Efecto geodésico

Este artículo trata sobre la precesión de los cuerpos en órbita. Para observar estrellas binarias, consulte el experimento de estrella doble de De Sitter .

Una representación del efecto geodésico, con valores para Gravity Probe B .

El efecto geodésico (también conocido como precesión geodésica , precesión de Sitter o efecto de Sitter ) representa el efecto de la curvatura del espacio-tiempo , predicha por la relatividad general , sobre un vector transportado junto con un cuerpo en órbita. Por ejemplo, el vector podría ser el momento angular de un giroscopio que orbita la Tierra, como lo llevó a cabo el experimento Gravity Probe B. El efecto geodésico fue predicho por primera vez por Willem de Sitter en 1916, quien proporcionó correcciones relativistas al movimiento del sistema Tierra-Luna. El trabajo de De Sitter fue ampliado en 1918 por Jan Schouten y en 1920 por Adriaan Fokker. ^[1] También se puede aplicar a una precesión secular particular de órbitas astronómicas, equivalente a la rotación del vector Laplace-Runge-Lenz . ^[2]

El término efecto geodésico tiene dos significados ligeramente diferentes, ya que el cuerpo en movimiento puede girar o no girar. Los cuerpos que no giran se mueven en geodésicas , mientras que los cuerpos que giran se mueven en órbitas ligeramente diferentes. ^[3]

La diferencia entre la precesión de De Sitter y la precesión de Lense-Thirring (arrastre del marco) es que el efecto de De Sitter se debe simplemente a la presencia de una masa central, mientras que la precesión de Lense-Thirring se debe a la rotación de la masa central. La precesión total se calcula combinando la precesión de De Sitter con la precesión Lense-Thirring.

Confirmación experimental

El efecto geodésico se verificó con una precisión superior al 0,5% por ciento mediante Gravity Probe B , un experimento que mide la inclinación del eje de giro de los giroscopios en órbita alrededor de la Tierra. ^[4] Los primeros resultados se anunciaron el 14 de abril de 2007 en la reunión de la American Physical Society . ^[5]

Fórmulas

Relatividad general
${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}$
Introducción Historia Formulación matemática Pruebas
Conceptos fundamentales Principio de equivalencia Relatividad especial Línea mundial Variedad pseudo-riemanniana
Fenómenos Problema de Kepler Lente gravitacional Ondas gravitacionales Arrastrar fotogramas Efecto geodésico Horizonte de eventos Singularidad Calabozo Tiempo espacial Diagramas de espacio-tiempo Espacio-tiempo de Minkowski Puente Einstein-Rosen
Ecuaciones Formalismos Ecuaciones Gravedad linealizada Ecuaciones de campo de Einstein Friedmann Geodésicas Mathisson – Papapetrou – Dixon Hamilton – Jacobi – Einstein Formalismos ADM BSSN Post-Newtoniano Teoría avanzada Teoría de Kaluza-Klein Gravedad cuántica
Soluciones Schwarzschild ( interior ) Reissner – Nordström Gödel Kerr Kerr – Newman Kasner Lemaître – Tolman Taub-NUT Milne Robertson – Walker onda de pp polvo de van Stockum Weyl-Lewis-Papapetrou
Científicos Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Gödel Rodador Robertson Bardeen Caminante Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Raychaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Hombre nuevo Yau Thorne otros
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Para derivar la precesión, suponga que el sistema está en una métrica de Schwarzschild rotatoria . La métrica no rotatoria es

${\displaystyle ds^{2}=dt^{2}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)-dr^{2}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)^{-1}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi '^{2}),}$

donde  c  = G  = 1.

Introducimos un sistema de coordenadas giratorio, con una velocidad angular , tal que un satélite en una órbita circular en el plano θ = π / 2 permanece en reposo. Esto nos da${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle d\phi =d\phi '-\omega \,dt.}$

En este sistema de coordenadas, un observador en la posición radial r ve un vector posicionado en r rotando con frecuencia angular ω. Este observador, sin embargo, ve un vector posicionado en algún otro valor de r como rotando a una velocidad diferente, debido a la dilatación del tiempo relativista. Transformando la métrica de Schwarzschild en el marco giratorio, y asumiendo que es una constante, encontramos${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&=\left(1-{\frac {2m}{r}}-r^{2}\beta \omega ^{2}\right)\left(dt-{\frac {r^{2}\beta \omega }{1-2m/r-r^{2}\beta \omega ^{2}}}\,d\phi \right)^{2}-\\&-dr^{2}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)^{-1}-{\frac {r^{2}\beta -2mr\beta }{1-2m/r-r^{2}\beta \omega ^{2}}}\,d\phi ^{2},\end{aligned}}}$

con . Para un cuerpo que orbita en el plano θ = π / 2, tendremos β = 1 y la línea del mundo del cuerpo mantendrá las coordenadas espaciales constantes durante todo el tiempo. Ahora, la métrica está en forma canónica.${\displaystyle \beta =\sin ^{2}(\theta )}$

${\displaystyle ds^{2}=e^{2\Phi }\left(dt-w_{i}\,dx^{i}\right)^{2}-k_{ij}\,dx^{i}\,dx^{j}.}$

A partir de esta forma canónica, podemos determinar fácilmente la velocidad de rotación de un giroscopio en el momento adecuado.

