En matemáticas , particularmente en álgebra abstracta , un semigrupo con involución o un * -semigroup es un semigrupo dotado de un anti-automorfismo involutivo , que —en términos generales— lo acerca a un grupo porque esta involución, considerada como operador unario, exhibe ciertas propiedades fundamentales de la operación de tomar la inversa en un grupo: unicidad, doble aplicación "anulándose a sí misma", y la misma ley de interacción con la operación binaria que en el caso de la inversa de grupo. Por tanto, no es de extrañar que cualquier grupo sea un semigrupo con involución. Sin embargo, hay ejemplos naturales significativos de semigrupos con involución que no son grupos.
Un ejemplo del álgebra lineal es el monoide multiplicativo de matrices cuadradas reales de orden n (llamado monoide lineal completo ). El mapa que envía una matriz a su transposición es una involución porque la transposición está bien definida para cualquier matriz y obedece a la ley ( AB ) T = B T A T , que tiene la misma forma de interacción con la multiplicación que tomar inversas en el grupo lineal general (que es un subgrupo del monoide lineal completo). Sin embargo, para una matriz arbitraria,AA T no es igual al elemento de identidad (es decir, la matriz diagonal ). Otro ejemplo, proveniente de la teoría del lenguaje formal , es el semigrupo libre generado por un conjunto no vacío (un alfabeto ), con la concatenación de cadenas como operación binaria, y la involución es el mapa que invierte el orden lineal de las letras en una cadena. Un tercer ejemplo, de la teoría básica de conjuntos , es el conjunto de todas las relaciones binarias entre un conjunto y él mismo, siendo la involución la relación inversa , y la multiplicación dada por la habitualcomposición de relaciones .
Los semigrupos con involución aparecieron explícitamente nombrados en un artículo de 1953 de Viktor Wagner (en ruso) como resultado de su intento de tender un puente entre la teoría de los semigrupos y la de los semimontones . [1]
Sea S un semigrupo con su operación binaria escrita multiplicativamente. Una involución en S es una operación unaria * en S (o, una transformación *: S → S , x ↦ x *) que satisface las siguientes condiciones:
En algunas aplicaciones, el segundo de estos axiomas se ha denominado antidistributivo . [2] Respecto a la filosofía natural de este axioma, HSM Coxeter comentó que "queda claro cuando pensamos en [x] e [y] como las operaciones de ponernos los calcetines y los zapatos, respectivamente". [3]
Un elemento x de un semigrupo con involución a veces se llama hermitiano (por analogía con una matriz hermitiana ) cuando se deja invariante por la involución, lo que significa x * = x . Los elementos de la forma xx * o x * x son siempre hermitianos, al igual que todos los poderes de un elemento hermitiano. Como se señaló en la sección de ejemplos, un semigrupo S es un semigrupo inverso si y solo si S es un semigrupo regular y admite una involución tal que todo idempotente es hermitiano. [7]