En el plano hiperbólico , como en el plano euclidiano , cada punto puede identificarse de forma única mediante dos números reales . Se utilizan varias formas cualitativamente diferentes de coordinar el plano en geometría hiperbólica.
Este artículo intenta dar una descripción general de varios sistemas de coordenadas en uso para el plano hiperbólico bidimensional.
En las descripciones siguientes, la curvatura gaussiana constante del plano es -1. Sinh , cosh y tanh son funciones hiperbólicas .
Sistema de coordenadas polares
El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el que cada punto de un plano está determinado por una distancia desde un punto de referencia y un ángulo desde una dirección de referencia.
El punto de referencia (análogo al origen de un sistema cartesiano ) se llama polo , y el rayo desde el polo en la dirección de referencia es el eje polar . La distancia desde el polo se llama coordenada radial o radio , y el ángulo se llama coordenada angular o ángulo polar .
De la ley hiperbólica de los cosenos , obtenemos que la distancia entre dos puntos dada en coordenadas polares es
El tensor métrico correspondiente es:
Las líneas rectas se describen mediante ecuaciones de la forma
donde r 0 y θ 0 son las coordenadas del punto más cercano en la línea al polo.
Sistema de modelo de cuadrante
El modelo de semiplano de Poincaré está estrechamente relacionado con un modelo del plano hiperbólico en el cuadrante Q = {( x, y ): x > 0, y > 0}. Para tal punto, la media geométrica y el ángulo hiperbólico producir un punto ( u, v ) en el semiplano superior. La métrica hiperbólica en el cuadrante depende de la métrica del semiplano de Poincaré. Los movimientos del modelo de Poincaré se trasladan al cuadrante; en particular, los desplazamientos hacia la izquierda o hacia la derecha del eje real corresponden a rotaciones hiperbólicas del cuadrante. Debido al estudio de las proporciones en física y economía donde el cuadrante es el universo del discurso, se dice que sus puntos están ubicados por coordenadas hiperbólicas .
Sistemas de coordenadas de estilo cartesiano
En la geometría hiperbólica no existen rectángulos . La suma de los ángulos de un cuadrilátero en geometría hiperbólica es siempre menor que 4 ángulos rectos (ver cuadrilátero de Lambert ). También en la geometría hiperbólica no hay líneas equidistantes (ver hiperciclos ). Todo esto tiene influencias en los sistemas de coordenadas.
Sin embargo, existen diferentes sistemas de coordenadas para la geometría del plano hiperbólico. Todos se basan en elegir un punto real (no ideal ) (el Origen ) en una línea dirigida elegida (el eje x ) y después de eso existen muchas opciones.
Coordenadas axiales
Las coordenadas axiales x a y y a se encuentran construyendo un eje y perpendicular al eje x que pasa por el origen. [1]
Al igual que en el sistema de coordenadas cartesianas , las coordenadas se encuentran perpendiculares al dejar caer desde el punto en el X y Y -axes. x a es la distancia desde el pie de la perpendicular en el eje x hasta el origen (considerado positivo en un lado y negativo en el otro); y a es la distancia desde el pie de la perpendicular en el eje y hasta el origen.
Todos los puntos y la mayoría de los puntos ideales tienen coordenadas axiales, pero no todos los pares de números reales corresponden a un punto.
Si luego es un punto ideal.
Si luego no es un punto en absoluto.
La distancia de un punto al eje x es. Para el y eje x es.
La relación de coordenadas axiales a coordenadas polares (asumiendo que el origen es el polo y que el eje x positivo es el eje polar) es
Coordenadas de Lobachevsky
Las coordenadas de Lobachevsky x ℓ e y ℓ se encuentran colocando una perpendicular sobre el eje x . x ℓ es la distancia desde el pie de la perpendicular al eje x hasta el origen (positivo en un lado y negativo en el otro, lo mismo que en coordenadas axiales ). [1]
y ℓ es la distancia a lo largo de la perpendicular del punto dado a su pie (positivo en un lado y negativo en el otro).
- .
Las coordenadas de Lobachevsky son útiles para la integración de la longitud de las curvas [2] y el área entre líneas y curvas. [ ejemplo necesario ]
Las coordenadas de Lobachevsky llevan el nombre de Nikolai Lobachevsky, uno de los descubridores de la geometría hiperbólica .
Construya un sistema de coordenadas de tipo cartesiano de la siguiente manera. Elija una línea (el eje x ) en el plano hiperbólico (con una curvatura estandarizada de -1) y etiquete los puntos en ella por su distancia desde un punto de origen ( x = 0) en el eje x (positivo en un lado y negativo por el otro). Para cualquier punto en el plano, se puede definir las coordenadas x y y dejando caer una perpendicular a la x eje y. x será la etiqueta del pie de la perpendicular. y será la distancia a lo largo de la perpendicular del punto dado desde su pie (positivo en un lado y negativo en el otro). Entonces la distancia entre dos de esos puntos será
Esta fórmula se puede derivar de las fórmulas sobre triángulos hiperbólicos .
