En matemáticas , un orden parcial u orden total
Ejemplo
Los números racionales como un conjunto ordenado linealmente son un conjunto densamente ordenado en este sentido, al igual que los números algebraicos , los números reales , los racionales diádicos y las fracciones decimales . De hecho, cada extensión de anillo ordenada por Arquímedes de los enteros es un conjunto densamente ordenado.
Para el elemento , debido a la propiedad de Arquímedes, si , existe un entero más grande con , y si , , y existe un entero más grande con . Como resultado,. Para dos elementos cualesquiera con , y . Por lo tanto es denso.
Por otro lado, el orden lineal de los números enteros no es denso.
Singularidad para pedidos densos totales sin puntos finales
Georg Cantor demostró que cada dos conjuntos contables, totalmente ordenados, densos y no vacíos, sin límites inferiores o superiores, son orden-isomorfos . [1] Esto hace que la teoría de órdenes lineales densos sin límites sea un ejemplo de una teoría ω- categórica donde ω es el ordinal de límite más pequeño . Por ejemplo, existe un isomorfismo de orden entre los números racionales y otros conjuntos contables densamente ordenados, incluidos los racionales diádicos y los números algebraicos . Las pruebas de estos resultados utilizan el método de ida y vuelta . [2]
La función de signo de interrogación de Minkowski se puede utilizar para determinar los isomorfismos de orden entre los números algebraicos cuadráticos y los números racionales, y entre los racionales y los diádicos.
Generalizaciones
Cualquier relación binaria R se dice que es densa si, por todo R -related x y y , hay un z tal que x y z y también z y y son R relacionados con la PI. Formalmente:
- Alternativamente, en términos de composición de R con ella misma, la condición densa puede expresarse como R ⊆ R ° R . [3]
Las condiciones suficientes para que una relación binaria R en un conjunto X sea densa son:
- R es reflexivo ;
- R es coreflexivo ;
- R es cuasireflexivo ;
- R es euclidiana izquierda o derecha ; o
- R es simétrico y semiconector y X tiene al menos 3 elementos.
Ninguno de ellos es necesario . Por ejemplo, hay una relación R que no es reflexiva sino densa. Una relación densa y no vacía no puede ser antitransitiva .
Un orden parcial estricto
Ver también
- Conjunto denso : un subconjunto de un espacio topológico cuyo cierre es todo el espacio.
- Denso en sí mismo : un subconjunto de un espacio topológico tal que no contiene un punto aislado
- Semántica de Kripke : una densa relación de accesibilidad corresponde al axioma
Referencias
- ^ Roitman, Judith (1990), "Teorema 27, p. 123", Introducción a la teoría de conjuntos moderna , Matemáticas puras y aplicadas, 8 , John Wiley & Sons, ISBN 9780471635192.
- ^ Dasgupta, Abhijit (2013), Teoría de conjuntos: con una introducción a los conjuntos de puntos reales , Springer-Verlag, p. 161, ISBN 9781461488545.
- ^ Gunter Schmidt (2011) Matemáticas relacionales , página 212, Cambridge University PressISBN 978-0-521-76268-7
Otras lecturas
- David Harel , Dexter Kozen , Jerzy Tiuryn, lógica dinámica , MIT Press, 2000, ISBN 0-262-08289-6 , pág. 6ff