Arrastrar fotogramas

Efecto de la relatividad general

Este artículo trata sobre el efecto en el espacio-tiempo causado por una masa en rotación. Para editar fotogramas de video, consulte Velocidad de fotogramas .

Parte de una serie de artículos sobre
Relatividad general
${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}$
Introducción Historia Formulación matemática Pruebas
Conceptos fundamentales Principio de relatividad Teoría de la relatividad Covarianza general Simultaneidad Relatividad de la simultaneidad Movimiento relativo Evento Marco de referencia Marco de referencia inercial Masa Masa inercial Marco de descanso Marco de centro de impulso Curvatura Geodésico Geon Principio de equivalencia Masa en relatividad general Equivalencia masa-energía Invariante Masa invariante Simetrías del espacio-tiempo Relatividad especial Relatividad doblemente especial Relatividad especial invariante de De Sitter Relatividad de escala Velocidad de la luz Derivada de tiempo Momento apropiado Longitud adecuada Contracción de la longitud Acción a distancia Principio de localidad Geometría riemanniana Condición energética
Fenómenos Gravitoelectromagnetismo Problema de Kepler Gravedad Campo gravitacional Pozo de gravedad Lente gravitacional Ondas gravitacionales Desplazamiento al rojo gravitacional Redshift Cambio azúl Dilatación del tiempo Dilatación del tiempo gravitacional Retraso de tiempo de Shapiro Potencial gravitacional Compresión gravitacional Colapso gravitacional Arrastrar fotogramas Efecto geodésico Horizonte aparente Horizonte de eventos Singularidad gravitacional Singularidad desnuda Calabozo Agujero blanco Tiempo espacial Flecha del tiempo Cono de luz Línea mundial Espacio tridimensional Espacio de cuatro dimensiones Espacio Tiempo Colector Colector liso Colector de Riemann Espacio de configuración Espacio de Estados Espacio de fase Espacio Hilbert Espacio euclidiano Espacio topológico Defecto topológico Diagramas de espacio-tiempo Espacio-tiempo de Minkowski Escalar de Lorentz Curva de tiempo cerrada (CTC) Agujero de gusano Ellis agujero de gusano
Ecuaciones Formalismos Ecuaciones Gravedad linealizada Ecuaciones de campo de Einstein Friedmann Geodésicas Mathisson – Papapetrou – Dixon Hamilton – Jacobi – Einstein Invariante de curvatura (relatividad general) Transformación de Lorentz Variedad lorentziana Variedad globalmente hiperbólica Condiciones de causalidad Estructura causal Formalismos ADM BSSN Newman – Penrose Post-Newtoniano Teoría avanzada Teoría de Brans-Dicke Hipótesis de la censura cósmica Teoría de Kaluza-Klein Gravedad cuántica Supergravedad
Soluciones Disco relativista Schwarzschild ( interior ) Reissner – Nordström Gödel Kerr Kerr – Newman Kasner Lemaître – Tolman Taub-NUT Milne Robertson – Walker onda de pp polvo de van Stockum Weyl – Lewis – Papapetrou Solución de vacío
Teoremas Teorema de Birkhoff Teorema de la división de Geroch Teorema de Goldberg-Sachs Teorema de lovelock Teorema sin pelo Teoremas de singularidad de Penrose-Hawking Teorema de la energía positiva
Científicos Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Gödel Rodador Robertson Bardeen Caminante Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Raychaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Hombre nuevo Yau Thorne otros
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Torsión por arrastre es un efecto en el espacio-tiempo , predicho por Albert Einstein 's teoría general de la relatividad , que se debe a las distribuciones estacionarias no estáticos de masa-energía . Un campo estacionario es uno que está en un estado estable, pero las masas que causan ese campo pueden ser no estáticas ⁠— rotativas, por ejemplo. De manera más general, el tema que se ocupa de los efectos causados ​​por las corrientes de masa-energía se conoce como gravitoelectromagnetismo , que es análogo al magnetismo del electromagnetismo clásico .

