Una restricción de primera clase es una cantidad dinámica en un sistema hamiltoniano restringido cuyo corchete de Poisson con todas las demás restricciones desaparece en la superficie de restricción en el espacio de fase (la superficie definida implícitamente por la desaparición simultánea de todas las restricciones). Para calcular la restricción de primera clase, se supone que no hay restricciones de segunda clase , o que se han calculado previamente y se han generado sus corchetes de Dirac . [1]
Dirac introdujo restricciones de primera y segunda clase ( 1950 , p.136, 1964 , p.17) como una forma de cuantificar sistemas mecánicos como las teorías de gauge donde la forma simpléctica es degenerada. [2] [3]
La terminología de las restricciones de primera y segunda clase es confusamente similar a la de las restricciones primarias y secundarias , lo que refleja la forma en que se generan. Estas divisiones son independientes: las restricciones de primera y segunda clase pueden ser primarias o secundarias, por lo que esto da en total cuatro clases diferentes de restricciones.
Soportes de Poisson
Considere una variedad de Poisson M con un hamiltoniano suave sobre ella (para las teorías de campo, M sería de dimensión infinita).
Supongamos que tenemos algunas restricciones
para n funciones suaves
Estos solo se definirán en forma de gráfico en general. Suponga que en todas partes del conjunto restringido, las n derivadas de las n funciones son todas linealmente independientes y también que los corchetes de Poisson
y
todo se desvanece en el subespacio restringido.
Esto significa que podemos escribir
para algunas funciones suaves −− hay un teorema que muestra esto; y
para algunas funciones suaves .
Esto se puede hacer globalmente, usando una partición de unidad . Entonces, decimos que tenemos una restricción de primera clase irreductible ( irreducible aquí es en un sentido diferente al que se usa en la teoría de la representación ).
Teoría geométrica
Para una forma más elegante, suponga que dado un paquete de vectores sobre, con dimensional de fibra . Equipe este paquete de vectores con una conexión . Supongamos también que tenemos una sección suave f de este paquete.
Entonces la derivada covariante de f con respecto a la conexión es un mapa lineal suave del paquete tangente a , que conserva el punto base . Suponga que este mapa lineal es invertible a la derecha (es decir, existe un mapa lineal tal que es el mapa de identidad ) para todas las fibras en los ceros de f . Entonces, de acuerdo con el teorema de la función implícita , el subespacio de ceros de f es una subvariedad .
El paréntesis de Poisson ordinario solo se define sobre, El espacio de funciones suaves más de M . Sin embargo, usando la conexión, podemos extenderla al espacio de secciones suaves de f si trabajamos con el paquete de álgebra con el álgebra graduada de V- tensores como fibras.
Suponga también que bajo este paréntesis de Poisson, (tenga en cuenta que no es cierto que en general para este "soporte de Poisson extendido" ya) y en la subvariedad de ceros de f (si estos corchetes también resultan ser cero en todas partes, entonces decimos que las restricciones cierran el caparazón ). Resulta que la condición de invertibilidad correcta y la conmutatividad de las condiciones de flujo son independientes de la elección de la conexión. Por lo tanto, podemos eliminar la conexión siempre que estemos trabajando únicamente con el subespacio restringido.
Significado intuitivo
¿Qué significa todo esto intuitivamente? Significa que los flujos hamiltoniano y de restricción se conmutan entre sí en el subespacio restringido; o alternativamente, que si comenzamos en un punto en el subespacio restringido, entonces los flujos hamiltonianos y de restricción llevan el punto a otro punto en el subespacio restringido.
Dado que deseamos restringirnos al subespacio restringido únicamente, esto sugiere que el hamiltoniano, o cualquier otro observable físico , solo debería definirse en ese subespacio. De manera equivalente, podemos mirar la clase de equivalencia de funciones suaves sobre la variedad simpléctica, que concuerdan en el subespacio restringido (el cociente álgebra por el ideal generado por las f , en otras palabras).
El problema es que los flujos hamiltonianos en el subespacio restringido dependen del gradiente del hamiltoniano allí, no de su valor. Pero hay una forma fácil de salir de esto.
