Matemáticas de la relatividad general

Estructuras y técnicas matemáticas utilizadas en la teoría de la relatividad general.

Para obtener una introducción más accesible y menos técnica a este tema, consulte Introducción a las matemáticas de la relatividad general .

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Relatividad general
${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}$
Introducción Historia Formulación matemática Pruebas
Conceptos fundamentales Principio de relatividad Teoría de la relatividad Covarianza general Simultaneidad Relatividad de la simultaneidad Movimiento relativo Evento Marco de referencia Marco de referencia inercial Masa Masa inercial Marco de descanso Marco de centro de impulso Curvatura Geodésico Geon Principio de equivalencia Masa en relatividad general Equivalencia masa-energía Invariante Masa invariante Simetrías del espacio-tiempo Relatividad especial Relatividad doblemente especial Relatividad especial invariante de De Sitter Relatividad de escala Velocidad de la luz Derivada de tiempo Momento apropiado Longitud adecuada Contracción de la longitud Acción a distancia Principio de localidad Geometría riemanniana Condición energética
Fenómenos Gravitoelectromagnetismo Problema de Kepler Gravedad Campo gravitacional Pozo de gravedad Lente gravitacional Ondas gravitacionales Desplazamiento al rojo gravitacional Redshift Cambio azúl Dilatación del tiempo Dilatación del tiempo gravitacional Retraso de tiempo de Shapiro Potencial gravitacional Compresión gravitacional Colapso gravitacional Arrastrar fotogramas Efecto geodésico Horizonte aparente Horizonte de eventos Singularidad gravitacional Singularidad desnuda Calabozo Agujero blanco Tiempo espacial Flecha del tiempo Cono de luz Línea mundial Espacio tridimensional Espacio de cuatro dimensiones Espacio Hora Colector Colector liso Colector de Riemann Espacio de configuración Espacio de Estados Espacio de fase Espacio Hilbert Espacio euclidiano Espacio topológico Defecto topológico Diagramas de espacio-tiempo Espacio-tiempo de Minkowski Escalar de Lorentz Curva de tiempo cerrada (CTC) Agujero de gusano Ellis agujero de gusano
Ecuaciones Formalismos Ecuaciones Gravedad linealizada Ecuaciones de campo de Einstein Friedmann Geodésicas Mathisson – Papapetrou – Dixon Hamilton – Jacobi – Einstein Invariante de curvatura (relatividad general) Transformación de Lorentz Variedad lorentziana Variedad globalmente hiperbólica Condiciones de causalidad Estructura causal Formalismos ADM BSSN Newman – Penrose Post-Newtoniano Teoría avanzada Teoría de Brans-Dicke Hipótesis de la censura cósmica Teoría de Kaluza-Klein Gravedad cuántica Supergravedad
Soluciones Disco relativista Schwarzschild ( interior ) Reissner – Nordström Gödel Kerr Kerr – Newman Kasner Lemaître – Tolman Taub-NUT Milne Robertson – Walker onda de pp polvo de van Stockum Weyl – Lewis – Papapetrou Solución de vacío
Teoremas Teorema de Birkhoff Teorema de la división de Geroch Teorema de Goldberg-Sachs Teorema de lovelock Teorema sin pelo Teoremas de singularidad de Penrose-Hawking Teorema de la energía positiva
Científicos Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Gödel Rodador Robertson Bardeen Caminante Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Raychaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Hombre nuevo Yau Thorne otros
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Las matemáticas de la relatividad general se refieren a varias estructuras y técnicas matemáticas que se utilizan para estudiar y formular la teoría de la relatividad general de Albert Einstein . Las principales herramientas utilizadas en esta teoría geométrica de la gravitación son los campos tensoriales definidos en una variedad de Lorentz que representa el espacio-tiempo . Este artículo es una descripción general de las matemáticas de la relatividad general.

Nota: Los artículos de relatividad general que utilizan tensores utilizarán la notación de índice abstracto .

Tensores

El principio de covarianza general fue uno de los principios centrales en el desarrollo de la relatividad general. Afirma que las leyes de la física deben adoptar la misma forma matemática en todos los marcos de referencia . El término "covarianza general" se usó en la formulación temprana de la relatividad general, pero el principio se conoce ahora como " covarianza de difeomorfismo ".

La covarianza difeomorfista no es la característica definitoria de la relatividad general, [1] y persisten controversias con respecto a su estado actual en la relatividad general. Sin embargo, la propiedad de invariancia de las leyes físicas implícita en el principio, junto con el hecho de que la teoría es de carácter esencialmente geométrico (haciendo uso de geometrías no euclidianas ), sugirió que la relatividad general se formulara utilizando el lenguaje de los tensores . Esto se discutirá más adelante.

El espacio-tiempo como una variedad

Artículos principales: Topología del espacio- tiempo y del espacio - tiempo

La mayoría de los enfoques modernos de la relatividad general matemática comienzan con el concepto de variedad . Más precisamente, la construcción física básica que representa la gravitación - un espacio-tiempo curvo - se modela por una de cuatro dimensiones, liso, conectado , colector de Lorentz . Otros descriptores físicos están representados por varios tensores, que se analizan a continuación.

La razón para elegir una variedad como estructura matemática fundamental es reflejar las propiedades físicas deseables. Por ejemplo, en la teoría de variedades, cada punto está contenido en un gráfico de coordenadas (de ninguna manera único) , y este gráfico puede considerarse como una representación del 'espacio-tiempo local' alrededor del observador (representado por el punto). El principio de covarianza local de Lorentz , que establece que las leyes de la relatividad especial se aplican localmente sobre cada punto del espacio-tiempo, da más apoyo a la elección de una estructura múltiple para representar el espacio-tiempo, como localmente alrededor de un punto en una variedad general, la región ' parece ', o se aproxima muy de cerca al espacio de Minkowski ( espacio -tiempo plano).