El primer efecto de arrastre de fotogramas se obtuvo en 1918, en el marco de la relatividad general, por los físicos austriacos Josef Lense y Hans Thirring , y también se conoce como efecto Lense-Thirring . ^{[1] [2] [3]} Ellos predijeron que la rotación de un objeto masivo distorsionaría la métrica del espacio-tiempo , haciendo que la órbita de una partícula de prueba cercana precesase . Esto no sucede en la mecánica newtoniana para la que el campo gravitacionalde un cuerpo depende sólo de su masa, no de su rotación. El efecto Lense-Thirring es muy pequeño, aproximadamente una parte en unos pocos billones. Para detectarlo, es necesario examinar un objeto muy masivo o construir un instrumento que sea muy sensible.

En 2015, se formularon nuevas extensiones relativistas generales de las leyes de rotación newtonianas para describir el arrastre geométrico de marcos que incorpora un efecto antideslizante recientemente descubierto. ^[4]

Efectos

El arrastre de cuadro rotacional (el efecto Lense-Thirring ) aparece en el principio general de la relatividad y teorías similares en la vecindad de objetos masivos en rotación. Bajo el efecto Lense-Thirring, el marco de referencia en el que un reloj marca más rápido es el que gira alrededor del objeto visto por un observador distante. Esto también significa que la luz que viaja en la dirección de rotación del objeto se moverá más allá del objeto masivo más rápido que la luz que se mueve en contra de la rotación, como lo ve un observador distante. Ahora es el efecto de arrastre de fotogramas más conocido, en parte gracias al experimento Gravity Probe B. Cualitativamente, el arrastre de cuadros puede verse como el análogo gravitacional de la inducción electromagnética .

Además, una región interior se arrastra más que una exterior. Esto produce interesantes cuadros que giran localmente. Por ejemplo, imagine que una patinadora sobre hielo orientada de norte a sur, en órbita sobre el ecuador de un agujero negro en rotación y rotacionalmente en reposo con respecto a las estrellas, extiende sus brazos. El brazo extendido hacia el agujero negro será "torcido" hacia el giro debido a la inducción gravitomagnética ("torcido" está entre comillas porque los efectos gravitacionales no se consideran "fuerzas" según GR). Del mismo modo, el brazo que se extiende lejos del agujero negro se aplicará un par de torsión anti-giro. Por lo tanto, se acelerará rotacionalmente, en sentido contrario al del agujero negro. Esto es lo contrario de lo que sucede en la experiencia cotidiana. Existe una tasa de rotación particular que, si inicialmente girara a esa tasa cuando extiende los brazos, los efectos de inercia y los efectos de arrastre del marco se equilibrarán y su tasa de rotación no cambiará. Debido al principio de equivalencia , los efectos gravitacionales son localmente indistinguibles de los efectos inerciales, por lo que esta tasa de rotación, a la que cuando extiende los brazos no sucede nada, es su referencia local para la no rotación. Este marco está girando con respecto a las estrellas fijas y contrarrotando con respecto al agujero negro. Este efecto es análogo alestructura hiperfina en los espectros atómicos debido al espín nuclear. Una metáfora útil es un sistema de engranajes planetarios en el que el agujero negro es el engranaje solar, el patinador sobre hielo es un engranaje planetario y el universo exterior es la corona. Vea el principio de Mach .

Otra consecuencia interesante es que, para un objeto constreñido en una órbita ecuatorial, pero no en caída libre, pesa más si orbita anti-spinward, y menos si orbita hacia spinward. Por ejemplo, en una bolera ecuatorial suspendida, una bola de boliche enrollada en sentido contrario a los giros pesaría más que la misma bola rodada en una dirección de giro. Tenga en cuenta que el arrastre del cuadro no acelerará ni ralentizará la bola de boliche en ninguna dirección. No es una "viscosidad". Del mismo modo, una plomada fija suspendida sobre el objeto giratorio no se inclinará. Colgará verticalmente. Si comienza a caer, la inducción lo empujará en la dirección de giro.