Observe las órbitas del subespacio restringido bajo la acción de los flujos simplécticos generados por las f . Esto da una foliación local del subespacio porque satisface las condiciones de integrabilidad ( teorema de Frobenius ). Resulta que si comenzamos con dos puntos diferentes en una misma órbita en el subespacio restringido y evolucionamos ambos bajo dos hamiltonianos diferentes, respectivamente, que coinciden en el subespacio restringido, entonces la evolución temporal de ambos puntos bajo sus respectivos flujos hamiltonianos será siempre se encuentran en la misma órbita en momentos iguales. También resulta que si tenemos dos funciones suaves A 1 y B 1 , que son constantes en órbitas al menos en el subespacio restringido (es decir, observables físicos) (es decir, {A 1 , f} = {B 1 , f} = 0 en el subespacio restringido) y otros dos A 2 y B 2 , que también son constantes sobre órbitas de modo que A 1 y B 1 concuerdan con A 2 y B 2 respectivamente sobre el subespacio restringido, entonces sus paréntesis de Poisson {A 1 , B 1 } y {A 2 , B 2 } también son constantes en las órbitas y coinciden en el subespacio restringido.
En general, no se pueden descartar los flujos " ergódicos " (lo que básicamente significa que una órbita es densa en algún conjunto abierto) o los flujos "subergódicos" (que una órbita densa en alguna subvariedad de dimensión mayor que la dimensión de la órbita). No podemos tener órbitas que se crucen por sí mismas .
Para la mayoría de las aplicaciones "prácticas" de restricciones de primera clase, no vemos tales complicaciones: el espacio cociente del subespacio restringido por los flujos f (en otras palabras, el espacio orbital) se comporta lo suficientemente bien como para actuar como una variedad diferenciable , que puede convertirse en una variedad simpléctica proyectando la forma simpléctica de M sobre ella (se puede demostrar que está bien definida ). A la luz de la observación sobre los observables físicos mencionada anteriormente, podemos trabajar con esta variedad simpléctica más "física" más pequeña, pero con 2n dimensiones menos.
En general, es un poco difícil trabajar con el espacio del cociente cuando se hacen cálculos concretos (sin mencionar los no locales cuando se trabaja con restricciones de difeomorfismo ), por lo que lo que se suele hacer en su lugar es algo similar. Tenga en cuenta que el sub- múltiple restringido es un paquete (pero no un paquete de fibras en general) sobre el múltiple cociente. Entonces, en lugar de trabajar con la variedad del cociente, podemos trabajar con una sección del paquete. A esto se le llama fijación de calibre .
El principal problema es que este paquete podría no tener una sección global en general. Aquí es donde entra el "problema" de las anomalías globales , por ejemplo. Una anomalía global es diferente de la ambigüedad de Gribov , que es cuando la fijación de un indicador no funciona para arreglar un indicador de forma única, en una anomalía global, no existe una definición coherente del campo del indicador. Una anomalía global es una barrera para definir una teoría del calibre cuántico descubierta por Witten en 1980.
Lo que se ha descrito son restricciones irreductibles de primera clase. Otra complicación es que Δf podría no ser invertible a la derecha en subespacios de la subvariedad restringida de codimensión 1 o mayor (lo que viola la suposición más fuerte establecida anteriormente en este artículo). Esto sucede, por ejemplo, en la formulación cotetrada de la relatividad general , en el subespacio de configuraciones donde el campo cotetrado y la forma de conexión resultan ser cero en algún subconjunto abierto del espacio. Aquí, las restricciones son las restricciones de difeomorfismo.
Una forma de evitar esto es la siguiente: para restricciones reducibles, relajamos la condición de la invertibilidad correcta de Δ f en esta: cualquier función suave que se desvanece en los ceros de f es la contracción de f con (un no único ) sección lisa de un-paquete de vectores donde es el espacio dual vector al espacio restricción vector V . A esto se le llama condición de regularidad .
Dinámica hamiltoniana restringida a partir de una teoría gauge de Lagrange
En primer lugar, asumiremos que la acción es la integral de un lagrangiano local que solo depende hasta la primera derivada de los campos. El análisis de casos más generales, si bien es posible, es más complicado. Al pasar al formalismo hamiltoniano, encontramos que existen limitaciones. Recordemos que en el formalismo acción, hay en shell y fuera de la cáscara configuraciones. Las restricciones que retienen el caparazón se denominan restricciones primarias, mientras que las que solo se mantienen en el caparazón se llaman restricciones secundarias.
