El corchete de Dirac es una generalización del corchete de Poisson desarrollado por Paul Dirac [1] para tratar sistemas clásicos con restricciones de segunda clase en la mecánica hamiltoniana , y así permitirles someterse a cuantificación canónica . Es una parte importante del desarrollo de Dirac de la mecánica hamiltoniana manejar elegantemente a los lagrangianos más generales ; específicamente, cuando las restricciones están a la mano, de modo que el número de variables aparentes exceda el de las dinámicas. [2] De manera más abstracta, las dos formas implícitas en el corchete de Dirac es la restricción de la forma simplécticaa la superficie de restricción en el espacio de fase . [3]
Este artículo asume familiaridad con los formalismos estándar de Lagrange y Hamilton , y su conexión con la cuantificación canónica . Los detalles del formalismo hamiltoniano modificado de Dirac también se resumen para poner el corchete de Dirac en contexto.
Insuficiencia del procedimiento hamiltoniano estándar
El desarrollo estándar de la mecánica hamiltoniana es inadecuado en varias situaciones específicas:
- Cuando el lagrangiano es como mucho lineal en la velocidad de al menos una coordenada; en cuyo caso, la definición del momento canónico conduce a una restricción . Ésta es la razón más frecuente para recurrir a los brackets de Dirac. Por ejemplo, el Lagrangiano (densidad) para cualquier fermión es de esta forma.
- Cuando hay grados de libertad de calibre (u otros no físicos) que necesitan ser arreglados.
- Cuando hay otras restricciones que se desean imponer en el espacio de fase.
Ejemplo de una velocidad lineal lagrangiana
Un ejemplo en la mecánica clásica es una partícula con carga q y la masa m confinada a la x - y plano con una constante de fuerte, homogénea campo magnético perpendicular, por lo que a continuación, apuntando en la z dirección x con la fuerza B . [4]
El Lagrangiano para este sistema con una elección adecuada de parámetros es
dónde es el potencial vectorial del campo magnético,; c es la velocidad de la luz en el vacío; y V () es un potencial escalar externo arbitrario; uno podría fácilmente llevarlo a ser cuadrática en x e y , sin pérdida de generalidad. Usamos
como nuestro potencial vectorial; esto corresponde a un campo magnético uniforme y constante B en la dirección z . Aquí, los sombreros indican vectores unitarios. Más adelante en el artículo, sin embargo, se utilizan para distinguir los operadores de la mecánica cuántica de sus análogos clásicos. El uso debe quedar claro en el contexto.
Explícitamente, el Lagrangiano equivale a
que conduce a las ecuaciones de movimiento
Para un potencial armónico, el gradiente de V equivale solo a las coordenadas, - ( x , y ) .
Ahora, en el límite de un campo magnético muy grande, qB / mc ≫ 1 . Entonces se puede eliminar el término cinético para producir un lagrangiano aproximado simple,
con ecuaciones de movimiento de primer orden
Tenga en cuenta que este lagrangiano aproximado es lineal en las velocidades , que es una de las condiciones en las que se rompe el procedimiento hamiltoniano estándar. Si bien este ejemplo ha sido motivado como una aproximación, el lagrangiano en consideración es legítimo y conduce a ecuaciones de movimiento consistentes en el formalismo lagrangiano.
Sin embargo, siguiendo el procedimiento hamiltoniano, los momentos canónicos asociados con las coordenadas son ahora
que son inusuales porque no son invertibles a las velocidades; en cambio, están restringidas a ser funciones de las coordenadas: las cuatro variables de espacio de fase son linealmente dependientes, por lo que la base de la variable está sobrecompleta .
Una transformación de Legendre produce entonces el hamiltoniano
Tenga en cuenta que este hamiltoniano "ingenuo" no depende de los momentos , lo que significa que las ecuaciones de movimiento (ecuaciones de Hamilton) son inconsistentes.
El procedimiento hamiltoniano se ha roto. Se podría tratar de solucionar el problema mediante la eliminación de dos de los componentes de la 4 espacio de fase -dimensional, decir y y p y , hacia abajo a un espacio de fase reducida de 2 dimensiones, que a veces está expresando las coordenadas como cantidades de movimiento y, a veces como coordenadas. Sin embargo, esta no es una solución general ni rigurosa. Esto llega al meollo del asunto: que la definición de los momentos canónicos implica una restricción en el espacio de fase (entre momentos y coordenadas) que nunca se tuvo en cuenta.