La idea de gráficos de coordenadas como 'observadores locales que pueden realizar mediciones en su vecindad' también tiene un buen sentido físico, ya que así es como uno realmente recopila datos físicos, localmente. Para problemas cosmológicos, un gráfico de coordenadas puede ser bastante grande.

Estructura local versus global

Una distinción importante en física es la diferencia entre estructuras locales y globales. Las mediciones en física se realizan en una región relativamente pequeña del espacio-tiempo y esta es una razón para estudiar la estructura local del espacio-tiempo en la relatividad general, mientras que determinar la estructura del espacio-tiempo global es importante, especialmente en problemas cosmológicos.

Un problema importante en la relatividad general es saber cuándo dos espaciotiempos son "iguales", al menos localmente. Este problema tiene sus raíces en la teoría de las variedades donde se determina si dos variedades de Riemann de la misma dimensión son localmente isométricas ("localmente iguales"). Este último problema ha sido resuelto y su adaptación a la relatividad general se denomina algoritmo de Cartan-Karlhede .

Tensores en la relatividad general

Más información: Tensor

Una de las profundas consecuencias de la teoría de la relatividad fue la abolición de los marcos de referencia privilegiados . La descripción de los fenómenos físicos no debe depender de quién realiza la medición: un marco de referencia debe ser tan bueno como cualquier otro. La relatividad especial demostró que ningún marco de referencia inercial era preferencial a ningún otro marco de referencia inercial, sino que prefería los marcos de referencia inerciales sobre los marcos de referencia no inerciales. La relatividad general eliminó la preferencia por los marcos de referencia inerciales al mostrar que no hay un marco de referencia preferido (inercial o no) para describir la naturaleza.

Cualquier observador puede realizar mediciones y las cantidades numéricas precisas obtenidas solo dependen del sistema de coordenadas utilizado. Esto sugirió una forma de formular la relatividad usando 'estructuras invariantes', aquellas que son independientes del sistema de coordenadas (representado por el observador) usado, pero que aún tienen una existencia independiente. La estructura matemática más adecuada parecía ser un tensor. Por ejemplo, al medir los campos eléctricos y magnéticos producidos por una carga acelerada, los valores de los campos dependerán del sistema de coordenadas utilizado, pero se considera que los campos tienen una existencia independiente, esta independencia representada por el tensor electromagnético .

Matemáticamente, los tensores son operadores lineales generalizados: mapas multilineales . Como tal, las ideas del álgebra lineal se emplean para estudiar tensores.

En cada punto de una variedad , se pueden construir los espacios tangente y cotangente a la variedad en ese punto. Vectores (a veces referido como vectores contravariantes ) se definen como elementos del espacio y la tangente covectores (a veces denominados vectores covariantes , pero más comúnmente vectores de doble o uno-formas ) son elementos del espacio cotangente.${\displaystyle p}$

En , estos dos espacios vectoriales pueden usarse para construir tensores de tipo , que son mapas multilineales de valor real que actúan sobre la suma directa de copias del espacio cotangente con copias del espacio tangente. El conjunto de todos estos mapas multilineales forma un espacio vectorial, llamado espacio del producto tensorial de tipo en y denotado por Si el espacio tangente es n-dimensional, se puede demostrar que${\displaystyle p}$${\displaystyle (r,s)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle s}$${\displaystyle (r,s)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle (T_{p})_{s}^{r}M.}$${\displaystyle \dim(T_{p})_{s}^{r}M=n^{r+s}.}$

En la literatura sobre relatividad general , es convencional usar la sintaxis de componentes para tensores.

Un tensor de tipo puede escribirse como${\displaystyle (r,s)}$

${\displaystyle T={T^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{{b_{1}}\ldots {b_{s}}}{\frac {\partial }{\partial x^{a_{1}}}}\otimes \ldots \otimes {\frac {\partial }{\partial x^{a_{r}}}}\otimes dx^{b_{1}}\otimes \ldots \otimes dx^{b_{s}}}$

donde es una base para el i -ésimo espacio tangente y una base para el j -ésimo espacio cotangente.${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial x^{a_{i}}}}}$${\displaystyle dx^{b_{j}}}$

Como se supone que el espacio-tiempo es tetradimensional, cada índice de un tensor puede ser uno de cuatro valores. Por lo tanto, el número total de elementos que posee un tensor es igual a 4 ^R , donde R es el recuento del número de índices covariantes y contravariantes en el tensor (un número llamado rango del tensor).${\displaystyle (b_{i})}$${\displaystyle (a_{i})}$${\displaystyle r+s}$

Tensores simétricos y antisimétricos

Artículos principales: tensor antisimétrico y tensor simétrico

Algunas cantidades físicas están representadas por tensores cuyos componentes no son todos independientes. Ejemplos importantes de tales tensores incluyen tensores simétricos y antisimétricos. Los tensores antisimétricos se utilizan comúnmente para representar rotaciones (por ejemplo, el tensor de vorticidad ).

Aunque un tensor genérico de rango R en 4 dimensiones tiene 4 componentes ^R , las restricciones sobre el tensor, como la simetría o la antisimetría, sirven para reducir el número de componentes distintos. Por ejemplo, un tensor de rango dos simétrico satisface y posee 10 componentes independientes, mientras que un tensor de rango dos antisimétrico (simétrico) satisface y tiene 6 componentes independientes. Para rangos superiores a dos, los pares de índices simétricos o antisimétricos deben identificarse explícitamente.${\displaystyle T}$${\displaystyle T_{\alpha \beta }=T_{\beta \alpha }}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P_{\alpha \beta }=-P_{\beta \alpha }}$

Los tensores antisimétricos de rango 2 juegan un papel importante en la teoría de la relatividad. El conjunto de todos estos tensores, a menudo llamados bivectores , forma un espacio vectorial de dimensión 6, a veces llamado espacio bivector.

