En matemáticas , un gerbe de manojo es un modelo geométrico de ciertos gerbes 1 con conexión , o equivalentemente de una clase 2 en cohomología de Deligne .
Topología
- paquetes principales sobre un espacio(ver paquete circular ) son realizaciones geométricas de clases 1 en la cohomología de Deligne que consisten en conexiones de 1 forma ) y curvaturas de 2 formas. La topología de unpaquete se clasifica por su clase Chern , que es un elemento de, la segunda cohomología integral de .
Gerbes , o más precisamente 1-gerbes, son descripciones abstractas de Deligne 2-clases, cada una de las cuales define un elemento de, La tercera cohomology integral de M .
Como clase de cohomología en cohomología de Deligne
Recuerde un colector suave los p-ésimo grupos de cohomología de Deligne están definidos por la hipercohomología del complejo
llamado el peso q complejo de Deligne , donde es el haz de gérmenes de formas k diferenciales suaves tensado con . Entonces, escribimos
para los grupos de peso de Deligne-cohomología . En el caso el complejo Deligne es entonces
Podemos entender los grupos de cohomología de Deligne si observamos la resolución de Cech que da un complejo doble. También hay una secuencia exacta corta asociada [1] pág. 7
dónde son los gérmenes cerrados de 2 formas complejas valoradas en y es el subespacio de tales formas donde las integrales de período son integrales. Esto se puede usar para mostrar son las clases de isomorfismo de haz de gerbios en un colector liso , o equivalentemente, las clases de isomorfismo de -paquetes en .
Historia
Históricamente la construcción más popular de un Gerbe es una categoría de teoría de modelo que aparece en la teoría de Gerbes, que son aproximadamente de Giraud gavillas de grupoides más de M .
En 1994 Murray introdujo los gerbios en manojos, que son realizaciones geométricas de 1-gerbios. Para muchos propósitos, estos son más adecuados para los cálculos que la realización de Giraud, porque su construcción está completamente dentro del marco de la geometría clásica. De hecho, como sugiere su nombre, son haces de fibras . Esta noción se extendió a los gerbios superiores el año siguiente. [2]
Relación con la teoría K retorcida
En Twisted K-theory y la teoría K de Bundle Gerbes [3] los autores definieron módulos de bundle gerbes y usaron esto para definir una teoría K para bundle gerbes. Luego demostraron que esta teoría K es isomórfica a la teoría K retorcida de Rosenberg , y proporciona una construcción libre de análisis .
Además, definieron una noción de carácter retorcido de Chern, que es una clase característica de un elemento de la teoría K retorcida. El carácter retorcido de Chern es una forma diferencial que representa una clase en la cohomología retorcida con respecto al operador nilpotente .
dónde es la derivada exterior ordinaria y el giro es una forma cerrada de 3. Esta construcción se extendió a la teoría K equivariante y a la teoría K holomórfica por Mathai y Stevenson. [4]
Relación con la teoría de campo
Los gerbios en manojos también han aparecido en el contexto de las teorías de campo conformes . Gawedzki y Reis han interpretado el término de Wess-Zumino en el modelo de Wess-Zumino-Witten (WZW) de propagación de cuerdas en una variedad de grupo como la conexión de un gerbe de manojo. Urs Schreiber , Christoph Schweigert y Konrad Waldorf han utilizado esta construcción para extender los modelos WZW a superficies no orientadas y, de manera más general, el acoplamiento global Kalb-Ramond a cuerdas no orientadas.
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Ver también
Notas
- ↑ Gajer, Pawel (26 de enero de 1996). "Geometría de la cohomología de Deligne" . Inventiones Mathematicae . 127 : 155-207. arXiv : alg-geom / 9601025 . doi : 10.1007 / s002220050118 .
- ^ en Clases de cohomología y Gerbes de paquete superior en teorías de calibre por Alan Carey , Michael Murray y Bai-Ling Wang
- ^ por Peter Bouwknegt , Alan Carey , Varghese Mathai , Michael Murray y Danny Stevenson
- ^ en Carácter de Chern en la teoría K retorcida: casos equivariantes y holomórficos
Referencias
- Bundle gerbes , de Michael Murray.
- Introducción al paquete de gerbios , por Michael Murray.
- Gerbes de paquete no beliano, su geometría diferencial y teoría de la galga, por Paolo Aschieri, Luigi Cantini y Branislav Jurco.
- Agrupe gerbes en arxiv.org
En la teoría de cuerdas
- Branes y cadenas WZW