En matemáticas , la categoría Rel tiene la clase de conjuntos como objetos y las relaciones binarias como morfismos .
Un morfismo (o flecha) R : A → B en esta categoría es una relación entre los conjuntos A y B , por lo que R ⊆ A × B .
La composición de dos relaciones R : A → B y S : B → C viene dada por
- ( Una , c ) ∈ S o R ⇔ por alguna b ∈ B , ( un , b ) ∈ R y ( b , c ) ∈ S . [1]
Rel también se ha llamado la "categoría de correspondencias de conjuntos". [2]
Propiedades
La categoría Rel tiene la categoría de conjuntos Establecer como una subcategoría (amplia) , donde la flecha f : X → Y en Conjunto corresponde a la relación F ⊆ X × Y definida por ( x , y ) ∈ F ⇔ f ( x ) = y . [3] [4]
Un morfismo en Rel es una relación, y el morfismo correspondiente en la categoría opuesta a Rel tiene flechas invertidas, por lo que es la relación inversa . Por lo tanto, Rel contiene su opuesto y es auto-dual . [5]
La involución representada al tomar la relación inversa proporciona la daga para hacer de Rel una categoría de daga .
La categoría tiene dos funtores en sí mismo dadas por el funtor Hom : Una relación binaria R ⊆ A × B y su transpuesta R T ⊆ B × A puede estar compuesto, ya sea como RR T o como R T R . La primera composición da como resultado una relación homogénea en A y el segundo es en B . Dado que las imágenes de estos functores hom están en el propio Rel , en este caso hom es un functor hom interno . Con su functor hom interno, Rel es una categoría cerrada y, además, una categoría compacta .
La categoría Rel se puede obtener de la categoría Set como la categoría de Kleisli para la mónada cuyo funtor corresponde al conjunto de potencias , interpretado como un funtor covariante.
Quizás un poco sorprendente a primera vista es el hecho de que el producto en Rel viene dado por la unión disjunta [5] : 181 (en lugar del producto cartesiano como está en Set ), y también lo es el coproducto .
Rel es monoidal cerrado , con el producto monoidal A ⊗ B y el hom interno A ⇒ B dado por el producto cartesiano de conjuntos.
La categoría Rel fue el prototipo de la estructura algebraica llamada alegoría por Peter J. Freyd y Andre Scedrov en 1990. [6] Comenzando con una categoría regular y un funtor F : A → B , notan propiedades del functor inducido Rel ( A, B ) → Rel ( FA, FB ). Por ejemplo, conserva la composición, la conversión y la intersección. Luego, estas propiedades se utilizan para proporcionar axiomas para una alegoría.
Relaciones como objetos
David Rydeheard y Rod Burstall consideran que Rel tiene objetos que son relaciones homogéneas. Por ejemplo, A es un conjunto y R ⊆ A × A es una relación binaria en A . Los morfismos de esta categoría son funciones entre conjuntos que preservan una relación: Digamos que S ⊆ B × B es una segunda relación yf : A → B es una función tal queentonces f es un morfismo. [7]
La misma idea es propuesta por Adamek, Herrlich y Strecker, donde designan los objetos ( A, R ) y ( B, S ), conjunto y relación. [8]
Referencias
- ^ Mac Lane, S. (1988). Categorías para el matemático que trabaja (1ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. pag. 26. ISBN 0-387-90035-7.
- ^ Pareigis, Bodo (1970). Categorías y Functores . Matemática pura y aplicada. 39 . Prensa académica . pag. 6. ISBN 978-0-12-545150-5.
- ^ Esta categoría se llama Set Rel por Rydeheard y Burstall.
- ^ George Bergman (1998), Una invitación al álgebra general y construcciones universales , §7.2 RelSet , Henry Helson Publisher, Berkeley. ISBN 0-9655211-4-1 .
- ^ a b Michael Barr y Charles Wells (1998) Teoría de categorías para científicos informáticos Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine , página 83, de la Universidad McGill
- ^ Peter J. Freyd y Andre Scedrov (1990) Categorías, Alegorías , páginas 79, 196, Holanda del Norte ISBN 0-444-70368-3
- ^ David Rydeheard y Rod Burstall (1988) Teoría de categorías computacionales , página 41, Prentice-HallISBN 978-0131627369
- ^ Juri Adamek, Horst Herrlich y George E. Strecker (2004) [1990] Categorías abstractas y concretas , sección 3.3, ejemplo 2 (d) página 22, del grupo de investigación KatMAT de la Universidad de Bremen
- Francis Borceux (1994). Manual de álgebra categórica: volumen 2, categorías y estructuras . Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 115. ISBN 978-0-521-44179-7.