Ejemplos de
Considere la dinámica de una partícula puntual de masa m sin grados internos de libertad que se mueve en una variedad de espacio - tiempo pseudo-Riemanniana S con métrica g . Suponga también que el parámetro τ que describe la trayectoria de la partícula es arbitrario (es decir, insistimos en la invariancia de reparametrización ). Entonces, su espacio simpléctico es el paquete cotangente T * S con la forma simpléctica canónica ω .
Si coordinamos T * S por su posición x en la variedad de base S y su posición dentro del espacio cotangente p , entonces tenemos una restricción
- f = m 2 - g ( x ) −1 ( p , p ) = 0.
El hamiltoniano H es, sorprendentemente, H = 0. A la luz de la observación de que el hamiltoniano solo se define hasta la clase de equivalencia de funciones suaves que coinciden en el subespacio restringido, podemos utilizar un nuevo hamiltoniano H '= f en su lugar. Entonces, tenemos el caso interesante donde el hamiltoniano es lo mismo que una restricción. Consulte la restricción hamiltoniana para obtener más detalles.
Considere ahora el caso de una teoría de Yang-Mills para un álgebra de Lie real simple L (con una forma de Killing definida negativa η ) mínimamente acoplada a un campo escalar real σ , que se transforma como una representación ortogonal ρ con el espacio vectorial subyacente V bajo L en ( d - 1) + 1 espacio-tiempo de Minkowski . Para l en L , escribimos
- ρ (l) [σ]
como
- l [σ]
por simplicidad. Sea A la forma de conexión valorada en L de la teoría. Tenga en cuenta que la A aquí difiere de la Una utilizado por los físicos en un factor de i y g . Esto concuerda con la convención del matemático.
La acción S está dada por
donde g es la métrica de Minkowski, F es la forma de curvatura
(¡no i s o g s!) donde el segundo término es una abreviatura formal para pretender que el corchete de Lie es un conmutador, D es la derivada covariante
- Dσ = dσ - A [σ]
y α es la forma ortogonal de ρ .
¿Cuál es la versión hamiltoniana de este modelo? Bueno, primero, tenemos que dividir A de forma no covariable en un componente de tiempo φ y una parte espacial A → . Entonces, el espacio simpléctico resultante tiene las variables conjugadas σ , π σ (tomando valores en el espacio vectorial subyacente de, la repetición dual de ρ ), A → , π → A , φ y π φ . Para cada punto espacial, tenemos las restricciones, π φ = 0 y la restricción gaussiana
donde ya que ρ es un entrelazado
- ,
ρ 'es el entrelazador dualizado
( L es auto-dual a través de η ). El hamiltoniano,
Los dos últimos términos son una combinación lineal de las restricciones gaussianas y tenemos una familia completa de hamiltonianos (equivalente de calibre) parametrizados por f . De hecho, dado que los últimos tres términos desaparecen para los estados restringidos, podemos descartarlos.
Limitaciones de segunda clase
En un sistema hamiltoniano restringido, una cantidad dinámica es de segunda clase si su soporte de Poisson con al menos una restricción no se desvanece. Una restricción que tiene un corchete de Poisson distinto de cero con al menos otra restricción, entonces, es una restricción de segunda clase .
Consulte los corchetes de Dirac para ver diversas ilustraciones.
Un ejemplo: una partícula confinada a una esfera.
Antes de pasar a la teoría general, considere un ejemplo específico paso a paso para motivar el análisis general.
Comience con la acción que describe una partícula newtoniana de masa m restringida a una superficie esférica de radio R dentro de un campo gravitacional uniforme g . Cuando se trabaja en la mecánica de Lagrange, hay varias formas de implementar una restricción: se puede cambiar a coordenadas generalizadas que resuelvan manifiestamente la restricción, o se puede usar un multiplicador de Lagrange mientras se retienen las coordenadas redundantes así restringidas.
En este caso, la partícula está restringida a una esfera, por lo tanto, la solución natural sería usar coordenadas angulares para describir la posición de la partícula en lugar de cartesianas y resolver (eliminar automáticamente) la restricción de esa manera (la primera opción). Por razones pedagógicas, en cambio, considere el problema en coordenadas cartesianas (redundantes), con un término multiplicador de Lagrange imponiendo la restricción.