El tensor métrico

Artículo principal: tensor métrico (relatividad general)

El tensor métrico es un objeto central en la relatividad general que describe la geometría local del espacio-tiempo (como resultado de resolver las ecuaciones de campo de Einstein ). Utilizando la aproximación de campo débil , también se puede pensar que el tensor métrico representa el "potencial gravitacional". El tensor métrico a menudo se llama simplemente "la métrica".

La métrica es un tensor simétrico y es una herramienta matemática importante. Además de utilizarse para subir y bajar índices de tensor , también genera las conexiones que se utilizan para construir las ecuaciones geodésicas de movimiento y el tensor de curvatura de Riemann .

Un medio conveniente de expresar el tensor métrico en combinación con los intervalos incrementales de la distancia de coordenadas con los que se relaciona es a través del elemento de línea :

${\displaystyle ds^{2}=g_{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}}$

Esta forma de expresar la métrica fue utilizada por los pioneros de la geometría diferencial . Si bien algunos relativistas consideran que la notación es algo anticuada, muchos cambian fácilmente entre esta y la notación alternativa: ^[1]

${\displaystyle g=g_{ab}\,dx^{a}\otimes dx^{b}}$

El tensor métrico se escribe comúnmente como una matriz de 4 por 4. Esta matriz es simétrica y por lo tanto tiene 10 componentes independientes.

Invariantes

Una de las características centrales de GR es la idea de invariancia de las leyes físicas. Esta invariancia se puede describir de muchas maneras, por ejemplo, en términos de covarianza de Lorentz local , el principio general de relatividad o covarianza de difeomorfismo .

Se puede dar una descripción más explícita utilizando tensores. La característica crucial de los tensores usados ​​en este enfoque es el hecho de que (una vez que se da una métrica) la operación de contraer un tensor de rango R sobre todos los índices R da un número - un invariante - que es independiente del gráfico de coordenadas que se usa para realizar la contracción. Físicamente, esto significa que si dos observadores calculan el invariante, obtendrán el mismo número, lo que sugiere que el invariante tiene algún significado independiente. Algunos invariantes importantes en la relatividad incluyen:

• El escalar de Ricci :${\displaystyle R=R^{\alpha \beta }g_{\alpha \beta }}$
• El escalar de Kretschmann :${\displaystyle K=R^{abcd}R_{abcd}}$

Otros ejemplos de invariantes en relatividad incluyen los invariantes electromagnéticos y varios otros invariantes de curvatura , algunos de los cuales encuentran aplicación en el estudio de la entropía gravitacional y la hipótesis de la curvatura de Weyl .

Clasificaciones de tensores

La clasificación de tensores es un problema puramente matemático. En GR, sin embargo, ciertos tensores que tienen una interpretación física pueden clasificarse con las diferentes formas del tensor que generalmente corresponden a alguna física. Ejemplos de clasificaciones de tensores útiles en relatividad general incluyen la clasificación Segre del tensor de energía-momento y la clasificación de Petrov del tensor de Weyl . Existen varios métodos para clasificar estos tensores, algunos de los cuales usan invariantes de tensor.

Campos tensoriales en la relatividad general

Artículo principal: campo tensor

Los campos tensoriales de una variedad son mapas que adjuntan un tensor a cada punto de la variedad . Esta noción se puede hacer más precisa introduciendo la idea de un haz de fibras , que en el contexto actual significa reunir todos los tensores en todos los puntos de la variedad, y así 'agruparlos' todos en un gran objeto llamado haz tensorial . Un campo tensorial se define entonces como un mapa desde la variedad hasta el paquete tensorial, cada punto está asociado con un tensor en .${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

La noción de campo tensorial es de gran importancia en GR. Por ejemplo, la geometría alrededor de una estrella se describe mediante un tensor métrico en cada punto, por lo que en cada punto del espacio-tiempo se debe dar el valor de la métrica para resolver las trayectorias de las partículas materiales. Otro ejemplo son los valores de los campos eléctricos y magnéticos (dados por el tensor de campo electromagnético ) y la métrica en cada punto alrededor de un agujero negro cargado para determinar el movimiento de una partícula cargada en dicho campo.

Los campos vectoriales son campos tensoriales de rango uno contravariantes. Campos de vectores importantes en la relatividad incluyen la cuadrivelocidad , , que es la distancia coordinar recorrida por unidad de tiempo adecuado, el cuatro de aceleración y el de cuatro actual que describe la carga y densidades de corriente. Otros campos tensoriales físicamente importantes en la relatividad incluyen los siguientes:${\displaystyle U^{a}={\dot {x}}^{a}}$ ${\displaystyle A^{a}={\ddot {x}}^{a}}$ ${\displaystyle J^{a}}$

• El tensor de tensión-energía , un tensor simétrico de rango dos.${\displaystyle T^{ab}}$
• El tensor de campo electromagnético , un tensor antisimétrico de rango dos.${\displaystyle F^{ab}}$

Aunque la palabra 'tensor' se refiere a un objeto en un punto, es una práctica común referirse a los campos tensoriales en un espacio-tiempo (o una región del mismo) simplemente como 'tensores'.

En cada punto de un espacio-tiempo en el que se define una métrica, la métrica se puede reducir a la forma de Minkowski utilizando la ley de inercia de Sylvester .

Derivadas tensoriales

Antes del advenimiento de la relatividad general, los cambios en los procesos físicos se describían generalmente mediante derivadas parciales , por ejemplo, al describir cambios en los campos electromagnéticos (véanse las ecuaciones de Maxwell ). Incluso en la relatividad especial , la derivada parcial sigue siendo suficiente para describir tales cambios. Sin embargo, en la relatividad general, se encuentra que deben usarse derivadas que también son tensores. Las derivadas tienen algunas características comunes, incluido el hecho de que son derivadas a lo largo de curvas integrales de campos vectoriales.