El arrastre del marco lineal es el resultado igualmente inevitable del principio general de relatividad, aplicado al momento lineal . Aunque podría decirse que tiene la misma legitimidad teórica que el efecto "rotacional", la dificultad de obtener una verificación experimental del efecto significa que recibe mucha menos discusión y a menudo se omite en los artículos sobre arrastre de marcos (pero ver Einstein, 1921). ^[5]

El aumento de masa estática es un tercer efecto observado por Einstein en el mismo artículo. ^[6] El efecto es un aumento de la inercia de un cuerpo cuando se colocan otras masas cerca. Si bien no es estrictamente un efecto de arrastre de cuadros (Einstein no utiliza el término arrastre de cuadros), Einstein demuestra que se deriva de la misma ecuación de la relatividad general. También es un efecto minúsculo que es difícil de confirmar experimentalmente.

Ensayos experimentales

En 1976, Van Patten y Everitt ^{[7] [8]} propusieron implementar una misión dedicada destinada a medir la precesión del nodo Lense-Thirring de un par de naves espaciales en órbita contraria para colocarlas en órbitas polares terrestres con aparatos sin arrastre. Ciufolini ^[9] propuso una versión algo equivalente y más barata de esta idea en 1986 ^, quien propuso lanzar un satélite geodésico pasivo en una órbita idéntica a la del satélite LAGEOS , lanzado en 1976, aparte de los planos orbitales que debería haber sido desplazado por 180 grados de distancia: la llamada configuración de mariposa. La cantidad medible fue, en este caso, la suma de los nodos de LAGEOS y de la nueva nave espacial, posteriormente denominada LAGEOS III, LARES , WEBER-SAT.

Limitando el alcance a los escenarios que involucran cuerpos en órbita existentes, la primera propuesta para usar el satélite LAGEOS y la técnica de Alcance Láser Satelital ( SLR ) para medir el efecto Lense-Thirring se remonta a 1977-1978. ^[10] Las pruebas han comenzado a realizarse de forma eficaz utilizando los satélites LAGEOS y LAGEOS II en 1996, ^{[11] de} acuerdo con una estrategia ^{[12] que} implica el uso de una combinación adecuada de los nodos de ambos satélites y el perigeo de LAGEOS II . Las últimas pruebas con los satélites LAGEOS se realizaron en 2004-2006 ^{[13] [14]} descartando el perigeo de LAGEOS II y utilizando una combinación lineal. ^[15]Recientemente, se publicó en la literatura una descripción general completa de los intentos de medir el efecto Lense-Thirring con satélites artificiales. ^[16] La precisión general alcanzada en las pruebas con los satélites LAGEOS está sujeta a cierta controversia. ^{[17] [18] [19]}

El experimento Gravity Probe B ^{[20] [21]} fue una misión satelital de un grupo de Stanford y la NASA, utilizada para medir experimentalmente otro efecto gravitomagnético, la precesión de Schiff de un giroscopio, ^{[22] [23]} a un 1% esperado precisión o mejor. Desafortunadamente, no se logró tal precisión. Los primeros resultados preliminares publicados en abril de 2007 apuntaban hacia una precisión del ^[24] 256-128%, con la esperanza de alcanzar alrededor del 13% en diciembre de 2007 ^[25].En 2008, el Informe de Revisión Senior de las Misiones Operativas de la División de Astrofísica de la NASA declaró que era poco probable que el equipo de Gravity Probe B pudiera reducir los errores al nivel necesario para producir una prueba convincente de los aspectos de la Relatividad General no probados actualmente (incluido el marco- arrastrando). ^{[26] [27]} El 4 de mayo de 2011, el grupo de análisis con sede en Stanford y la NASA anunciaron el informe final, ^[28] y en él los datos de GP-B demostraron el efecto de arrastre del cuadro con un error de alrededor del 19 por ciento. , y el valor predicho de Einstein estaba en el centro del intervalo de confianza. ^{[29] [30]}

