En matemáticas y álgebra abstracta , la teoría de grupos estudia las estructuras algebraicas conocidas como grupos . El concepto de grupo es fundamental para el álgebra abstracta: otras estructuras algebraicas bien conocidas, como anillos , campos y espacios vectoriales , pueden verse como grupos dotados de operaciones y axiomas adicionales . Los grupos se repiten a lo largo de las matemáticas y los métodos de la teoría de grupos han influido en muchas partes del álgebra. Grupos algebraicos lineales y grupos de Lie son dos ramas de la teoría de grupos que han experimentado avances y se han convertido en áreas temáticas por derecho propio.
Varios sistemas físicos, como los cristales y el átomo de hidrógeno , pueden modelarse mediante grupos de simetría . Por tanto, la teoría de grupos y la teoría de la representación estrechamente relacionada tienen muchas aplicaciones importantes en la física , la química y la ciencia de los materiales . La teoría de grupos también es fundamental para la criptografía de clave pública .
Estructuras y operaciones
- Extensión central
- Producto directo de grupos
- Suma directa de grupos
- Problema de extensión
- Grupo abeliano libre
- Grupo libre
- Producto gratis
- Grupo electrógeno de un grupo
- Cohomología grupal
- Extensión de grupo
- Presentación de un grupo
- Producto de subconjuntos de grupos
- Multiplicador de Schur
- Producto semidirecto
- Teoremas de Sylow
- Producto de corona
Propiedades básicas de los grupos
- Lema mariposa
- Centro de un grupo
- Centralizador y normalizador
- Subgrupo característico
- Conmutador
- Serie de composición
- Clase conjugada
- Cierre conjugado
- Conjugación de isometrías en el espacio euclidiano
- Grupo central)
- Coset
- Grupo derivado
- Teorema de euler
- Subgrupo apropiado
- Subgrupo de adaptación generalizada
- Grupo hamiltoniano
- Elemento de identidad
- Teorema de lagrange
- Multiplicación inversa
- Subgrupo normal
- grupo perfecto
- p-core
- Teorema del refinamiento de Schreier
- Subgrupo
- Transversal (combinatoria)
- Subgrupo de torsión
- Lema de Zassenhaus
Homomorfismos de grupo
- Automorfismo
- Grupo de automorfismo
- Grupo de factores
- Teorema fundamental de los homomorfismos
- Homomorfismo grupal
- Isomorfismo de grupo
- Homomorfismo
- Teorema del isomorfismo
- Automorfismo interno
- Orden automorfismo
- Grupo de automorfismo externo
- Grupo cociente
Tipos básicos de grupos
- Ejemplos de grupos
- Grupo abeliano
- Grupo cíclico
- Rango de un grupo abeliano
- Grupo dicíclico
- Grupo diedro
- Grupo divisible
- Grupo abeliano finamente generado
- Representación grupal
- Klein de cuatro grupos
- Lista de pequeños grupos
- Grupo cíclico local
- Grupo nilpotente
- Grupo no abeliano
- Grupo solucionable
- Grupo P
- Grupo profinito
Grupos simples y su clasificación.