La acción está dada por
donde el último término es el término multiplicador de Lagrange que aplica la restricción.
Por supuesto, como se indicó, podríamos haber usado coordenadas esféricas diferentes, no redundantes, y haberlo escrito como
en cambio, sin restricciones adicionales; pero estamos considerando la coordinación anterior para ilustrar las limitaciones.
Los momentos conjugados están dados por
- , , , .
Tenga en cuenta que no podemos determinar de los momentos.
El hamiltoniano está dado por
- .
No podemos eliminar en esta etapa todavía. Aquí estamos tratandocomo una abreviatura de una función del espacio simpléctico que aún tenemos que determinar y no como una variable independiente. Para consistencia de notación, defina u 1 = de ahora en adelante. El hamiltoniano anterior con el término p λ es el "hamiltoniano ingenuo". Tenga en cuenta que dado que, en el caparazón, la restricción debe satisfacerse, no se puede distinguir, en el caparazón, entre el hamiltoniano ingenuo y el hamiltoniano anterior con el coeficiente indeterminado, = u 1 .
Tenemos la restricción principal
- p λ = 0 .
Requerimos, por razones de coherencia, que el corchete de Poisson de todas las restricciones con el hamiltoniano desaparezca en el subespacio restringido. En otras palabras, las restricciones no deben evolucionar en el tiempo si van a ser idénticamente cero a lo largo de las ecuaciones de movimiento.
De esta condición de consistencia, obtenemos inmediatamente la restricción secundaria
Esta restricción debe agregarse al hamiltoniano con un coeficiente u 2 indeterminado (no necesariamente constante) , ampliando el hamiltoniano a
De manera similar, a partir de esta restricción secundaria, encontramos la restricción terciaria
Nuevamente, se debe agregar esta restricción al hamiltoniano, ya que, en el caparazón, nadie puede notar la diferencia. Por lo tanto, hasta ahora, el hamiltoniano parece
donde u 1 , u 2 y u 3 todavía están completamente indeterminados.
Tenga en cuenta que, con frecuencia, todas las restricciones que se encuentran a partir de las condiciones de coherencia se denominan restricciones secundarias y las restricciones secundarias, terciarias, cuaternarias, etc., no se distinguen.
Seguimos girando la manivela, exigiendo que esta nueva restricción tenga un soporte de Poisson desaparecido
Podríamos desesperarnos y pensar que esto no tiene fin, pero debido a que ha aparecido uno de los nuevos multiplicadores de Lagrange, esta no es una nueva restricción, sino una condición que corrige el multiplicador de Lagrange:
Conectar esto a nuestro hamiltoniano nos da (después de un poco de álgebra)
Ahora que hay nuevos términos en el hamiltoniano, se debe volver atrás y verificar las condiciones de consistencia para las restricciones primarias y secundarias. La condición de consistencia de la restricción secundaria da
Una vez más, esta no es una restricción nueva; solo determina que
En este punto, no hay más restricciones o condiciones de consistencia que verificar .
Poniendolo todo junto,
- .
Al encontrar las ecuaciones de movimiento, se debe usar el hamiltoniano anterior, y siempre que se tenga cuidado de nunca usar restricciones antes de tomar derivadas en el corchete de Poisson, se obtienen las ecuaciones de movimiento correctas. Es decir, las ecuaciones de movimiento están dadas por
Antes de analizar el hamiltoniano, considere las tres restricciones,
Tenga en cuenta la estructura de corchetes de Poisson no trivial de las restricciones. En particular,
El corchete de Poisson anterior no solo no desaparece fuera del caparazón, lo que podría anticiparse, sino que incluso dentro del caparazón es distinto de cero . Por lo tanto, φ 2 y φ 3 son restricciones de segunda clase mientras que φ 1 es una restricción de primera clase. Tenga en cuenta que estas restricciones satisfacen la condición de regularidad.