La NASA publicó afirmaciones de éxito en la verificación de arrastre de tramas para los satélites gemelos GRACE ^[31] y Gravity Probe B, ^[32] ambas afirmaciones todavía están a la vista del público. Un grupo de investigación en Italia, ^[33] Estados Unidos y el Reino Unido también afirmó haber tenido éxito en la verificación del arrastre del marco con el modelo de gravedad Grace, publicado en una revista revisada por pares. Todas las afirmaciones incluyen recomendaciones para futuras investigaciones con mayor precisión y otros modelos de gravedad.

En el caso de estrellas que orbitan cerca de un agujero negro supermasivo giratorio, el arrastre del marco debería hacer que el plano orbital de la estrella precese alrededor del eje de rotación del agujero negro. Este efecto debería ser detectable en los próximos años mediante el seguimiento astrométrico de estrellas en el centro de la galaxia Vía Láctea . ^[34]

Al comparar la tasa de precesión orbital de dos estrellas en diferentes órbitas, es posible, en principio, probar los teoremas de la relatividad general sin pelo , además de medir el giro del agujero negro. ^[35]

Evidencia astronómica

Chorro relativista. El entorno alrededor del AGN donde el plasma relativista se colima en chorros que escapan a lo largo del polo del agujero negro supermasivo.

Los chorros relativistas pueden proporcionar evidencia de la realidad del arrastre de cuadros. Las fuerzas gravitomagnéticas producidas por el efecto Lense-Thirring (arrastre del marco) dentro de la ergosfera de los agujeros negros giratorios ^{[36] [37]} combinados con el mecanismo de extracción de energía de Penrose ^[38] se han utilizado para explicar las propiedades observadas de los chorros relativistas . El modelo gravitomagnético desarrollado por Reva Kay Williams predice las partículas de alta energía observadas (~ GeV) emitidas por los cuásares y los núcleos galácticos activos ; la extracción de rayos X, rayos γ y e ^- –e relativista⁺ pares; los chorros colimados alrededor del eje polar; y la formación asimétrica de chorros (con respecto al plano orbital).

El efecto Lense-Thirring se ha observado en un sistema binario que consta de una enana blanca masiva y un púlsar . ^[39]

Derivación matemática

El arrastre de cuadros se puede ilustrar más fácilmente usando la métrica de Kerr , ^{[40] [41]} que describe la geometría del espacio-tiempo en la vecindad de una masa M que gira con momento angular J y coordenadas de Boyer-Lindquist (ver el enlace para la transformación ):

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}d\tau ^{2}=&\left(1-{\frac {r_{s}r}{\rho ^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {\rho ^{2}}{\Lambda ^{2}}}dr^{2}-\rho ^{2}d\theta ^{2}\\&{}-\left(r^{2}+\alpha ^{2}+{\frac {r_{s}r\alpha ^{2}}{\rho ^{2}}}\sin ^{2}\theta \right)\sin ^{2}\theta \ d\phi ^{2}+{\frac {2r_{s}r\alpha c\sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}}d\phi dt\end{aligned}}}$

donde r _s es el radio de Schwarzschild

${\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$

y donde se han introducido las siguientes variables taquigráficas por brevedad

${\displaystyle \alpha ={\frac {J}{Mc}}}$

${\displaystyle \rho ^{2}=r^{2}+\alpha ^{2}\cos ^{2}\theta \,\!}$

${\displaystyle \Lambda ^{2}=r^{2}-r_{s}r+\alpha ^{2}\,\!}$

En el límite no relativista donde M (o, de manera equivalente, r _s ) va a cero, la métrica de Kerr se convierte en la métrica ortogonal para las coordenadas esferoidales achatadas