Procedimiento hamiltoniano generalizado
En la mecánica de Lagrange, si el sistema tiene restricciones holonómicas , generalmente se agregan multiplicadores de Lagrange al Lagrangiano para dar cuenta de ellas. Los términos adicionales desaparecen cuando se satisfacen las restricciones, lo que obliga a que la trayectoria de la acción estacionaria se encuentre en la superficie de la restricción. En este caso, ir al formalismo hamiltoniano introduce una restricción en el espacio de fase en la mecánica hamiltoniana, pero la solución es similar.
Antes de continuar, es útil comprender las nociones de igualdad débil e igualdad fuerte . Dos funciones en el espacio de fase, f y g , son débilmente iguales si son iguales cuando se satisfacen las restricciones, pero no en todo el espacio de fase , denotado f ≈ g . Si f y g son iguales independientemente de que se satisfagan las restricciones, se les llama fuertemente iguales, escrito f = g . Es importante señalar que, para obtener la respuesta correcta, no se pueden usar ecuaciones débiles antes de evaluar derivadas o corchetes de Poisson .
El nuevo procedimiento funciona de la siguiente manera, comienza con un Lagrangiano y define los momentos canónicos de la forma habitual. Algunas de esas definiciones pueden no ser invertibles y, en cambio, dar una restricción en el espacio de fase (como se indicó anteriormente). Las restricciones derivadas de esta forma o impuestas desde el principio del problema se denominan restricciones primarias . Las restricciones, etiquetadas como φ j , deben desaparecer débilmente, φ j ( p, q ) ≈ 0 .
A continuación, se encuentra el ingenuo hamiltoniano , H , de la manera habitual a través de una transformación de Legendre, exactamente como en el ejemplo anterior. Tenga en cuenta que el hamiltoniano siempre se puede escribir en función de q sy p s únicamente, incluso si las velocidades no se pueden invertir en funciones de los momentos.
Generalizando el hamiltoniano
Dirac sostiene que deberíamos generalizar el hamiltoniano (algo análogo al método de los multiplicadores de Lagrange) para
donde c j no son constantes sino funciones de las coordenadas y momentos. Dado que este nuevo hamiltoniano es la función más general de coordenadas y momentos débilmente igual al hamiltoniano ingenuo, H * es la generalización más amplia posible del hamiltoniano de modo que δH * ≈ δH cuando δφ j ≈ 0 .
Para aclarar aún más el c j , considere cómo se obtienen las ecuaciones de movimiento del hamiltoniano ingenuo en el procedimiento estándar. Uno expande la variación del hamiltoniano de dos maneras y las iguala (usando una notación algo abreviada con índices y sumas suprimidos):
donde la segunda igualdad se mantiene después de simplificar con las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange y la definición de momento canónico. De esta igualdad, se deducen las ecuaciones de movimiento en el formalismo hamiltoniano de
donde el símbolo de igualdad débil ya no se muestra explícitamente, ya que, por definición, las ecuaciones de movimiento solo se mantienen débilmente. En el presente contexto, uno no puede simplemente establecer los coeficientes de ! Q y ? P por separado a cero, ya que las variaciones son algo limitadas por las restricciones. En particular, las variaciones deben ser tangentes a la superficie de restricción.
Uno puede demostrar la solución a
para las variaciones ! Q n y ? P n restringidos por las limitaciones Φ j ≈ 0 (suponiendo que las limitaciones satisfacen algunas condiciones de regularidad ) es generalmente [5]
donde las u m son funciones arbitrarias.
Usando este resultado, las ecuaciones de movimiento se vuelven
donde u k son funciones de coordenadas y velocidades que se pueden determinar, en principio, a partir de la segunda ecuación de movimiento anterior.
La transformada de Legendre entre el formalismo lagrangiano y el formalismo hamiltoniano se ha salvado a costa de agregar nuevas variables.
Condiciones de consistencia
Las ecuaciones de movimiento se vuelven más compactas cuando se usa el corchete de Poisson, ya que si f es alguna función de las coordenadas y los momentos, entonces
si se supone que existe el corchete de Poisson con u k (funciones de la velocidad); esto no causa problemas ya que la contribución se desvanece débilmente. Ahora bien, hay algunas condiciones de coherencia que deben cumplirse para que este formalismo tenga sentido. Si las restricciones se van a satisfacer, entonces sus ecuaciones de movimiento deben desaparecer débilmente, es decir, requerimos
Hay cuatro tipos diferentes de condiciones que pueden resultar de lo anterior:
- Una ecuación que es intrínsecamente falsa, como 1 = 0 .
