Producto directo de grupos

Nociones basicas

En matemáticas , específicamente en la teoría de grupos , el producto directo es una operación que lleva dos grupos $G$ y $H$ y construye un nuevo grupo, generalmente denotado $G \times H$ . Esta operación es el análogo de la teoría de grupos del producto cartesiano de conjuntos y es una de varias nociones importantes de producto directo en matemáticas.

En el contexto de los grupos abelianos , el producto directo a veces se denomina suma directa y se denota . Las sumas directas juegan un papel importante en la clasificación de los grupos abelianos: de acuerdo con el teorema fundamental de los grupos abelianos finitos , cada grupo abeliano finito puede expresarse como la suma directa de grupos cíclicos . $G\oplus H$

Definición

Dados los grupos $G$ (con operación $*$ ) y $H$ (con operación $∆$ ), el producto directo $G \times H$ se define de la siguiente manera:

El conjunto subyacente es el producto cartesiano, $G \times H$ . Es decir, los pares ordenados $(g, h)$ , donde $g \in G$ y $h \in H$ .
La operación binaria en $G \times H$ se define por componentes:
$(g 1, h 1) \cdot (g 2, h 2) = (g 1 * g 2, h 1 ∆ h 2)$

El objeto algebraico resultante satisface los axiomas de un grupo. Específicamente:

Asociatividad: La operación binaria en $G \times H$ es asociativa .
Identidad: El producto directo tiene un elemento de identidad , a saber $(1 G, 1 H)$ , donde $1 G$ es el elemento identidad de $G$ y $1 H$ es el elemento identidad de $H$ .
Inversos: La inversa de un elemento $(g, h)$ de $G \times H$ es el par $(g -1, h -1)$ , donde $g -1$ es la inversa de $g$ en $G$ y $h -1$ es la inversa de $h$ en $H$ .

Ejemplos de

Sea $R$ el grupo de números reales bajo adición . Entonces, el producto directo $R \times R$ es el grupo de todos los vectores de dos componentes $(x, y)$ bajo la operación de suma vectorial :

(x 1, y 1) + (x 2, y 2) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2)

.

Sea $R +$ el grupo de números reales positivos bajo multiplicación. Entonces, el producto directo $R + \times R +$ es el grupo de todos los vectores en el primer cuadrante bajo la operación de multiplicación por componentes

(x 1, y 1) \times (x 2, y 2) = (x 1 \times x 2, y 1 \times y 2)

.

Deje $G$ y $H$ sean grupos cíclicos con dos elementos cada uno:

$G$
* 1 a
1 1 a
a a 1
$H$
* 1 B
1 1 B
B B 1

Entonces, el producto directo $G \times H$ es isomorfo al cuatro grupos de Klein :

$G\times H$
*	(1,1)	(a, 1)	(1, b)	(a, b)
(1,1)	(1,1)	(a, 1)	(1, b)	(a, b)
(a, 1)	(a, 1)	(1,1)	(a, b)	(1, b)
(1, b)	(1, b)	(a, b)	(1,1)	(a, 1)
(a, b)	(a, b)	(1, b)	(a, 1)	(1,1)

Propiedades elementales

El producto directo es conmutativo y asociativo hasta isomorfismo. Es decir, $G \times H ≅ H \times G$ y $(G \times H) x K ≅ G \times (H \times K)$ para ningún grupo $G$ , $H$ , y $K$ .
El orden de un producto directo $G \times H$ es el producto de los órdenes de $G$ y $H$ :
$| G \times H | = | G | | H |$ .
Esto se sigue de la fórmula para la cardinalidad del producto cartesiano de conjuntos.
El orden de cada elemento $(g, h)$ es el mínimo común múltiplo de los órdenes de $g$ y $h$ : ^[1]
$| (g, h) | = mcm (| g |, | h |)$ .
En particular, si $| g |$ y $| h |$ son relativamente primos , entonces el orden de $(g, h)$ es el producto de las órdenes de $g$ y $h$ .
Como consecuencia, si $G$ y $H$ son grupos cíclicos cuyos órdenes son relativamente primos, entonces $G \times H también$ es cíclico. Es decir, si $m$ y $n$ son primos entre sí, a continuación,
$(Z / m Z) x (Z / n Z) ≅ Z / mn Z$ .
Este hecho está estrechamente relacionado con el teorema del resto chino .