${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=c^{2}dt^{2}-{\frac {\rho ^{2}}{r^{2}+\alpha ^{2}}}dr^{2}-\rho ^{2}d\theta ^{2}-\left(r^{2}+\alpha ^{2}\right)\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$

Podemos reescribir la métrica de Kerr de la siguiente forma

${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=\left(g_{tt}-{\frac {g_{t\phi }^{2}}{g_{\phi \phi }}}\right)dt^{2}+g_{rr}dr^{2}+g_{\theta \theta }d\theta ^{2}+g_{\phi \phi }\left(d\phi +{\frac {g_{t\phi }}{g_{\phi \phi }}}dt\right)^{2}}$

Esta métrica es equivalente a un marco de referencia co-rotativo que gira con una velocidad angular Ω que depende tanto del radio r como de la colatitud θ

${\displaystyle \Omega =-{\frac {g_{t\phi }}{g_{\phi \phi }}}={\frac {r_{s}\alpha rc}{\rho ^{2}\left(r^{2}+\alpha ^{2}\right)+r_{s}\alpha ^{2}r\sin ^{2}\theta }}}$

En el plano del ecuador esto se simplifica a: ^[42]

${\displaystyle \Omega ={\frac {r_{s}\alpha c}{r^{3}+\alpha ^{2}r+r_{s}\alpha ^{2}}}}$

Así, un sistema de referencia inercial es arrastrado por la masa central giratoria para participar en la rotación de esta última; esto es arrastrar fotogramas.

Las dos superficies en las que la métrica de Kerr parece tener singularidades; la superficie interior es el horizonte de sucesos achatado en forma de esferoide , mientras que la superficie exterior tiene forma de calabaza. ^{[43] [44]} La ergosfera se encuentra entre estas dos superficies; dentro de este volumen, el componente puramente temporal g _tt es negativo, es decir, actúa como un componente métrico puramente espacial. En consecuencia, las partículas dentro de esta ergosfera deben co-rotar con la masa interna, si quieren retener su carácter temporal.

Una versión extrema del arrastre de fotogramas ocurre dentro de la ergosfera de un agujero negro en rotación . La métrica de Kerr tiene dos superficies en las que parece ser singular. La superficie interna corresponde a un horizonte de eventos esférico similar al observado en la métrica de Schwarzschild ; esto ocurre en

${\displaystyle r_{\text{inner}}={\frac {r_{s}+{\sqrt {r_{s}^{2}-4\alpha ^{2}}}}{2}}}$

donde el componente puramente radial g _rr de la métrica llega al infinito. La superficie exterior puede aproximarse mediante un esferoide achatado con parámetros de giro más bajos y se asemeja a una forma de calabaza ^{[43] [44]} con parámetros de giro más altos. Toca la superficie interior en los polos del eje de rotación, donde la colatitud θ es igual a 0 o π; su radio en coordenadas de Boyer-Lindquist está definido por la fórmula

${\displaystyle r_{\text{outer}}={\frac {r_{s}+{\sqrt {r_{s}^{2}-4\alpha ^{2}\cos ^{2}\theta }}}{2}}}$

donde el componente puramente temporal g _tt de la métrica cambia de signo de positivo a negativo. El espacio entre estas dos superficies se llama ergosfera . Una partícula en movimiento experimenta un tiempo adecuado positivo a lo largo de su línea de mundo , su trayectoria a través del espacio-tiempo . Sin embargo, esto es imposible dentro de la ergosfera, donde g _tt es negativo, a menos que la partícula esté co-rotando con la masa interior M con una velocidad angular de al menos Ω. Sin embargo, como se vio arriba, el arrastre de cuadros ocurre en cada masa rotatoria y en cada radio ry colatitud θ , no solo dentro de la ergosfera.

