Espiral de Cotes

En física y en matemáticas de curvas planas , la espiral de Cotes (también escrita espiral de Cotes y espiral de Cotes ) es una familia de espirales que lleva el nombre de Roger Cotes .

Cotes espirales correspondientes a k igual a 2/3 (rojo), 1.0 (negro), 1.5 (verde), 3.0 (cian) y 6.0 (azul)

La forma de las espirales en la familia depende de los parámetros, y la ecuación de la curva en coordenadas polares puede tomar una de cinco formas:

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\begin{cases}A\cos(k\theta +\varepsilon )\\A\cosh(k\theta +\varepsilon )\\A\theta +\varepsilon \\A\exp(k\theta +\varepsilon )\\A\sinh(\varepsilon -k\theta )\end{cases}}}$

A , k y ε son constantes de números reales arbitrarios . A determina el tamaño, k determina la forma y ε determina la posición angular de la espiral.

Cotes se refirió a las diferentes formas como "casos". Las curvas anteriores corresponden a sus casos 1, 5, 4, 2, 3 respectivamente.

La primera forma es una epiespiral ; el segundo es una espiral de Poinsot ; la tercera forma es una espiral hiperbólica , que puede verse como el caso límite entre una epiespiral y una espiral de Poinsot; el cuarto es la espiral equiangular .

Mecanica clasica

Las espirales de Cotes aparecen en la mecánica clásica , como la familia de soluciones para el movimiento de una partícula que se mueve bajo una fuerza central de cubo inverso . Considere una fuerza central

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {r}})=-{\frac {\mu }{r^{3}}}{\hat {\boldsymbol {r}}},}$

donde μ es la fuerza de atracción. Considere una partícula que se mueve bajo la influencia de la fuerza central, y sea h su momento angular específico , entonces la partícula se mueve a lo largo de una espiral de Cotes, con la constante k de la espiral dada por

${\displaystyle k={\sqrt {1-{\frac {\mu }{h^{2}}}}}}$

cuando μ < h ² ( forma coseno de la espiral), o

${\displaystyle k={\sqrt {{\frac {\mu }{h^{2}}}-1}}}$

cuando μ > h ² , forma de Poinsot de la espiral. Cuando μ = h ² , la partícula sigue una espiral hiperbólica. La derivación se puede encontrar en las referencias. ^{[1] [2]}

Historia

En el Harmonia Mensurarum (1722), Roger Cotes analizó una serie de espirales y otras curvas, como el Lituus . Describió las posibles trayectorias de una partícula en un campo de fuerza central de cubo inverso, que son las espirales de Cotes. El análisis se basa en el método del Libro de Principia 1, Proposición 42, donde la trayectoria de un cuerpo se determina bajo una fuerza central arbitraria, velocidad inicial y dirección.

Dependiendo de la velocidad y dirección inicial determina que hay 5 "casos" diferentes (excluyendo los triviales, el círculo y la recta que pasa por el centro).

Señala que de los 5, " Newton describe el primero y el último mediante la cuadratura (es decir, la integración) de la hipérbola y la elipse".

El caso 2 es la espiral equiangular, que es la espiral por excelencia . Esto tiene un gran significado histórico, ya que en la Proposición 9 del Libro de Principia 1, Newton demuestra que si un cuerpo se mueve a lo largo de una espiral equiangular, bajo la acción de una fuerza central, esa fuerza debe ser como la inversa del cubo del radio (incluso antes de su demostración, en la Proposición 11, de que el movimiento en una elipse dirigido a un foco requiere una fuerza del cuadrado inverso).

Hay que admitir que no todas las curvas se ajustan a la definición habitual de espiral. Por ejemplo, cuando la fuerza del cubo inverso es centrífuga (dirigida hacia afuera), de modo que μ <0, la curva ni siquiera gira una vez alrededor del centro. Esto está representado por el caso 5, la primera de las ecuaciones polares mostradas arriba, con k > 1 en este caso.

Samuel Earnshaw en un libro publicado en 1826 usó el término “espirales de Cotes”, por lo que la terminología estaba en uso en ese momento. ^[3]

Earnshaw describe claramente los 5 casos de Cotes e innecesariamente agrega un sexto, que es cuando la fuerza es centrífuga (repulsiva). Como se señaló anteriormente, Cotes incluyó esto con el caso 5.

La vista errónea de que sólo hay 3 espirales de Costas parece haberse originado con ET Whittaker 's Tratado sobre la analítica dinámica de partículas y cuerpos rígidos , publicado por primera vez en 1904. ^{[ cita requerida ]}

La "espiral recíproca" de Whittaker tiene una nota al pie, que se refiere a la "Harmonia Mensurarum" de Cotes y la Proposición 9 de Newton. Sin embargo, es engañosa, ya que la espiral de la Proposición 9 es la espiral equiangular , que no reconoce como una espiral de Cotes en todos.

Desafortunadamente, los autores posteriores han seguido el ejemplo de Whittaker sin tomarse la molestia de verificar su precisión.

Ver también

• Espiral de Arquímedes
• Espiral hiperbólica
• Teorema de Newton de las órbitas giratorias
• Teorema de bertrand

Referencias

1. Nathaniel Grossman (1996). La pura alegría de la mecánica celeste . Saltador. pag. 34. ISBN 978-0-8176-3832-0.
2. Whittaker, Edmund Taylor (1917). Un tratado sobre la dinámica analítica de partículas y cuerpos rígidos; con una introducción al problema de los tres cuerpos (Segunda ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. pp.  83 .
3. Earnshaw, Samuel (1832). Dinámica, o un tratado elemental sobre el movimiento; Con una gran variedad de ejemplos ilustrativos de los principios y fórmulas generales: a los que se añade un breve tratado de atracciones . Cambridge: Impreso por W. Metcalfe, para J. & JJ Deighton. pp.  47 .

Bibliografía

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• Whittaker et al. (1937). Tratado sobre la dinámica analítica de partículas y cuerpos rígidos, con una introducción al problema de los tres cuerpos (4ª ed.). Nueva York: Publicaciones de Dover. págs. 80–83. ISBN 978-0-521-35883-5.
• Roger Cotes (1722) Harmonia Mensuarum , págs.31 , 98.
• Isaac Newton (1687) Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica , Libro I, §2, Proposición 9, y §8, Proposición 42, Corolario 3, y §9, Proposición 43, Corolario 6
• Danby JM (1988). "El caso ƒ ( r ) = μ / r  ³ - Espiral de Cotes (§4.7)". Fundamentos de la mecánica celeste (2ª ed., Rev. Ed.). Richmond, VA: Willmann-Bell. págs. 69–71. ISBN 978-0-943396-20-0.
• Symon KR (1971). Mecánica (3ª ed.). Reading, MA: Addison-Wesley. pag. 154. ISBN 978-0-201-07392-8.
• Samuel Earnshaw (1832). Dinámica, o un tratado elemental sobre el movimiento y un breve tratado sobre atracciones (1ª ed.). J. y JJ Deighton; y Whittaker, Treacher & Arnot. pag. 47.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Espiral de Cotes" . MathWorld .