- Una ecuación que es idénticamente verdadera, posiblemente después de usar una de nuestras restricciones principales.
- Una ecuación que impone nuevas restricciones a nuestras coordenadas y momentos, pero que es independiente de u k .
- Una ecuación que sirve para especificar la u k .
El primer caso indica que el lagrangiano inicial da ecuaciones de movimiento inconsistentes, como L = q . El segundo caso no aporta nada nuevo.
El tercer caso da nuevas restricciones en el espacio de fase. Una restricción derivada de esta manera se denomina restricción secundaria . Al encontrar la restricción secundaria, se debe agregar al hamiltoniano extendido y verificar las nuevas condiciones de consistencia, que pueden resultar en aún más restricciones. Repita este proceso hasta que no haya más restricciones. La distinción entre restricciones primarias y secundarias es en gran medida artificial (es decir, una restricción para el mismo sistema puede ser primaria o secundaria dependiendo del Lagrangiano), por lo que este artículo no distingue entre ellas a partir de ahora. Suponiendo que la condición de consistencia se ha iterado hasta que se hayan encontrado todas las restricciones, entonces φ j las indexará todas. Tenga en cuenta que este artículo utiliza restricción secundaria para referirse a cualquier restricción que no estaba inicialmente en el problema o que no se derivaba de la definición de momentos canónicos; algunos autores distinguen entre restricciones secundarias, restricciones terciarias, etcétera.
Finalmente, el último caso ayuda a solucionar el problema de u k . Si, al final de este proceso, los u k no están completamente determinados, entonces eso significa que hay grados de libertad no físicos (calibre) en el sistema. Una vez que se agregan todas las restricciones (primarias y secundarias) al hamiltoniano ingenuo y se conectan las soluciones a las condiciones de consistencia para u k , el resultado se denomina hamiltoniano total .
Determinación del u k
La u k debe resolver un conjunto de ecuaciones lineales no homogéneas de la forma
La ecuación anterior debe poseer al menos una solución, ya que de lo contrario el lagrangiano inicial es inconsistente; sin embargo, en sistemas con grados de libertad de calibre, la solución no será única. La solución más general es de la forma
donde U k es una solución particular y V k es la solución más general para la ecuación homogénea
La solución más general será una combinación lineal de soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea anterior. El número de soluciones linealmente independientes es igual al número de u k (que es el mismo que el número de restricciones) menos el número de condiciones de coherencia del cuarto tipo (en la subsección anterior). Este es el número de grados de libertad no físicos en el sistema. Al etiquetar las soluciones lineales independientes V k a donde el índice a va de 1 al número de grados de libertad no físicos, la solución general a las condiciones de consistencia es de la forma
donde los v a son funciones del tiempo completamente arbitrarias. Una elección diferente de v a corresponde a una transformación de calibre y debería dejar el estado físico del sistema sin cambios. [6]
El hamiltoniano total
En este punto, es natural introducir el total hamiltoniano
y lo que se denota
La evolución temporal de una función en el espacio de fase, f está gobernada por
Más tarde, se introduce el hamiltoniano extendido. Para cantidades invariantes de calibre (cantidades físicamente medibles), todos los hamiltonianos deberían dar la misma evolución en el tiempo, ya que todos son débilmente equivalentes. Es solo para cantidades no invariantes de calibre que la distinción se vuelve importante.
El soporte de Dirac
Arriba está todo lo necesario para encontrar las ecuaciones de movimiento en el procedimiento hamiltoniano modificado de Dirac. Sin embargo, tener las ecuaciones de movimiento no es el punto final de las consideraciones teóricas. Si uno quiere cuantificar canónicamente un sistema general, entonces necesita los corchetes de Dirac. Antes de definir los corchetes de Dirac, es necesario introducir restricciones de primera y segunda clase .
