En matemáticas , un álgebra de Lie tiene solución si su serie derivada termina en la subálgebra cero. El álgebra de Lie derivada del álgebra de Lie es la subálgebra de , denotado
que consta de todas las combinaciones lineales de paréntesis de Lie de pares de elementos de. La serie derivada es la secuencia de subálgebras
Si la serie derivada finalmente llega a la subálgebra cero, entonces el álgebra de Lie se llama solucionable. [1] La serie derivada de las álgebras de Lie es análoga a la serie derivada de los subgrupos de conmutadores en la teoría de grupos , y las álgebras de Lie solubles son análogas de los grupos solubles .
Cualquier álgebra de Lie nilpotente se puede resolver a fortiori, pero lo contrario no es cierto. Las álgebras de Lie resolubles y las álgebras de Lie semisimple forman dos clases grandes y generalmente complementarias, como lo muestra la descomposición de Levi . Las álgebras de Lie solubles son precisamente aquellas que se pueden obtener a partir de productos semidirectos , partiendo de 0 y sumando una dimensión a la vez. [2]
Una subálgebra resoluble máxima se llama subálgebra de Borel . El ideal resoluble más grande de un álgebra de Lie se llama radical .
Caracterizaciones
Dejar ser un álgebra de Lie de dimensión finita sobre un campo de característica 0 . Los siguientes son equivalentes.
- (I) es solucionable.
- (ii) , la representación adjunta de, es solucionable.
- (iii) Hay una secuencia finita de ideales de :
- (iv) es nilpotente. [3]
- (v) Para -dimensional, hay una secuencia finita de subálgebras de :
- con cada un ideal en . [4] Una secuencia de este tipo se denomina secuencia elemental .
- (vi) Existe una secuencia finita de subálgebras de ,
- tal que es un ideal en y es abeliano. [5]
- (vii) La forma de matar de satisface para todo X eny Y en. [6] Este es el criterio de Cartan para la solvencia .
Propiedades
El teorema de Lie establece que sies un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero , y es un álgebra de Lie resoluble, y si es una representación de encima , entonces existe un autovector simultáneo de los endomorfismos para todos los elementos . [7]
- Cada subálgebra de Lie y cociente de un álgebra de Lie resoluble se pueden resolver. [8]
- Dado un álgebra de mentira y un ideal en eso,
- La afirmación análoga es verdadera para álgebras de Lie nilpotentes proporcionadas está contenido en el centro. Así, una extensión de un álgebra resoluble por un álgebra resoluble es resoluble, mientras que una extensión central de un álgebra nilpotente por un álgebra nilpotente es nilpotente.
- Un álgebra de Lie resoluble distinto de cero tiene un ideal abeliano distinto de cero, el último término distinto de cero en la serie derivada. [2]
- Si son ideales solucionables, entonces también lo es . [1] En consecuencia, si es de dimensión finita, entonces hay un ideal único que se puede resolver que contiene todos los ideales solucionables en . Este ideal es el radical de. [2]
- Un álgebra de mentira solucionable tiene un ideal nilpotente más grande único , el conjunto de todos tal que es nilpotente. Si D es cualquier derivación de, luego . [9]
Álgebras de Lie completamente solucionables
Un álgebra de mentira se llama completamente resoluble o resoluble dividido si tiene una secuencia elemental {(V) Como la definición anterior} de ideales en de a . Un álgebra de Lie nilpotente de dimensión finita es completamente resoluble, y un álgebra de Lie completamente resoluble es resoluble. Sobre un campo algebraicamente cerrado, un álgebra de Lie resoluble es completamente resoluble, pero el-El álgebra de Lie real dimensional del grupo de isometrías euclidianas del plano es resoluble pero no completamente resoluble.
Un álgebra de mentira solucionable es resoluble por división si y solo si los valores propios de estan en para todos en . [2]
Ejemplos de
Álgebras de mentira abeliana
Cada álgebra de mentira abeliana es solucionable por definición, ya que su conmutador . Esto incluye el álgebra de Lie de matrices diagonales en, que son de la forma
por . La estructura del álgebra de Lie en un espacio vectorial dado por el corchete trivial para dos matrices cualesquiera da otro ejemplo.
Álgebras de mentiras nilpotentes
Otra clase de ejemplos proviene de álgebras de Lie nilpotentes, ya que la representación adjunta se puede resolver. Algunos ejemplos incluyen las matrices de la diagonal superior, como la clase de matrices de la forma
llamado álgebra de Lie de matrices triangulares estrictamente superiores . Además, el álgebra de Lie de matrices diagonales superiores enForme un álgebra de Lie resoluble. Esto incluye matrices de la forma
y se denota .
Se puede resolver pero no se puede dividir
Dejar ser el conjunto de matrices en el formulario
Luego se puede resolver, pero no se puede dividir. [2] Es isomorfo con el álgebra de Lie del grupo de traslaciones y rotaciones en el plano.
No es un ejemplo
Un álgebra de mentira semisimple nunca tiene solución ya que su radical , que es el ideal solucionable más grande en , es trivial. [1] página 11
Grupos de Mentiras solucionables
Debido a que el término "solucionable" también se usa para grupos que se pueden resolver en la teoría de grupos , existen varias definiciones posibles de grupo de Lie que se puede resolver . Para un grupo de mentiras , hay
- terminación de la serie derivada habitual del grupo (como grupo abstracto);
- terminación de los cierres de la serie derivada;
- tener un álgebra de mentira solucionable
Ver también
- Criterio de Cartan
- Forma de matanza
- Teorema de Lie-Kolchin
- Solvmanifold
- Mapeo de Dixmier
Notas
- ^ a b c Humphreys 1972
- ^ a b c d e f Knapp 2002
- ^ Knapp 2002 Proposición 1.39.
- ^ Knapp 2002 Proposición 1.23.
- ^ Fulton y Harris 1991
- ^ Knapp 2002 Proposición 1.46.
- ^ Teorema 1.25 de Knapp 2002 .
- ^ a b Serre , cap. I, § 6, Definición 2.
- ^ Knapp 2002 Proposición 1.40.
enlaces externos
- Artículo de la MOE álgebra de Lie, solucionable
- Artículo de la MOE Grupo de mentiras, solucionable
Referencias
- Fulton, W .; Harris, J. (1991). Teoría de la representación. Un primer plato . Textos de Posgrado en Matemáticas. 129 . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97527-6. Señor 1153249 . CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
- Humphreys, James E. (1972). Introducción a las álgebras de mentira y la teoría de la representación . Textos de Posgrado en Matemáticas. 9 . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90053-5.
- Knapp, AW (2002). Grupos de mentiras más allá de una introducción . Progreso en Matemáticas. 120 (2ª ed.). Boston · Basilea · Berlín: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5..
- Jean-Pierre Serre: Álgebras de Lie semisimple compleja, Springer, Berlín, 2001. ISBN 3-5406-7827-1