Estructura algebraica

Sean $G$ y $H$ grupos, sea $P = G \times H$ y considere los siguientes dos subconjuntos de $P$ :

G' = {(g, 1): g \in G}

y

H' = {(1, h): h \in H}

.

Ambos son de hecho subgrupos de $P$ , el primer ser isomorfo a $G$ , y el segundo es isomorfo a $H$ . Si identificamos estos con $G$ y $H$ , respectivamente, entonces podemos pensar que el producto directo $P$ contiene los grupos originales $G$ y $H$ como subgrupos.

Estos subgrupos de $P$ tienen las siguientes tres propiedades importantes: (Repitiendo que identificamos $G'$ y $H'$ con $G$ y $H$ , respectivamente).

La intersección $G \cap H$ es trivial .
Cada elemento de $P$ se puede expresar de forma única como el producto de un elemento de $G$ y un elemento de $H$ .
Cada elemento de $G$ conmuta con cada elemento de $H$ .

En conjunto, estas tres propiedades determinan completamente la estructura algebraica del producto directo $P$ . Es decir, si $P$ es cualquier grupo que tiene subgrupos $G$ y $H$ que satisfacen las propiedades arriba, entonces $P$ es necesariamente isomorfo al producto directo de $G$ y $H$ . En esta situación, $P$ se refiere a veces como el producto directo interno de sus subgrupos $G$ y $H$ .

En algunos contextos, la tercera propiedad anterior se reemplaza por lo siguiente:

3 ′. Tanto

G

y

H

son normales en

P

.

Esta propiedad es equivalente a la propiedad 3, ya que los elementos de dos subgrupos normales con intersección trivial necesariamente conmutan, un hecho que puede deducirse considerando el conmutador $[g, h]$ de cualquier $g$ en $G$ , $h$ en $H$ .

Ejemplos de

Sea $V$ el grupo de cuatro de Klein :
$V$
∙ $1$ $a$ $B$ $C$
$1$ $1$ $a$ $B$ $C$
$a$ $a$ $1$ $C$ $B$
$B$ $B$ $C$ $1$ $a$
$C$ $C$ $B$ $a$ $1$
Entonces $V$ es el producto directo interno de los subgrupos de dos elementos {1, a } y {1, b }.
Dejado ser un grupo cíclico de orden mn , donde m y n son primos entre sí. Entonces y son subgrupos cíclicos de órdenes m y n , respectivamente, y es el producto directo interno de estos subgrupos. $\langle a\rangle$ $\langle a^{n}\rangle$ $\langle a^{m}\rangle$ $\langle a\rangle$
Sea $C \times$ el grupo de números complejos distintos de cero bajo multiplicación . Entonces $C \times$ es el producto directo interno del grupo circular $T$ de números complejos unitarios y el grupo $R +$ de números reales positivos bajo multiplicación.
Si n es impar, entonces el grupo lineal general $GL (n, R)$ es el producto directo interno del grupo lineal especial $SL (n, R)$ y el subgrupo que consta de todas las matrices escalares .
De manera similar, cuando n es impar, el grupo ortogonal $O (n, R)$ es el producto directo interno del grupo ortogonal especial $SO (n, R)$ y el subgrupo de dos elementos ${- I, I},$ donde $I$ denota la matriz identidad .
El grupo de simetría de un cubo es el producto directo interno del subgrupo de rotaciones y el grupo de dos elementos ${- I, I},$ donde $I$ es el elemento de identidad y $- I$ es el punto de reflexión a través del centro del cubo. Un hecho similar es válido para el grupo de simetría de un icosaedro .
Sea n impar y sea D _{4 n} el grupo diedro de orden 4 n :
$D_{4n}=\langle r,s\mid r^{2n}=s^{2}=1,sr=r^{-1}s\rangle .$
Entonces D _{4 n} es el producto directo interno del subgrupo (que es isomorfo a D ₂_n ) y el subgrupo de dos elementos {1, r ⁿ }. $\langle r^{2},s\rangle$

Presentaciones

La estructura algebraica de $G \times H$ se puede usar para dar una presentación para el producto directo en términos de las presentaciones de $G$ y $H$ . Específicamente, suponga que