Llamamos a una función f (q, p) de coordenadas y momentos de primera clase si su corchete de Poisson con todas las restricciones se desvanece débilmente, es decir,
para todos j . Tenga en cuenta que las únicas cantidades que se desvanecen débilmente son las restricciones φ j y, por lo tanto, cualquier cosa que se desvanece débilmente debe ser fuertemente igual a una combinación lineal de las restricciones. Se puede demostrar que el paréntesis de Poisson de dos cantidades de primera clase también debe ser de primera clase. Las restricciones de primera clase están íntimamente relacionadas con los grados de libertad no físicos mencionados anteriormente. Es decir, el número de restricciones independientes de primera clase es igual al número de grados de libertad no físicos y, además, las restricciones primarias de primera clase generan transformaciones de calibre. Dirac postuló además que todas las restricciones secundarias de primera clase son generadoras de transformaciones de gauge, lo que resulta ser falso; sin embargo, normalmente se opera bajo el supuesto de que todas las restricciones de primera clase generan transformaciones de calibre cuando se usa este tratamiento. [7]
Cuando las restricciones secundarias de primera clase se agregan al hamiltoniano con un v a arbitrario a medida que se agregan las restricciones primarias de primera clase para llegar al hamiltoniano total, se obtiene el hamiltoniano extendido . El hamiltoniano extendido da la evolución temporal más general posible para cualquier cantidad dependiente del calibre y, de hecho, puede generalizar las ecuaciones de movimiento a partir de las del formalismo lagrangiano.
A los efectos de introducir el corchete de Dirac, las restricciones de segunda clase son de interés más inmediato . Las restricciones de segunda clase son restricciones que tienen un corchete de Poisson que no desaparece con al menos otra restricción.
Por ejemplo, considere las restricciones φ 1 y φ 2 cuyo paréntesis de Poisson es simplemente una constante, c ,
Ahora, suponga que uno desea emplear la cuantificación canónica, entonces las coordenadas del espacio de fase se convierten en operadores cuyos conmutadores se convierten en iħ veces su paréntesis de Poisson clásico. Suponiendo que no haya problemas de ordenación que den lugar a nuevas correcciones cuánticas, esto implica que
donde los sombreros enfatizan el hecho de que las restricciones están en los operadores.
Por un lado, la cuantificación canónica da la relación de conmutación anterior, pero por otro lado, φ 1 y φ 2 son restricciones que deben desaparecer en los estados físicos, mientras que el lado derecho no puede desaparecer. Este ejemplo ilustra la necesidad de alguna generalización del paréntesis de Poisson que respete las restricciones del sistema y que conduzca a un procedimiento de cuantificación coherente. Este nuevo corchete debe ser bilineal, antisimétrico, satisfacer la identidad de Jacobi al igual que el corchete de Poisson, reducirse al corchete de Poisson para sistemas no restringidos y, además, el corchete de cualquier restricción con cualquier otra cantidad debe desaparecer .
En este punto, las restricciones de la segunda clase se etiquetarán a . Definir una matriz con entradas
En este caso, el corchete de Dirac de dos funciones en el espacio de fase, f y g , se define como
donde M −1 ab denota la entrada ab de la matriz inversa de M. Dirac demostró que M siempre será invertible .
Es sencillo comprobar que la definición anterior del corchete de Dirac satisface todas las propiedades deseadas, y especialmente la última, de desaparecer para un argumento que es una restricción.
Cuando se aplica la cuantificación canónica en un sistema hamiltoniano restringido, el conmutador de los operadores se reemplaza por iħ veces su paréntesis de Dirac clásico . Dado que el corchete de Dirac respeta las restricciones, no es necesario tener cuidado al evaluar todos los corchetes antes de usar cualquier ecuación débil, como es el caso del corchete de Poisson.
Tenga en cuenta que mientras que el corchete de Poisson de variables bosónicas (incluso Grassmann) consigo mismo debe desaparecer, el corchete de Poisson de fermiones representado como variables de Grassmann consigo mismo no tiene por qué desaparecer. Esto significa que en el caso fermiónico es posible que haya un número impar de restricciones de segunda clase.
Ilustración del ejemplo proporcionado
Volviendo al ejemplo anterior, el hamiltoniano ingenuo y las dos restricciones principales son
Por lo tanto, el hamiltoniano extendido se puede escribir
El siguiente paso es aplicar las condiciones de consistencia { Φ j , H * } PB ≈ 0 , que en este caso se convierten en
Estas no son restricciones secundarias, sino condiciones que fijan u 1 y u 2 . Por lo tanto, no hay restricciones secundarias y los coeficientes arbitrarios están completamente determinados, lo que indica que no hay grados de libertad no físicos.