Aquí, tenemos un espacio simpléctico donde el corchete de Poisson no tiene "propiedades agradables" en el subespacio restringido. Sin embargo, Dirac notó que podemos convertir la variedad diferencial subyacente del espacio simpléctico en una variedad de Poisson usando su paréntesis epónimo modificado, llamado paréntesis de Dirac , de modo que este paréntesis de Dirac de cualquier función (suave) con cualquiera de las restricciones de segunda clase siempre desaparece .
Efectivamente, estos soportes (ilustrados para esta superficie esférica en el artículo de soporte de Dirac ) proyectan el sistema de nuevo sobre la superficie de restricciones. Si luego se deseaba cuantificar canónicamente este sistema, entonces se necesita promover los corchetes canónicos de Dirac, [4] no los corchetes canónicos de Poisson a las relaciones de conmutación.
El examen del hamiltoniano anterior muestra una serie de cosas interesantes que están sucediendo. Una cosa a tener en cuenta es que, en el caparazón cuando se satisfacen las restricciones, el hamiltoniano extendido es idéntico al hamiltoniano ingenuo, según sea necesario. Además, tenga en cuenta que λ abandonó el hamiltoniano extendido. Dado que φ 1 es una restricción primaria de primera clase, debe interpretarse como un generador de una transformación de calibre. La libertad de calibre es la libertad de elegir λ , que ha dejado de tener efecto sobre la dinámica de la partícula. Por lo tanto, que λ se eliminó del hamiltoniano, que u 1 es indeterminado y que φ 1 = p λ es de primera clase, están todos estrechamente relacionados entre sí.
Tenga en cuenta que sería más natural no comenzar con un lagrangiano con un multiplicador de Lagrange, sino tomar r ² - R ² como restricción primaria y continuar con el formalismo: el resultado sería la eliminación de la cantidad dinámica λ extraña . Sin embargo, el ejemplo es más edificante en su forma actual.
Ejemplo: acción Proca
Otro ejemplo que usaremos es la acción Proca . Los campos son y la acción es
dónde
y
- .
y son variables canónicas . Las limitaciones de la segunda clase son
y
- .
El hamiltoniano está dado por
- .
Ver también
- Soporte de Dirac
- Restricción holonómica
- Análisis de flujos
Referencias
- ^ Ingemar Bengtsson, Universidad de Estocolmo. "Sistemas hamiltonianos restringidos" (PDF) . Universidad de Estocolmo . Consultado el 29 de mayo de 2018 .
Partimos de una L (q, ̇ q) lagrangiana, derivamos los momentos canónicos, postulamos los paréntesis de Poisso n ingenuos y calculamos el hamiltoniano. Para simplificar, se supone que no se producen restricciones de segunda clase o, si lo hacen, que ya se han abordado y que los corchetes ingenuos se han reemplazado por corchetes de Dirac. Sigue habiendo un conjunto de limitaciones [...]
- ^ Dirac, Paul AM (1950), "Dinámica hamiltoniana generalizada", Canadian Journal of Mathematics , 2 : 129-148, doi : 10.4153 / CJM-1950-012-1 , ISSN 0008-414X , MR 0043724
- ^ Dirac, Paul AM (1964), Conferencias sobre mecánica cuántica , Serie de monografías de la Belfer Graduate School of Science, 2 , Belfer Graduate School of Science, Nueva York, MR 2220894. Reimpresión íntegra del original, Dover Publications, Nueva York, NY, 2001.
- ^ Corrigan, E .; Zachos, CK (1979). "Cargos no locales para el modelo σ supersimétrico". Physics Letters B . 88 (3–4): 273. Bibcode : 1979PhLB ... 88..273C . doi : 10.1016 / 0370-2693 (79) 90465-9 .
Otras lecturas
- Falck, NK; Hirshfeld, AC (1983). "Cuantización de corchetes de Dirac de un sistema no lineal constreñido: el rotador rígido". Revista europea de física . 4 : 5. Código Bibliográfico : 1983EJPh .... 4 .... 5F . doi : 10.1088 / 0143-0807 / 4/1/003 .
- Homma, T .; Inamoto, T .; Miyazaki, T. (1990). "Ecuación de Schrödinger para la partícula no relativista restringida a una hipersuperficie en un espacio curvo". Physical Review D . 42 (6): 2049. Código Bibliográfico : 1990PhRvD..42.2049H . doi : 10.1103 / PhysRevD.42.2049 .