El problema de definir derivadas en variedades que no son planas es que no existe una forma natural de comparar vectores en diferentes puntos. Se requiere una estructura adicional en una variedad general para definir derivadas. A continuación se describen dos derivadas importantes que pueden definirse imponiendo una estructura adicional a la variedad en cada caso.

Conexiones afines

Artículo principal: conexión afín

La curvatura de un espacio-tiempo se puede caracterizar tomando un vector en algún punto y transportándolo en paralelo a lo largo de una curva en el espacio-tiempo. Una conexión afín es una regla que describe cómo mover legítimamente un vector a lo largo de una curva en la variedad sin cambiar su dirección.

Por definición, una conexión afín es un mapa bilineal , donde es un espacio de todos los campos vectoriales en el espacio-tiempo. Este mapa bilineal se puede describir en términos de un conjunto de coeficientes de conexión (también conocidos como símbolos de Christoffel ) que especifican lo que sucede con los componentes de los vectores base bajo transporte paralelo infinitesimal:${\displaystyle \Gamma (TM)\times \Gamma (TM)\to \Gamma (TM)}$${\displaystyle \Gamma (TM)}$

${\displaystyle \nabla _{e_{i}}e_{j}=\Gamma _{ji}^{k}e_{k}}$

A pesar de su apariencia, los coeficientes de conexión no son los componentes de un tensor .

En términos generales, existen coeficientes de conexión independientes en cada punto del espacio-tiempo. La conexión se llama simétrica o libre de torsión , si . Una conexión simétrica tiene como máximo coeficientes únicos.${\displaystyle D^{3}}$${\displaystyle \Gamma _{ji}^{k}=\Gamma _{ij}^{k}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}D^{2}(D+1)}$

Para cualquier curva y dos puntos y en esta curva, una conexión afín da lugar a un mapa de vectores en el espacio tangente en vectores en el espacio tangente en :${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle A=\gamma (0)}$${\displaystyle B=\gamma (t)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle X(t)=\Pi _{0,t,\gamma }X(0)}$

y se puede calcular por componentes resolviendo la ecuación diferencial${\displaystyle X(t)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}X^{i}(t)=\nabla _{C(t)}X^{i}(t)=\Gamma _{jk}^{i}X^{j}(t)C^{k}(t)}$

donde es el vector tangente a la curva en el punto .${\displaystyle C^{j}(t)}$${\displaystyle \gamma (t)}$

Una conexión afín importante en la relatividad general es la conexión Levi-Civita , que es una conexión simétrica obtenida del transporte paralelo de un vector tangente a lo largo de una curva mientras se mantiene constante el producto interno de ese vector a lo largo de la curva. Los coeficientes de conexión resultantes ( símbolos de Christoffel ) se pueden calcular directamente a partir de la métrica . Por esta razón, este tipo de conexión a menudo se denomina conexión métrica .

La derivada covariante

Artículo principal: Derivado covariante

Sea un punto, un vector ubicado en y un campo vectorial. La idea de diferenciar a lo largo de la dirección de de una manera físicamente significativa puede tener sentido eligiendo una conexión afín y una curva suave parametrizada tal que y . La formula${\displaystyle X}$${\displaystyle {\vec {A}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\vec {B}}}$${\displaystyle {\vec {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\vec {A}}}$${\displaystyle \gamma (t)}$${\displaystyle X=\gamma (0)}$${\displaystyle {\vec {A}}={\tfrac {d}{dt}}\gamma (0)}$

${\displaystyle \nabla _{\vec {A}}{\vec {B}}(X)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{\epsilon }}\left[\Pi _{(\epsilon ,0,\gamma )}{\vec {B}}(\gamma [\epsilon ])-{\vec {B}}(X)\right]}$

porque una derivada covariante de junto con la conexión resulta dar resultados independientes de la curva y puede usarse como una "definición física" de una derivada covariante.${\displaystyle {\vec {B}}}$${\displaystyle {\vec {A}}}$${\displaystyle \Pi }$

Se puede expresar mediante coeficientes de conexión:

${\displaystyle \nabla _{\vec {Y}}{\vec {X}}=X^{a}{}_{;b}Y^{b}{\frac {\partial }{\partial x^{a}}}=(X^{a}{}_{,b}+\Gamma _{bc}^{a}X^{c})Y^{b}{\frac {\partial }{\partial x^{a}}}}$

La expresión entre paréntesis, llamada derivada covariante de (con respecto a la conexión)${\displaystyle X}$ y denotada por , se usa con más frecuencia en los cálculos:${\displaystyle \nabla {\vec {X}}}$

${\displaystyle \nabla {\vec {X}}=X^{a}{}_{;b}{\frac {\partial }{\partial x^{a}}}\otimes dx^{b}=(X^{a}{}_{,b}+\Gamma _{bc}^{a}X^{c}){\frac {\partial }{\partial x^{a}}}\otimes dx^{b}}$

Por lo tanto, una derivada covariante de puede verse como un operador diferencial que actúa sobre un campo vectorial y lo envía a un tensor de tipo (1, 1) (aumentando el índice covariante en 1) y puede generalizarse para actuar sobre campos de tensor de tipo enviándolos a tipo campos tensores. Las nociones de transporte paralelo se pueden definir de manera similar al caso de los campos vectoriales. Por definición, una derivada covariante de un campo escalar es igual a la derivada regular del campo.${\displaystyle X}$${\displaystyle (r,s)}$${\displaystyle (r,s+1)}$

En la literatura, existen tres métodos comunes para denotar diferenciación covariante:

${\displaystyle D_{a}T_{d\dots e}^{b\dots c}=\nabla _{a}T_{d\dots e}^{b\dots c}=T_{d\dots e;a}^{b\dots c}}$

Muchas propiedades estándar de las derivadas parciales regulares también se aplican a las derivadas covariantes:

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{a}(X^{b}+Y^{b})&=\nabla _{a}X^{b}+\nabla _{a}Y^{b}\\\nabla _{a}(cX^{b})&=c\nabla _{a}X^{b}&&c{\text{ a constant}}\\\nabla _{a}(X^{b}Y^{c})&=Y^{c}(\nabla _{a}X^{b})+X^{b}(\nabla _{a}Y^{c})\\\nabla _{a}(f(x)X^{b})&=f\nabla _{a}X^{b}+X^{b}\nabla _{a}f=f\nabla _{a}X^{b}+X^{b}{\partial f \over \partial x^{a}}\\\end{aligned}}}$

En la relatividad general, uno suele referirse a "la" derivada covariante, que es la asociada con la conexión afín Levi-Civita. Por definición, la conexión Levi-Civita conserva la métrica bajo transporte paralelo, por lo tanto, la derivada covariante da cero cuando actúa sobre un tensor métrico (así como su inverso). Significa que podemos tomar el tensor métrico (inverso) dentro y fuera de la derivada y usarlo para subir y bajar índices:

${\displaystyle \nabla _{a}T^{b}=\nabla _{a}(T_{c}g^{bc})=g^{bc}\nabla _{a}T_{c}}$

El derivado de la mentira

Artículos principales: Derivada de mentira y simetrías espaciotemporales

Otra derivada tensorial importante es la derivada de Lie. A diferencia de la derivada covariante, la derivada de Lie es independiente de la métrica, aunque en la relatividad general se suele utilizar una expresión que aparentemente depende de la métrica a través de la conexión afín. Mientras que la derivada covariante requería una conexión afín para permitir la comparación entre vectores en diferentes puntos, la derivada de Lie usa una congruencia de un campo vectorial para lograr el mismo propósito. La idea de que Lie arrastra una función a lo largo de una congruencia conduce a una definición de la derivada de Lie, donde la función arrastrada se compara con el valor de la función original en un punto dado. La derivada de Lie se puede definir para campos de tensor de tipo y, en este sentido, se puede ver como un mapa que envía un tipo${\displaystyle (r,s)}$${\displaystyle (r,s)}$a un tensor de tipo .${\displaystyle (r,s)}$

La derivada de Lie generalmente se denota por , donde es el campo vectorial a lo largo de cuya congruencia se toma la derivada de Lie.${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$${\displaystyle X}$

La derivada de Lie de cualquier tensor a lo largo de un campo vectorial se puede expresar mediante las derivadas covariantes de ese tensor y campo vectorial. La derivada de Lie de un escalar es solo la derivada direccional:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\phi =X^{a}\nabla _{a}\phi =X^{a}{\frac {\partial \phi }{\partial x^{a}}}}$

Los objetos de rango superior recogen términos adicionales cuando se toma la derivada de Lie. Por ejemplo, la derivada de Lie de un tensor de tipo (0, 2) es

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}T_{ab}=X^{c}\nabla _{c}T_{ab}+(\nabla _{a}X^{c})T_{cb}+(\nabla _{b}X^{c})T_{ac}=X^{c}T_{ab,c}+X_{,a}^{c}T_{cb}+X_{,b}^{c}T_{ac}}$

Más generalmente,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{X}&T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}=X^{c}(\nabla _{c}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}})-\\&\quad (\nabla _{c}X^{a_{1}})T^{c\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}-\cdots -(\nabla _{c}X^{a_{r}})T^{a_{1}\ldots a_{r-1}c}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}+\\&\quad (\nabla _{b_{1}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{c\ldots b_{s}}+\cdots +(\nabla _{b_{s}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s-1}c}\end{aligned}}}$

De hecho, en la expresión anterior, se puede reemplazar la derivada covariante con cualquier conexión libre de torsión o localmente, con la derivada dependiente de coordenadas , mostrando que la derivada de Lie es independiente de la métrica. Sin embargo, la derivada covariante es conveniente porque conmuta con índices ascendentes y descendentes.${\displaystyle \nabla _{a}}$${\displaystyle {\tilde {\nabla }}_{a}}$${\displaystyle \partial _{a}}$

Uno de los principales usos de la derivada de Lie en la relatividad general es el estudio de las simetrías del espacio-tiempo, donde se conservan tensores u otros objetos geométricos. En particular, la simetría de Killing (simetría del tensor métrico bajo el arrastre de Lie) ocurre con mucha frecuencia en el estudio de los espaciotiempos. Usando la fórmula anterior, podemos escribir la condición que debe cumplirse para que un campo vectorial genere una simetría de Killing:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{X}g_{ab}=0&\Longleftrightarrow \nabla _{a}X_{b}+\nabla _{b}X_{a}=0\\&\Longleftrightarrow X^{c}g_{ab,c}+X_{,a}^{c}g_{bc}+X_{,b}^{c}g_{ac}=0\end{aligned}}}$

El tensor de curvatura de Riemann

Artículo principal: tensor de Riemann (relatividad general)

Una característica crucial de la relatividad general es el concepto de variedad curva. Una forma útil de medir la curvatura de una variedad es con un objeto llamado tensor de Riemann (curvatura).

Este tensor mide la curvatura mediante el uso de una conexión afín al considerar el efecto del transporte paralelo de un vector entre dos puntos a lo largo de dos curvas. La discrepancia entre los resultados de estas dos rutas de transporte paralelas se cuantifica esencialmente mediante el tensor de Riemann .

Esta propiedad del tensor de Riemann se puede utilizar para describir cómo divergen inicialmente las geodésicas paralelas. Esto se expresa mediante la ecuación de la desviación geodésica y significa que las fuerzas de marea experimentadas en un campo gravitacional son el resultado de la curvatura del espacio-tiempo .

Usando el procedimiento anterior, el tensor de Riemann se define como un tensor de tipo (1, 3) y cuando está completamente escrito contiene explícitamente los símbolos de Christoffel y sus primeras derivadas parciales. El tensor de Riemann tiene 20 componentes independientes. La desaparición de todos estos componentes en una región indica que el espacio-tiempo es plano en esa región. Desde el punto de vista de la desviación geodésica, esto significa que las geodésicas inicialmente paralelas en esa región del espacio-tiempo permanecerán paralelas.