Si uno se conecta con los valores de u 1 y u 2 , entonces se puede ver que las ecuaciones de movimiento son
que son autoconsistentes y coinciden con las ecuaciones de movimiento de Lagrange.
Un cálculo simple confirma que φ 1 y φ 2 son restricciones de segunda clase ya que
por lo tanto, la matriz se ve como
que se invierte fácilmente a
donde ε ab es el símbolo de Levi-Civita . Por lo tanto, los corchetes de Dirac se definen como
Si siempre se usa el corchete de Dirac en lugar del corchete de Poisson, entonces no hay problema sobre el orden de aplicar restricciones y evaluar expresiones, ya que el corchete de Dirac de cualquier cosa débilmente cero es fuertemente igual a cero. Esto significa que, en su lugar, se puede usar el ingenuo hamiltoniano con corchetes de Dirac para obtener las ecuaciones de movimiento correctas, que se pueden confirmar fácilmente con las anteriores.
Para cuantificar el sistema, se necesitan los corchetes de Dirac entre todas las variables de espacio de fase. Los brackets de Dirac que no desaparecen para este sistema son
mientras los términos cruzados se desvanecen, y
Por tanto, la correcta implementación de la cuantificación canónica dicta las relaciones de conmutación,
con los términos cruzados desapareciendo, y
Este ejemplo tiene un conmutador que no desaparece entre y , lo que significa que esta estructura especifica una geometría no conmutativa . (Puesto que las dos coordenadas no conmutan, habrá un principio de incertidumbre para la x y Y posiciones.)
Ilustración adicional para una hiperesfera
De manera similar, para el movimiento libre en una hiperesfera S n , las coordenadas n + 1 están restringidas, x i x i = 1 . De un Lagrangiano cinético simple, es evidente que sus momentos son perpendiculares a ellos, x i p i = 0 . Por tanto, los corchetes de Dirac correspondientes son igualmente sencillos de elaborar, [8]
Las ( 2 n + 1) variables de espacio de fase restringidas ( x i , p i ) obedecen a corchetes de Dirac mucho más simples que las 2 n variables no restringidas, si se eliminó una de las x sy una de las p s a través de las dos restricciones ab initio, que obedecería a los paréntesis simples de Poisson. Los corchetes de Dirac añaden simplicidad y elegancia, a costa de variables de espacio de fase excesivas (restringidas).
Por ejemplo, para el movimiento libre en un círculo, n = 1 , para x 1 ≡ zy eliminando x 2 de la restricción del círculo se obtiene la no restringida
con ecuaciones de movimiento
una oscilación; mientras que el sistema restringido equivalente con H = p 2 /2 = E rendimientos
de donde, instantáneamente, virtualmente por inspección, oscilación para ambas variables,
Ver también
Referencias
- ^ Dirac, PAM (1950). "Dinámica hamiltoniana generalizada". Revista Canadiense de Matemáticas . 2 : 129–014. doi : 10.4153 / CJM-1950-012-1 .
- ^ Dirac, Paul AM (1964). Conferencias sobre mecánica cuántica . Serie de monografías de Belfer Graduate School of Science. 2 . Belfer Graduate School of Science, Nueva York. ISBN 9780486417134. Señor 2220894 .; Dover, ISBN 0486417131 .
- ^ Consulte las páginas 48-58 del Cap. 2 en Henneaux, Marc y Teitelboim, Claudio, Quantization of Gauge Systems . Prensa de la Universidad de Princeton, 1992. ISBN 0-691-08775-X
- ^ Dunne, G .; Jackiw, R .; Pi, SY; Trugenberger, C. (1991). "Solitones auto-duales de Chern-Simons y ecuaciones no lineales bidimensionales". Physical Review D . 43 (4): 1332. Bibcode : 1991PhRvD..43.1332D . doi : 10.1103 / PhysRevD.43.1332 .
- ^ Ver página 8 en Henneaux y Teitelboim en las referencias.
- ^ Weinberg, Steven, La teoría cuántica de los campos , volumen 1. Cambridge University Press, 1995. ISBN 0-521-55001-7
- ^ Ver Henneaux y Teitelboim, páginas 18-19.
- ^ Corrigan, E .; Zachos, CK (1979). "Cargos no locales para el modelo σ supersimétrico". Physics Letters B . 88 (3–4): 273. Bibcode : 1979PhLB ... 88..273C . doi : 10.1016 / 0370-2693 (79) 90465-9 .