El tensor métrico correspondiente es: .
En este sistema de coordenadas, las líneas rectas son perpendiculares al eje x (con la ecuación x = una constante) o se describen mediante ecuaciones de la forma
donde A y B son parámetros reales que caracterizan la línea recta.
La relación de las coordenadas de Lobachevsky con las coordenadas polares (asumiendo que el origen es el polo y que el eje x positivo es el eje polar) es
Sistema de coordenadas basado en horociclo
Otro sistema de coordenadas usa la distancia desde el punto al horociclo a través del origen centrado alrededory el arco a lo largo de este ciclo. [3]
Dibuja el horociclo h O a través del origen centrado en el punto ideal al final del eje x .
Desde el punto P trazar la línea p asintótica a la x eje x a la derecha lugar ideal . P h es la intersección de la línea p y horociclo h O .
La coordenada x h es la distancia de P a P h - positiva si P está entre P h y, negativo si P h está entre P y.
La coordenada y h es la longitud de arco a lo largo del horociclo h O desde el origen hasta P h .
La distancia entre dos puntos dada en estas coordenadas es
El tensor métrico correspondiente es:
Las líneas rectas se describen mediante ecuaciones de la forma y = una constante o
donde x 0 y y 0 son las coordenadas del punto en la línea más cercana al punto ideal(es decir, tener el mayor valor de x en la línea).
Sistemas de coordenadas basados en modelos
Los sistemas de coordenadas basados en modelos utilizan uno de los modelos de geometría hiperbólica y toman las coordenadas euclidianas dentro del modelo como coordenadas hiperbólicas.
Coordenadas de Beltrami
Las coordenadas de Beltrami de un punto son las coordenadas euclidianas del punto cuando el punto se asigna en el modelo Beltrami-Klein del plano hiperbólico, el eje x se asigna al segmento (−1,0) - (1,0) y el origen se asigna al centro del círculo delimitador. [1]
Las siguientes ecuaciones son válidas:
Coordenadas de Poincaré
Las coordenadas de Poincaré de un punto son las coordenadas euclidianas del punto cuando el punto está mapeado en el modelo de disco de Poincaré del plano hiperbólico, [1] el eje x se mapea al segmento (−1,0) - (1, 0) y el origen se asigna al centro del círculo delimitador.
Las coordenadas de Poincaré, en términos de las coordenadas de Beltrami, son:
Coordenadas de Weierstrass
Las coordenadas de Weierstrass de un punto son las coordenadas euclidianas del punto cuando el punto se asigna en el modelo hiperboloide del plano hiperbólico, el eje x se asigna a la (mitad) hipérbola y el origen se asigna al punto (0,0,1). [1]
El punto P con coordenadas axiales ( x a , y a ) se asigna a
Otros
Coordenadas de Gyrovector
Espacio Gyrovector
Coordenadas baricéntricas hiperbólicas
Desde el espacio Gyrovector # centro del triángulo
El estudio de los centros de los triángulos tradicionalmente se relaciona con la geometría euclidiana, pero los centros de los triángulos también se pueden estudiar en la geometría hiperbólica. Usando la girotrigonometría, se pueden calcular expresiones para coordenadas baricéntricas trigonométricas que tienen la misma forma tanto para la geometría euclidiana como para la hiperbólica. Para que las expresiones coincidan, las expresiones no deben encapsular la especificación de que la suma angular sea de 180 grados. [4] [5] [6]
Referencias
- ↑ a b c d e Martin, George E. (1998). Los fundamentos de la geometría y el plano no euclidiano (Corregido 4. ed. Impresa). Nueva York, NY: Springer. págs. 447–450 . ISBN 0387906940.
- ^ Smorgorzhevsky, AS (1982). Geometría lobachevskiana . Moscú: Mir. págs. 64–68.
- ^ Ramsay, Arlan; Richtmyer, Robert D. (1995). Introducción a la geometría hiperbólica . Nueva York: Springer-Verlag. págs. 97-103 . ISBN 0387943390.
- ^ Coordenadas baricéntricas hiperbólicas , Abraham A. Ungar, The Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications, AJMAA, Volumen 6, Número 1, Artículo 18, págs. 1-35, 2009
- ^ Centros de triángulos hiperbólicos: el enfoque relativista especial , Abraham Ungar, Springer, 2010
- ^ Cálculo baricéntrico en geometría euclidiana e hiperbólica: una introducción comparativa Archivado el 19 de mayo de 2012 en la Wayback Machine , Abraham Ungar, World Scientific, 2010