G=\langle S_{G}\mid R_{G}\rangle \ \

y

\ \ H=\langle S_{H}\mid R_{H}\rangle ,

donde y son (disjuntos) conjuntos generadores y y son relaciones definitorias. Luego $S_{G}$ $S_{H}$ $R_{G}$ $R_{H}$

G\times H=\langle S_{G}\cup S_{H}\mid R_{G}\cup R_{H}\cup R_{P}\rangle

donde es un conjunto de relaciones que especifican que cada elemento de conmuta con cada elemento de . $R_{P}$ $S_{G}$ $S_{H}$

Por ejemplo si

G=\langle a\mid a^{3}=1\rangle \ \

y

\ \ H=\langle b\mid b^{5}=1\rangle

luego

G\times H=\langle a,b\mid a^{3}=1,b^{5}=1,ab=ba\rangle .

Estructura normal

Según lo mencionado anteriormente, los subgrupos $G$ y $H$ son normales en $G \times H$ . Específicamente, defina las funciones $π G : G \times H \to G$ y $π H : G \times H \to H$ por

π G (g, h) = g

y

π H (g, h) = h

.

Entonces $π G$ y $π H$ son homomorfismos , conocidos como homomorfismos de proyección , cuyos núcleos son $H$ y $G$ , respectivamente.

De ello se deduce que $G \times H$ es una extensión de $G$ por $H$ (o viceversa). En el caso en que $G \times H$ es un grupo finito , se deduce que los factores de composición de $G \times H$ son, precisamente, la unión de los factores de composición de $G$ y los factores de composición de $H$ .

Otras propiedades

Propiedad universal

El producto directo $G \times H$ se puede caracterizar por la siguiente propiedad universal . Sean $π G : G \times H \to G$ y $π H : G \times H \to H$ los homomorfismos de proyección. Entonces, para cualquier grupo $P$ y cualquier homomorfismo $ƒ G : P \to G$ y $ƒ H : P \to H$ , existe un homomorfismo único $ƒ: P \to G \times H$ haciendo el siguiente diagrama de conmutación :

Específicamente, el homomorfismo $ƒ$ viene dado por la fórmula

ƒ (p) = (ƒ G (p), ƒ H (p))

.

Este es un caso especial de propiedad universal para productos en la teoría de categorías .

Subgrupos

Si $A$ es un subgrupo de $G$ y $B$ es un subgrupo de $H$ , a continuación, el producto directo $A \times B$ es un subgrupo de $G \times H$ . Por ejemplo, la copia isomorfo de $G$ en $G \times H$ es el producto $G \times {1}$ , donde ${1}$ es el trivial subgrupo de $H$ .

Si $A$ y $B$ son normales, entonces $A \times B$ es un subgrupo normal de $G \times H$ . Además, el cociente de los productos directos es isomorfo al producto directo de los cocientes:

(G \times H) / (A \times B) ≅ (G / A) \times (H / B)

.

Tenga en cuenta que no es cierto en general que cada subgrupo de $G \times H$ es el producto de un subgrupo de $G$ con un subgrupo de $H$ . Por ejemplo, si $G$ es un grupo no trivial, entonces el producto $G \times G$ tiene un subgrupo diagonal

Δ = {(g, g): g \in G}

que no es el producto directo de dos subgrupos de $G$ .

Los subgrupos de productos directos se describen mediante el lema de Goursat . Otros subgrupos incluyen productos de fibra de $G$ y $H$ .

Conjugado y centralizadores

Dos elementos $(g 1, h 1)$ y $(g 2, h 2)$ son conjugado en $G \times H$ si y sólo si $g 1$ y $g 2$ son conjugado en $G$ y $h 1$ y $h 2$ son conjugado en $H$ . De ello se deduce que cada clase de conjugación en $G \times H$ es simplemente el producto cartesiano de una clase de conjugación en $G$ y una clase de conjugación en $H$ .

En la misma línea, si $(g, h) \in G \times H$ , el centralizador de $(g, h)$ es simplemente el producto de los centralizadores de $g$ y $h$ :

C G \times H (g, h)

=

C G (g) \times C H (h)

.

De manera similar, el centro de $G \times H$ es el producto de los centros de $G$ y $H$ :

Z (G \times H)

=

Z (G) \times Z (H)

.

