), "Representaciones unitarias irreductibles del grupo de Lorentz", Annals of Mathematics , Second Series, 48 (3): 568–640, doi : 10.2307 / 1969129 , JSTOR 1969129 , MR 0021942
- Gelfand, I .; Neumark, M. (1946), "Representaciones unitarias del grupo Lorentz", Acad. Sci. URSS. J. Phys. , 10 : 93–94, MR 0017282.
- Harish-Chandra (1952), "Fórmula de Plancherel para el grupo unimodular real 2 × 2", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 38 (4): 337–342, doi : 10.1073 / pnas.38.4 .337 , JSTOR 88737 , Sr. 0047055 , PMC 1063558 , PMID 16589101.
- Howe, Roger; Tan, Eng-Chye (1992), Análisis armónico no beliano: Aplicaciones de SL (2, R ), Universitext, Nueva York: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-1-4613-9200-2 , ISBN 0-387-97768-6, MR 1151617.
- Knapp, Anthony W. (2001), Teoría de representación de grupos semisimple: una descripción general basada en ejemplos (Reimpresión del original de 1986) , Princetonmarks in Mathematics, Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, ISBN 0-691-09089-0, Señor 1880691.
- Kunze, RA ; Stein, EM (1960), "Representaciones delimitadas uniformemente y análisis armónico del grupo unimodular real 2 × 2", American Journal of Mathematics , 82 : 1–62, doi : 10.2307 / 2372876 , JSTOR 2372876 , MR 0163988.
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Ver también
- spin (física)
- Teoría de representación de SU (2)
- Grupo de rotación SO (3) # Una nota sobre el álgebra de Lie