¿Existe un equipo Danzer con densidad limitada o separación limitada?
En geometría , un conjunto Danzer es un conjunto de puntos que toca cada cuerpo convexo de unidad de volumen. Ludwig Danzer preguntó si es posible que un conjunto así tenga densidad acotada . [1] [2] Varias variaciones de este problema siguen sin resolverse.
Densidad
Una forma de definir el problema de manera más formal es considerar la tasa de crecimiento de un conjunto en -espacio euclidiano dimensional, definido como la función que mapea un número real al número de puntos de que estan a distancia del origen . La pregunta de Danzer es si es posible que un conjunto Danzer tenga una tasa de crecimiento, la tasa de crecimiento de conjuntos de puntos bien espaciados como el entramado de enteros (que no es un conjunto de Danzer). [1]
Es posible construir un conjunto Danzer de tasa de crecimiento que esté dentro de un factor polilogarítmico de . Por ejemplo, la superposición de cuadrículas rectangulares cuyas celdas tienen un volumen constante pero diferentes relaciones de aspecto puede lograr una tasa de crecimiento de. [3] Las construcciones para conjuntos Danzer son conocidas con una tasa de crecimiento algo más rápida,, pero la respuesta a la pregunta de Danzer sigue siendo desconocida. [4]
Cobertura limitada
Otra variación del problema, planteada por Timothy Gowers , pregunta si existe un conjunto de Danzer. para el cual hay un límite finito en el número de puntos de intersección entre y cualquier cuerpo convexo de volumen unitario. [5] Esta versión ha sido resuelta: es imposible que exista un conjunto Danzer con esta propiedad. [6]
Separación
Una tercera variación del problema, aún sin resolver, es el problema de la mosca muerta de Conway . John Horton Conway recordó que, cuando era niño, dormía en una habitación con papel tapiz cuyo patrón de flores se asemejaba a una serie de moscas muertas, y que intentaba encontrar regiones convexas que no tuvieran una mosca muerta en ellas. [7] En la formulación de Conway, la cuestión es si existe un conjunto Danzer en el que los puntos del conjunto (las moscas muertas) están separados a una distancia limitada entre sí. Tal conjunto necesariamente tendría también un límite superior en la distancia desde cada punto del avión a una mosca muerta (para tocar todos los círculos del área de la unidad), por lo que formaría un conjunto Delone , un conjunto con ambos, inferior y superior límites en el espaciado de los puntos. También tendría necesariamente una tasa de crecimiento., así que si existe, también resolvería la versión original del problema de Danzer. Conway ofreció un premio de $ 1000 por una solución a su problema, [7] [8] como parte de un conjunto de problemas que también incluían el problema de 99 gráficos de Conway , el análisis de la acuñación de sylver y la conjetura de thrackle . [8]
Propiedades adicionales
También es posible restringir las clases de conjuntos de puntos que pueden ser conjuntos Danzer de otras formas que no sean sus densidades. En particular, no pueden ser la unión de un número finito de celosías , [3] no se pueden generar eligiendo un punto en cada mosaico de un mosaico de sustitución (en la misma posición para cada mosaico del mismo tipo), y no se pueden generar por el método de cortar y proyectar para la construcción de mosaicos aperiódicos . Por lo tanto, los vértices del mosaico de molinete y el mosaico de Penrose no son conjuntos de Danzer. [4]
Ver también
- Problema del triángulo de Heilbronn , en conjuntos de puntos que no forman triángulos de área pequeña
- El teorema de Minkowski , que todo cuerpo convexo cerrado de volumen unitario que es centralmente simétrico alrededor del origen contiene un punto distinto de cero del retículo de medio entero
Referencias
- ↑ a b Croft, Hallard T .; Falconer, Kenneth J .; Guy, Richard K. (1991), "E14: Posicionamiento de conjuntos convexos en relación con conjuntos discretos", Problemas sin resolver en geometría , Libros de problemas en matemáticas, Springer-Verlag, Nueva York, p. 148 , doi : 10.1007 / 978-1-4612-0963-8 , ISBN 0-387-97506-3, MR 1107516
- ^ Fenchel, Werner (1967), "Problemas", Actas del coloquio sobre convexidad, Copenhague, 1965 , Copenhague: Kobenhavns Universitets Matematiske Institut, págs. 308-325, MR 0214420, Problema 6 (Danzer), citado por Croft, Falconer & Guy (1991)
- ^ a b Bambah, RP; Woods, AC (1971), "Sobre un problema de Danzer" , Pacific Journal of Mathematics , 37 : 295-301, MR 0303419
- ^ a b Salomón, Yaar; Weiss, Barak (2016), "Bosques densos y conjuntos de Danzer", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 49 (5): 1053-1074, arXiv : 1406.3807 , doi : 10.24033 / asens.2303 , MR 3581810
- ^ Gowers, WT (2000), "Estructura y clasificación aproximadas ", Análisis geométrico y funcional (volumen especial, Parte I): 79-117, doi : 10.1007 / 978-3-0346-0422-2_4 , MR 1826250
- ^ Solan, Omri; Salomón, Yaar; Weiss, Barak (2017), "Sobre problemas de Danzer y Gowers y dinámica en el espacio de subconjuntos cerrados de", Avisos internacionales de investigación en matemáticas (21): 6584–6598, arXiv : 1510.07179 , doi : 10.1093 / imrn / rnw204 , MR 3719473
- ^ a b Roberts, Siobhan (2015), Genius at Play: The Curious Mind of John Horton Conway , Nueva York: Bloomsbury Press, p. 382, ISBN 978-1-62040-593-2, MR 3329687
- ^ a b Conway, John H. , Five $ 1,000 Problems (Update 2017) (PDF) , On-Line Encyclopedia of Integer Sequences , consultado el 12 de febrero de 2019. Véase también la secuencia A248380 de OEIS .