Los normalizadores se comportan de una manera más compleja ya que no todos los subgrupos de productos directos se descomponen como productos directos.

Automorfismos y endomorfismos

Si $α$ es un automorfismo de $G$ y $β$ es un automorfismo de $H$ , entonces la función producto $α \times β : G \times H \to G \times H$ definida por

(α \times β) (g, h) = (α (g), β (h))

es un automorfismo de $G \times H$ . De ello se deduce que $Aut (G \times H)$ tiene un subgrupo isomorfo al producto directo $Aut (G) \times Aut (H)$ .

En general, no es cierto que todo automorfismo de $G \times H$ tenga la forma anterior. (Es decir, $Aut (G) \times Aut (H)$ es a menudo un subgrupo adecuado de $Aut (G \times H))$ . Por ejemplo, si $G$ es cualquier grupo, entonces existe un automorfismo $σ$ de $G \times G$ que cambia los dos factores, es decir

σ (sol 1, sol 2) = (sol 2, sol 1)

.

Para otro ejemplo, el grupo de automorfismo de $Z \times Z$ es $GL (2, Z )$ , el grupo de todas las matrices $2 \times 2$ con entradas enteras y determinante , $\pm 1$ . Este grupo de automorfismos es infinito, pero solo un número finito de los automorfismos tienen la forma dada anteriormente.

En general, cada endomorfismo de $G \times H$ se puede escribir como una matriz de $2 \times 2$

{\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{bmatrix}}

donde $α$ es un endomorfismo de $G$ , $δ$ es un endomorfismo de $H$ , y $β$ $:$ $H$ $\to$ $G$ y $γ$ $:$ $G$ $\to$ $H$ son homomorfismos. Tal matriz debe tener la propiedad de que cada elemento de la imagen de $α$ conmuta con cada elemento de la imagen de $β$ , y cada elemento de la imagen de $γ$ conmuta con cada elemento de la imagen de $δ$ .

Cuando G y H son grupos indecomponibles, sin centros, entonces el grupo de automorfismo es relativamente sencillo, siendo Aut ( G ) × Aut ( H ) si G y H no son isomorfos, y Aut ( G ) wr 2 si G ≅ H , wr denota el producto de la corona . Esto es parte del teorema de Krull-Schmidt y se aplica de manera más general a productos directos finitos.

Generalizaciones

Productos directos finitos

Es posible tomar el producto directo de más de dos grupos a la vez. Dada una secuencia finita $G 1, ..., G n$ de grupos, el producto directo

\prod _{i=1}^{n}G_{i}\;=\;G_{1}\times G_{2}\times \cdots \times G_{n}

se define de la siguiente manera:

Los elementos de $G 1 \times \dots \times G n$ son tuplas $(g 1,\dots, g n)$ , donde $g i \in G i$ para cada $i$ .
La operación en $G 1 \times \dots \times G n$ se define por componentes:
$(sol 1,\dots, sol norte) (sol 1',\dots, sol norte')$ = $(sol 1 sol 1',\dots, sol norte sol norte')$ .

Esto tiene muchas de las mismas propiedades que el producto directo de dos grupos y se puede caracterizar algebraicamente de manera similar.

Productos directos infinitos

También es posible tomar el producto directo de un número infinito de grupos. Para una secuencia infinita $G 1, G 2,\dots$ de grupos, esto se puede definir como el producto directo finito de arriba, siendo los elementos del producto directo infinito tuplas infinitas.

De manera más general, dada una familia indexada { $G i$ } $i \in I$ de grupos, el producto directo $\prod i \in I G i$ se define de la siguiente manera:

Los elementos de $\prod i \in I G i$ son los elementos del producto cartesiano infinito de los conjuntos $G i$ ; es decir, funciones $ƒ: I \to ⋃ i \in I G i$ con la propiedad de que $ƒ (i) \in G i$ para cada $i$ .
El producto de dos elementos $ƒ, g$ se define por componentes:
$(ƒ • g) (i)$ = $ƒ (i) • g (i)$ .

A diferencia de un producto directo finito, el producto directo infinito $Π i \in I G i$ no es generada por los elementos de los subgrupos isomorfos { $G i$ } $i \in I$ . En cambio, estos subgrupos generan un subgrupo del producto directo conocido como suma directa infinita , que consta de todos los elementos que tienen solo un número finito de componentes no identitarios.