El tensor de Riemann tiene una serie de propiedades a las que a veces se hace referencia como simetrías del tensor de Riemann . De particular relevancia para la relatividad general son las identidades algebraicas y diferenciales de Bianchi.

La conexión y la curvatura de cualquier variedad de Riemann están estrechamente relacionadas, la teoría de los grupos de holonomía , que se forman tomando mapas lineales definidos por transporte paralelo alrededor de curvas en la variedad, proporcionando una descripción de esta relación.

Lo que el tensor de Riemann nos permite hacer es decir, matemáticamente, si un espacio es plano o, si es curvo, cuánta curvatura tiene lugar en una región determinada. Para derivar el tensor de curvatura de Riemann, primero debemos recordar la definición de la derivada covariante de un tensor con uno y dos índices;

1. ${\displaystyle \nabla _{\mu }V_{\nu }=\partial _{\mu }V_{\nu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }V_{\rho }}$
2. ${\displaystyle \nabla _{\sigma }[V_{\mu \nu }]=\partial _{\sigma }V_{\mu \nu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }V_{\rho \nu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }V_{\mu \rho }}$

Para la formación del tensor de Riemann, la derivada covariante se toma dos veces con respecto a un tensor de rango uno. La ecuación se establece de la siguiente manera;

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\sigma ;\mu }V_{\nu }&=\nabla _{\sigma }[\nabla _{\mu }V_{\nu }]\\&=\partial _{\sigma }[\nabla _{\mu }V_{\nu }]-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }[\nabla _{\rho }V_{\nu }]-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }[\nabla _{\mu }V_{\rho }]\\&=\partial _{\sigma }[\partial _{\mu }V_{\nu }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu }V_{\alpha }]-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }[\partial _{\rho }V_{\nu }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \rho }V_{\alpha }]-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }[\partial _{\mu }V_{\rho }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \mu }V_{\alpha }]\\&=\partial _{\sigma }\partial _{\mu }V_{\nu }-\partial _{\sigma }(\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu }V_{\alpha })-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }\partial _{\rho }V_{\nu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \rho }V_{\alpha }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\partial _{\mu }V_{\rho }+\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \mu }V_{\alpha }\\&=\partial _{\sigma }\partial _{\mu }V_{\nu }-\partial _{\sigma }(\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu })V_{\alpha }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu }\partial _{\sigma }(V_{\alpha })-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }\partial _{\rho }V_{\nu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \rho }V_{\alpha }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\partial _{\mu }V_{\rho }+\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \mu }V_{\alpha }\end{aligned}}}$

Del mismo modo tenemos:

${\displaystyle \nabla _{\mu ;\sigma }V_{\nu }=\partial _{\mu }\partial _{\sigma }V_{\nu }-\partial _{\mu }(\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \sigma })V_{\alpha }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \sigma }\partial _{\mu }(V_{\alpha })-\Gamma ^{\rho }{}_{\sigma \mu }\partial _{\rho }V_{\nu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\sigma \mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \rho }V_{\alpha }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \mu }\partial _{\sigma }V_{\rho }+\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \sigma }V_{\alpha }}$

Restar las dos ecuaciones, intercambiar índices ficticios y usar la simetría de los símbolos de Christoffel deja:

${\displaystyle \nabla _{\sigma ;\mu }V_{\nu }-\nabla _{\mu ;\sigma }V_{\nu }=(\partial _{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \sigma }-\partial _{\sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \mu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \sigma })V_{\alpha }}$

o

${\displaystyle R_{\nu \mu \sigma }^{\alpha }V_{\alpha }=(\partial _{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \sigma }-\partial _{\sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \mu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \sigma })V_{\alpha }}$

Finalmente, el tensor de curvatura de Riemann se escribe como;

${\displaystyle R_{\nu \mu \sigma }^{\alpha }=\partial _{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \sigma }-\partial _{\sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \mu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \sigma }}$

Puede contraer índices para hacer que el tensor sea covariante simplemente multiplicando por la métrica, lo que será útil cuando trabaje con las ecuaciones de campo de Einstein ,

${\displaystyle g_{\alpha \lambda }R_{\nu \mu \sigma }^{\lambda }=R_{\alpha \nu \mu \sigma }}$

y por una mayor descomposición,

${\displaystyle g^{\alpha \mu }R_{\alpha \nu \mu \sigma }=R_{\nu \sigma }}$

Este tensor se llama tensor de Ricci, que también se puede derivar estableciendo y en el tensor de Riemann en el mismo índice y sumando sobre ellos. Luego, el escalar de curvatura se puede encontrar yendo un paso más allá,${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle g^{\nu \sigma }R_{\nu \sigma }=R}$

Entonces ahora tenemos 3 objetos diferentes,

1. el tensor de curvatura de Riemann : o${\displaystyle R_{\nu \mu \sigma }^{\alpha }}$${\displaystyle R_{\alpha \nu \mu \sigma }}$
2. el tensor de Ricci :${\displaystyle R_{\nu \sigma }}$
3. la curvatura escalar :${\displaystyle R}$

todos los cuales son útiles para calcular soluciones a las ecuaciones de campo de Einstein.

El tensor de energía-momento

Artículo principal: Tensor de energía-momento (relatividad general)

Las fuentes de cualquier campo gravitacional (materia y energía) se representan en relatividad mediante un tensor simétrico de tipo (0, 2) llamado tensor de energía-momento . Está estrechamente relacionado con el tensor de Ricci . Al ser un tensor de segundo rango en cuatro dimensiones, el tensor de energía-momento puede verse como una matriz de 4 por 4. Los diversos tipos de matrices admisibles, llamados formas de Jordan , no pueden ocurrir todos, ya que las condiciones de energía que el tensor de energía-momento se ve obligado a satisfacer descartan ciertas formas.