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega &={\frac {\sqrt {2}}{4}}e^{\Phi }[k^{ik}k^{jl}(\omega _{i,j}-\omega _{j,i})(\omega _{k,l}-\omega _{l,k})]^{1/2}=\\&={\frac {{\sqrt {\beta }}\omega (r-3m)}{r-2m-\beta \omega ^{2}r^{3}}}={\sqrt {\beta }}\omega .\end{aligned}}}$

donde la última igualdad es verdadera solo para observadores en caída libre para los que no hay aceleración, y por lo tanto . Esto lleva a${\displaystyle \Phi ,_{i}=0}$

${\displaystyle \Phi ,_{i}={\frac {2m/r^{2}-2r\beta \omega ^{2}}{2(1-2m/r-r^{2}\beta \omega ^{2})}}=0.}$

Resolviendo esta ecuación para ω se obtiene

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {m}{r^{3}\beta }}.}$

Ésta es esencialmente la ley de períodos de Kepler , que resulta ser relativistamente exacta cuando se expresa en términos de la coordenada de tiempo t de este sistema de coordenadas giratorio particular. En el marco giratorio, el satélite permanece en reposo, pero un observador a bordo del satélite ve el vector de momento angular del giroscopio precesión a la tasa ω. Este observador también ve que las estrellas distantes giran, pero giran a una velocidad ligeramente diferente debido a la dilatación del tiempo. Sea τ el tiempo adecuado del giroscopio . Luego

${\displaystyle \Delta \tau =\left(1-{\frac {2m}{r}}-r^{2}\beta \omega ^{2}\right)^{1/2}\,dt=\left(1-{\frac {3m}{r}}\right)^{1/2}\,dt.}$

El término −2 m / r se interpreta como la dilatación del tiempo gravitacional, mientras que el - m / r adicional se debe a la rotación de este marco de referencia. Sea α 'la precesión acumulada en el marco giratorio. Dado que , la precesión en el curso de una órbita, en relación con las estrellas distantes, viene dada por:${\displaystyle \alpha '=\Omega \Delta \tau }$

${\displaystyle \alpha =\alpha '+2\pi =-2\pi {\sqrt {\beta }}{\Bigg (}\left(1-{\frac {3m}{r}}\right)^{1/2}-1{\Bigg )}.}$

Con una serie de Taylor de primer orden encontramos

${\displaystyle \alpha \approx {\frac {3\pi m}{r}}{\sqrt {\beta }}={\frac {3\pi m}{r}}\sin(\theta ).}$

Precesión de tomás

Se puede intentar romper la precesión de De Sitter en un efecto cinemático llamado precesión de Thomas combinado con un efecto geométrico causado por el espacio-tiempo curvado gravitacionalmente. Al menos un autor ^[6] lo describe de esta manera, pero otros afirman que "La precesión de Thomas entra en juego para un giroscopio en la superficie de la Tierra ..., pero no para un giroscopio en un satélite en movimiento libre". ^[7] Una objeción a la primera interpretación es que la precesión de Thomas requerida tiene el signo equivocado. La ecuación de transporte de Fermi-Walker ^[8]da tanto el efecto geodésico como la precesión de Thomas y describe el transporte del 4-vector de espín para el movimiento acelerado en el espacio-tiempo curvo. El 4-vector de espín es ortogonal al 4-vector de velocidad. El transporte de Fermi-Walker conserva esta relación. Si no hay aceleración, el transporte de Fermi-Walker es simplemente un transporte paralelo a lo largo de una geodésica y da la precesión de giro debido al efecto geodésico. Para la aceleración debida al movimiento circular uniforme en el espacio-tiempo plano de Minkowski, el transporte de Fermi Walker da la precesión de Thomas.

Ver también

• Arrastrar fotogramas
• Geodésicas en relatividad general
• Pozo de gravedad
• Cronología de la física gravitacional y la relatividad.

Notas

1. Jean Eisenstaedt; Anne J. Kox (1988). Estudios de Historia de la Relatividad General . Birkhäuser . pag. 42. ISBN 0-8176-3479-7.
2. de Sitter, W (1916). "Sobre la teoría de la gravitación de Einstein y sus consecuencias astronómicas" . Lun. No. R. Astron. Soc . 77 : 155-184. Código bibliográfico : 1916MNRAS..77..155D . doi : 10.1093 / mnras / 77.2.155 .
3. Rindler, pág. 254.
4. Everitt, CWF; Parkinson, BW (2009). "Resultados de la ciencia de la sonda B de gravedad: informe final de la NASA" (PDF) . Consultado el 2 de mayo de 2009 .
5. http://einstein.stanford.edu/content/press_releases/SU/pr-aps-041807.pdf
6. Rindler, página 234
7. Misner, Thorne y Wheeler, Gravitación, p. 1118
8. Misner, Thorne y Wheeler, Gravitación, p. 165, págs. 175-176, págs. 1117-1121

Referencias

• Wolfgang Rindler (2006) Relatividad: especial, general y cosmológica (2a ed.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-856731-8 

enlaces externos

• Sitios web de Gravity Probe B en la NASA y la Universidad de Stanford
• Precesión en el espacio curvo "El efecto geodésico"
• Efecto geodésico