Otros productos

Productos semidirectos

Recuerde que un grupo $P$ con subgrupos $G$ y $H$ es isomorfo al producto directo de $G$ y $H$ siempre que satisfaga las siguientes tres condiciones:

La intersección $G \cap H$ es trivial .
Cada elemento de $P$ se puede expresar de forma única como el producto de un elemento de $G$ y un elemento de $H$ .
Tanto $G$ y $H$ son normales en $P$ .

Se obtiene un producto semidirecto de $G$ y $H$ relajando la tercera condición, de modo que solo uno de los dos subgrupos $G, H$ debe ser normal. El producto resultante todavía consta de pares ordenados $(g, h)$ , pero con una regla de multiplicación un poco más complicada.

También es posible relajar la tercera condición por completo, sin que ninguno de los dos subgrupos sea normal. En este caso, el grupo $P$ es referido como un producto Zappa-Szép de $G$ y $H$ .

Productos gratis

El producto libre de $G$ y $H$ , generalmente denominado $G * H$ , es similar al producto directo, excepto que los subgrupos $G$ y $H$ de $G * H$ no están obligados a conmutar. Es decir, si

G

=

〈 S G

|

R

G

〉

y

H

=

〈

S

H

|

R

H

〉

,

son presentaciones para $G$ y $H$ , luego

G * H

=

〈 S G \cup S H

|

R

G

\cup

R

H

〉

.

A diferencia del producto directo, los elementos del producto gratuito no se pueden representar mediante pares ordenados. De hecho, el producto libre de dos grupos no triviales es infinito. El producto gratuito es en realidad el coproducto en la categoría de grupos .

Productos subdirectos

Si $G$ y $H$ son grupos, un producto subdirecto de $G$ y $H$ es cualquier subgrupo de $G \times H$ que se mapea de forma sobreyectiva en $G$ y $H$ bajo los homomorfismos de proyección. Según el lema de Goursat , cada producto subdirecto es un producto de fibra.

Productos de fibra

Sean $G$ , $H$ y $Q$ grupos, y sean $φ : G \to Q$ y $χ : H \to Q$ homomorfismos. El producto de fibra de $G$ y $H$ sobre $Q$ , también conocido como retroceso , es el siguiente subgrupo de $G \times H$ :

G \times Q H

= {

(g, h) \in G \times H : φ (g) = χ (h)

} .

Si $φ : G \to Q$ y $χ : H \to Q$ son epimorfismos , entonces este es un producto subdirecto.

Referencias

↑ Galian, Joseph A. (2010). Álgebra abstracta contemporánea (7 ed.). Aprendizaje Cengage. pag. 157. ISBN 9780547165097.

Artin, Michael (1991), Álgebra , Prentice Hall , ISBN 978-0-89871-510-1
Herstein, Israel Nathan (1996), Álgebra abstracta (3.a ed.), Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall Inc., ISBN 978-0-13-374562-7, MR 1375019.
Herstein, Israel Nathan (1975), Temas de álgebra (2a ed.), Lexington, Mass .: Xerox College Publishing, MR 0356988.
Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , 211 (Tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, Señor 1878556
Lang, Serge (2005), Álgebra de pregrado (3.a ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-22025-3.
Robinson, Derek John Scott (1996), Un curso de teoría de grupos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94461-6.

[1] Galian, Joseph A. (2010). Álgebra abstracta contemporánea (7 ed.). Aprendizaje Cengage. pag. 157. ISBN 9780547165097.

∙	$1$	$a$	$B$	$C$
$1$	$1$	$a$	$B$	$C$
$a$	$a$	$1$	$C$	$B$
$B$	$B$	$C$	$1$	$a$
$C$	$C$	$B$	$a$	$1$

∙	$1$	$a$	$B$	$C$
$1$	$1$	$a$	$B$	$C$
$a$	$a$	$1$	$C$	$B$
$B$	$B$	$C$	$1$	$a$
$C$	$C$	$B$	$a$	$1$

∙	$1$	$a$	$B$	$C$
$1$	$1$	$a$	$B$	$C$
$a$	$a$	$1$	$C$	$B$
$B$	$B$	$C$	$1$	$a$
$C$	$C$	$B$	$a$	$1$