Conservación de energía

En GR, existe una ley local para la conservación de la energía-momento. Puede expresarse sucintamente mediante la ecuación tensorial:

${\displaystyle T^{ab}{}_{;b}=0}$

El enunciado correspondiente de conservación de energía local en relatividad especial es:

${\displaystyle T^{ab}{}_{,b}=0}$

Esto ilustra la regla de oro de que "las derivadas parciales van a las derivadas covariantes".

Las ecuaciones de campo de Einstein

Artículo principal: ecuaciones de campo de Einstein

Ver también: Soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein

Las ecuaciones de campo de Einstein (EFE) son el núcleo de la teoría de la relatividad general. El EFE describe cómo la masa y la energía (como se representa en el tensor de tensión-energía ) se relacionan con la curvatura del espacio-tiempo (como se representa en el tensor de Einstein ). En notación de índice abstracto , la EFE dice lo siguiente:

${\displaystyle G_{ab}+\Lambda g_{ab}={8\pi G \over c^{4}}T_{ab}}$

donde es el tensor de Einstein , es la constante cosmológica , es el tensor métrico , es la velocidad de la luz en el vacío y es la constante gravitacional , que proviene de la ley de Newton de la gravitación universal .${\displaystyle G_{ab}}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle g_{ab}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle G}$

Las soluciones del EFE son tensores métricos. Las EFE, al ser ecuaciones diferenciales no lineales para la métrica, a menudo son difíciles de resolver. Hay una serie de estrategias que se utilizan para resolverlos. Por ejemplo, una estrategia es comenzar con un ansatz (o una suposición fundamentada) de la métrica final y refinarla hasta que sea lo suficientemente específica para admitir un sistema de coordenadas, pero aún lo suficientemente general como para producir un conjunto de ecuaciones diferenciales simultáneas con incógnitas que se puede resolver. Los tensores métricos que resultan de casos en los que las ecuaciones diferenciales resultantes pueden resolverse exactamente para una distribución físicamente razonable de energía-momento se denominan soluciones exactas . Ejemplos de soluciones exactas importantes incluyen la solución de Schwarzschildy la solución de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker .

La aproximación EIH más otras referencias (por ejemplo, Geroch y Jang, 1975 - 'Movimiento de un cuerpo en relatividad general', JMP, Vol. 16 Edición 1).

Las ecuaciones geodésicas

Artículo principal: Geodésica (relatividad general)

Una vez resueltos los EFE para obtener una métrica, queda por determinar el movimiento de los objetos inerciales en el espacio-tiempo. En la relatividad general, se supone que el movimiento inercial se produce a lo largo de geodésicas temporales y nulas del espacio-tiempo según lo parametrizado por el tiempo adecuado . Las geodésicas son curvas que transportan en paralelo su propio vector tangente ; es decir, . Esta condición, la ecuación geodésica , se puede escribir en términos de un sistema de coordenadas con el vector tangente :${\displaystyle {\vec {U}}}$${\displaystyle \nabla _{\vec {U}}{\vec {U}}=0}$${\displaystyle x^{a}}$${\displaystyle U^{a}={\frac {dx^{a}}{d\tau }}}$

${\displaystyle {\ddot {x}}^{a}+{\Gamma ^{a}}_{bc}\,{\dot {x}}^{b}\,{\dot {x}}^{c}=0}$

donde denota la derivada por el tiempo adecuado , con τ parametrizar el tiempo adecuado a lo largo de la curva y manifestar la presencia de los símbolos de Christoffel .${\displaystyle {\dot {}}}$${\displaystyle d/d\tau }$

Una característica principal de la relatividad general es determinar las trayectorias de las partículas y la radiación en los campos gravitacionales. Esto se logra resolviendo las ecuaciones geodésicas .

Los EFE relacionan la distribución total de materia (energía) con la curvatura del espacio-tiempo . Su no linealidad conduce a un problema para determinar el movimiento preciso de la materia en el espacio-tiempo resultante. Por ejemplo, en un sistema compuesto por un planeta en órbita alrededor de una estrella , el movimiento del planeta se determina resolviendo las ecuaciones de campo con el tensor de energía-momento la suma de los del planeta y la estrella. El campo gravitacional del planeta afecta la geometría del espacio-tiempo total y, por lo tanto, el movimiento de los objetos. Por tanto, es razonable suponer que las ecuaciones de campo se pueden utilizar para derivar las ecuaciones geodésicas.

Cuando el tensor de energía-momento para un sistema es el del polvo , se puede demostrar usando la ley de conservación local para el tensor de energía-momento que las ecuaciones geodésicas se satisfacen exactamente.

Formulación lagrangiana

Artículo principal: Métodos variacionales en relatividad general.

Muchos investigadores consideran atractivo el tema de derivar las ecuaciones de movimiento o las ecuaciones de campo en cualquier teoría física. Una forma bastante universal de realizar estas derivaciones es mediante el uso de técnicas de cálculo variacional , siendo los principales objetos utilizados en esto los lagrangianos .

Muchos consideran que este enfoque es una forma elegante de construir una teoría, otros simplemente como una forma formal de expresar una teoría (por lo general, la construcción lagrangiana se realiza después de que se ha desarrollado la teoría).

Técnicas matemáticas para analizar el espacio-tiempo

Habiendo delineado las estructuras matemáticas básicas utilizadas en la formulación de la teoría, ahora se discutirán algunas técnicas matemáticas importantes que se emplean en la investigación del espacio-tiempo.

Campos de marco

Artículo principal: Campos marco en la relatividad general.