Efecto lente-sed dentro de un caparazón giratorio

El efecto Lense-Thirring dentro de una cáscara de rotación fue tomada por Albert Einstein no sólo como soporte para, pero una reivindicación del principio de Mach , en una carta que escribió a Ernst Mach en 1913 (cinco años antes del trabajo Lense y de Thirring, y dos años antes había alcanzado la forma final de la relatividad general ). Se puede encontrar una reproducción de la carta en Misner, Thorne, Wheeler . ^[45] El efecto general escalado a distancias cosmológicas, todavía se utiliza como soporte para el principio de Mach. ^[45]

Dentro de una cáscara esférica giratoria, la aceleración debida al efecto Lense-Thirring sería ^[46]

${\displaystyle {\bar {a}}=-2d_{1}\left({\bar {\omega }}\times {\bar {v}}\right)-d_{2}\left[{\bar {\omega }}\times \left({\bar {\omega }}\times {\bar {r}}\right)+2\left({\bar {\omega }}{\bar {r}}\right){\bar {\omega }}\right]}$

donde los coeficientes son

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{1}&={\frac {4MG}{3Rc^{2}}}\\d_{2}&={\frac {4MG}{15Rc^{2}}}\end{aligned}}}$

para MG ≪ Rc ² o más precisamente,

${\displaystyle d_{1}={\frac {4\alpha (2-\alpha )}{(1+\alpha )(3-\alpha )}},\qquad \alpha ={\frac {MG}{2Rc^{2}}}}$

El espacio-tiempo dentro de la cáscara esférica giratoria no será plano. Es posible un espacio-tiempo plano dentro de una carcasa de masa giratoria si se permite que la carcasa se desvíe de una forma esférica precisa y se permite que varíe la densidad de masa dentro de la carcasa. ^[47]

Ver también

• Métrica de Kerr
• Efecto geodésico
• Experimento de recuperación de gravedad y clima
• Gravitomagnetismo
• Principio de Mach
• Línea ancha de hierro K
• Chorro relativista
• Precesión de sed de lente
• Efecto Woodward

Referencias

1. Sed, H. (1918). "Über die Wirkung rotierender ferner Massen in der Einsteinschen Gravitationstheorie". Physikalische Zeitschrift . 19 : 33. Código Bibliográfico : 1918PhyZ ... 19 ... 33T . [Sobre el efecto de la rotación de masas distantes en la teoría de la gravitación de Einstein]
2. Sediento, H. (1921). "Berichtigung zu meiner Arbeit: 'Über die Wirkung rotierender Massen in der Einsteinschen Gravitationstheorie ' ". Physikalische Zeitschrift . 22 : 29. Código Bibliográfico : 1921PhyZ ... 22 ... 29T . [Corrección de mi artículo "Sobre el efecto de la rotación de masas distantes en la teoría de la gravitación de Einstein"]
3. Lense, J .; Thirring, H. (1918). "Über den Einfluss der Eigenrotation der Zentralkörper auf die Bewegung der Planeten und Monde nach der Einsteinschen Gravitationstheorie". Physikalische Zeitschrift . 19 : 156-163. Código bibliográfico : 1918PhyZ ... 19..156L . [Sobre la influencia de la rotación adecuada de los cuerpos centrales en los movimientos de los planetas y las lunas según la teoría de la gravitación de Einstein]
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Otras lecturas

• Renzetti, G. (mayo de 2013). "Historia de los intentos de medir el arrastre de tramas orbitales con satélites artificiales" . Revista Centroeuropea de Física . 11 (5): 531–544. Código bibliográfico : 2013CEJPh..11..531R . doi : 10.2478 / s11534-013-0189-1 .
• Ginzburg, VL (mayo de 1959). "Satélites artificiales y teoría de la relatividad". Scientific American . 200 (5): 149–160. Código Bibliográfico : 1959SciAm.200e.149G . doi : 10.1038 / scientificamerican0559-149 .

enlaces externos

• LANZAMIENTO DE LA NASA: 04-351 A medida que el mundo gira, arrastra el espacio y el tiempo