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Un campo de trama es un conjunto ortonormal de 4 campos vectoriales (1 en forma de tiempo, 3 en forma de espacio) definidos en un espacio-tiempo . Se puede pensar que cada campo de cuadro representa a un observador en el espacio-tiempo que se mueve a lo largo de las curvas integrales del campo vectorial en forma de tiempo. Cada cantidad de tensor puede expresarse en términos de un campo de trama, en particular, el tensor métrico adquiere una forma particularmente conveniente. Cuando se combinan con los campos de coframe , los campos de marco proporcionan una herramienta poderosa para analizar el espacio-tiempo e interpretar físicamente los resultados matemáticos.

Campos de vector de simetría

Artículo principal: simetrías del espacio-tiempo

Esta sección necesita expansión . Puede ayudar agregando más . ( Agosto de 2011 )

Algunas técnicas modernas para analizar el espacio-tiempo se basan en gran medida en el uso de simetrías del espacio-tiempo, que se generan infinitesimalmente por campos vectoriales (generalmente definidos localmente) en un espacio-tiempo que preserva alguna característica del espacio-tiempo. El tipo más común de tales campos vectoriales de simetría incluye los campos vectoriales Killing (que conservan la estructura métrica) y sus generalizaciones llamadas campos vectoriales Killing generalizados . Los campos vectoriales de simetría encuentran una amplia aplicación en el estudio de soluciones exactas en la relatividad general y el conjunto de todos esos campos vectoriales generalmente forma un álgebra de Lie de dimensión finita .

El problema de Cauchy

Artículo principal: Formulación de valor inicial (relatividad general)

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El problema de Cauchy (a veces llamado problema del valor inicial) es el intento de encontrar una solución a una ecuación diferencial dadas las condiciones iniciales. En el contexto de la relatividad general , significa el problema de encontrar soluciones a las ecuaciones de campo de Einstein , un sistema de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas , dados algunos datos iniciales sobre una hipersuperficie. El estudio del problema de Cauchy permite formular el concepto de causalidad en la relatividad general, así como "parametrizar" las soluciones de las ecuaciones de campo. Idealmente, uno desea soluciones globales , pero generalmente soluciones locales.son lo mejor que se puede esperar. Normalmente, la resolución de este problema de valor inicial requiere la selección de condiciones de coordenadas particulares .

Formalismo de spinor

Esta sección necesita expansión . Puede ayudar agregando más . ( Agosto de 2011 )

Los espinores encuentran varias aplicaciones importantes en la relatividad. Su uso como método para analizar espaciotiempo utilizando tétradas , en particular, en el formalismo de Newman-Penrose es importante.

Otra característica atractiva de los espinores en la relatividad general es la forma condensada en la que se pueden escribir algunas ecuaciones tensoriales utilizando el formalismo de espinores. Por ejemplo, al clasificar el tensor de Weyl, determinar los diversos tipos de Petrov se vuelve mucho más fácil en comparación con la contraparte tensorial.

Cálculo de Regge

Artículo principal: cálculo de Regge

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El cálculo de Regge es un formalismo que corta una variedad de Lorentz en 'trozos' discretos ( bloques simpliciales de cuatro dimensiones ) y las longitudes de los bordes de los bloques se toman como variables básicas. Se obtiene una versión discreta de la acción de Einstein-Hilbert considerando los llamados ángulos de déficit de estos bloques, un ángulo de déficit cero que corresponde a ninguna curvatura. Esta novedosa idea encuentra aplicación en métodos de aproximación en relatividad numérica y gravedad cuántica , esta última utilizando una generalización del cálculo de Regge.

Teoremas de singularidad

Artículo principal: teoremas de singularidad de Penrose-Hawking

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En relatividad general, se señaló que, en condiciones bastante genéricas, el colapso gravitacional inevitablemente dará como resultado una denominada singularidad . Una singularidad es un punto donde las soluciones de las ecuaciones se vuelven infinitas, lo que indica que la teoría ha sido probada en rangos inapropiados.

Relatividad numérica

Artículo principal: relatividad numérica

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La relatividad numérica es el subcampo de la relatividad general que busca resolver las ecuaciones de Einstein mediante el uso de métodos numéricos. Se utilizan métodos de diferencia finita , elemento finito y pseudoespectral para aproximar la solución a las ecuaciones diferenciales parciales que surgen. Las técnicas novedosas desarrolladas por la relatividad numérica incluyen el método de escisión y el método de punción para tratar las singularidades que surgen en el espacio-tiempo de los agujeros negros. Los temas de investigación más comunes incluyen los agujeros negros y las estrellas de neutrones.

Métodos de perturbación

Artículo principal: Métodos de perturbación en la relatividad general.

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La no linealidad de las ecuaciones de campo de Einstein a menudo lleva a uno a considerar métodos de aproximación para resolverlas. Por ejemplo, un enfoque importante es linealizar las ecuaciones de campo . Las técnicas de la teoría de la perturbación encuentran amplia aplicación en tales áreas.

Ver también

• Cálculo de Ricci  : notación de índice tensorial para cálculos basados ​​en tensor

Notas

[1] La característica definitoria (idea física central) de la relatividad general es que la materia y la energía hacen que la geometría del espacio-tiempo circundante sea curva.

Referencias

1. Tenga en cuenta que la notaciónse usa generalmente para denotar el determinante del tensor métrico covariante,${\displaystyle g}$${\displaystyle g_{ab}}$

• Einstein, A. (1961). Relatividad: la teoría especial y general . Nueva York: Crown. ISBN 0-517-02961-8.
• Misner, Charles; Thorne, Kip S. y Wheeler, John Archibald (1973). Gravitación . San Francisco: WH Freeman . ISBN 0-7167-0344-0.
• Landau, LD y Lifshitz, EM (1975). Teoría clásica de campos (cuarta edición revisada en inglés) . Oxford: Pérgamo. ISBN 0-08-018176-7.
• Petrov, AN; Kopeikin, SM; Tekin, B. y Lompay, R. (2017). Teorías métricas de la gravedad: perturbaciones y leyes de conservación . Berlín: De Gruyter. doi : 10.1515 / 9783110351781 . ISBN 978-3-11-035173-6.