- Clasificación de grupos simples finitos
- Grupo alterno
- Subgrupo Borel
- Grupo Chevalley
- Grupo Conway
- Teorema de Feit-Thompson
- Grupo fischer
- Grupo lineal general
- Grupo de tipo de mentira
- Esquema de grupo
- Grupo Janko
- Grupo de mentiras
- Grupo de mentira simple
- Grupo algebraico lineal
- Lista de grupos simples finitos
- Grupo de Mathieu
- Grupo de monstruos
- Grupo Baby Monster
- Bimonster
- Subgrupo parabólico
- Grupo proyectivo
- Grupo reductivo
- Grupo simple
- Grupo quasisimple
- Grupo lineal especial
- Grupo simétrico
- Grupo Thompson (finito)
- Grupo de tetas
- Grupo Weyl
Grupos de permutación y simetría
- Grupo aritmético
- Grupo de trenzas
- Lema de Burnside
- Teorema de Cayley
- Grupo Coxeter
- Grupo cristalográfico
- Grupo de puntos cristalográficos , notación de Schoenflies
- Grupo discreto
- Grupo euclidiano
- Permutaciones pares e impares
- Friso grupo
- Grupo Frobenius
- Grupo fucsia
- Teoría de grupos geométricos
- Acción de grupo
- Espacio homogéneo
- Grupo hiperbólico
- Grupo de isometría
- Órbita (teoría de grupos)
- Permutación
- Grupo de permutación
- Grupo del cubo de Rubik
- Grupo espacial
- Subgrupo de estabilizadores
- Sistema Steiner
- Grupo electrógeno fuerte
- Simetría
- Grupo simétrico
- Grupo de simetría
- Grupo de papel tapiz
- Asociatividad
- Biyección
- Operador bilineal
- Operación binaria
- Conmutativa
- Relación de congruencia
- Clase de equivalencia
- Relación de equivalencia
- Celosía (grupo)
- Lattice (subgrupo discreto)
- Tabla de multiplicación
- número primo
- Hasta
Objetos matemáticos que utilizan una operación de grupo
- Variedad abeliana
- Grupo algebraico
- Paradoja de Banach-Tarski
- Categoría de grupos
- Análisis dimensional
- Curva elíptica
- Grupo Galois
- Matrices de Gell-Mann
- Objeto de grupo
- Espacio Hilbert
- Entero
- Grupo de mentiras
- Matriz
- Aritmética modular
- Número
- Matrices de Pauli
- Número Real
- Cuaternio
- Grupo de cuaterniones
- Tensor
Campos y temas matemáticos que hacen un uso importante de la teoría de grupos
- Geometría algebraica
- Topología algebraica
- Espacio discreto
- Grupo fundamental
- Geometría
- Homologia
- Teorema de Minkowski
- Grupo topológico
- Campo
- Campo finito
- Teoría de Galois
- Grupo Grothendieck
- Anillo de grupo
- Grupo con operadores
- Montón
- Álgebra lineal
- Magma
- Módulo
- Monoide
- Anillo monoide
- Quandle
- Cuasigrupo
- Grupo cuántico
- Anillo
- Semigroup
- Espacio vectorial
Representaciones grupales
- Representación afín
- Teoría del carácter
- Gran teorema de ortogonalidad
- Teorema de maschke
- Moonshine monstruoso
- Representación proyectiva
- Teoría de la representación
- Lema de Schur
Teoría de grupos computacional
- Enumeración de Coset
- Lema del subgrupo de Schreier
- Algoritmo de Schreier-Sims
- Algoritmo de Todd-Coxeter
Aplicaciones
- Sistema de álgebra informática
- Criptografía
- Logaritmo discreto
- Triple DES
- Cifrado césar
- Exponenciar elevando al cuadrado
- Problema de la mochila
- Algoritmo de Shor
- Modelo estandar
- Simetría en física
Problemas famosos
- El problema de Burnside
- Clasificación de grupos simples finitos
- Conjetura de Herzog-Schönheim
- Problema de suma de subconjuntos
- Problema de Whitehead
- Problema verbal para grupos
Otros temas
- Grupo apto
- Grupo capaz
- Conmensurabilidad (teoría de grupos)
- Grupo compacto
- Grupo generado de forma compacta
- Grupo completo
- Subgrupo de congruencia
- Simetría continua
- Subgrupo Frattini
- Tasa de crecimiento
- Grupo de Heisenberg , grupo de Heisenberg discreto
- Simetría molecular
- Transformación de Nielsen
- Grupo de monstruos Tarski
- Grupos de Thompson
- Transformación de Tietze
- Transferencia (teoría de grupos)
Teóricos de grupo
- N. Abel
- M. Aschbacher
- R. Baer
- R. Brauer
- W. Burnside
- R. Carter
- A. Cauchy
- A. Cayley
- JH Conway
- R. Dedekind
- LE Dickson
- M. Dunwoody
- W. Feit
- B. Fischer
- H. Montaje
- G. Frattini
- G. Frobenius
- E. Galois
- G. Glauberman
- D. Gorenstein
- RL Griess
- M. Hall, Jr.
- P. Hall
- G. Higman
- D. Hilbert
- O. Hölder
- B. Huppert
- K. Iwasawa
- Z. Janko
- C. Jordania
- F. Klein
- A. Kurosh
- JL Lagrange
- C. Leedham-Green
- FW Levi
- Sophus Lie
- W. Magnus
- E. Mathieu
- GA Miller
- BH Neumann
- H. Neumann
- J. Nielson
- Emmy Noether
- Ø. Mineral
- O. Schreier
- I. Schur
- R. Steinberg
- M. Suzuki
- L. Sylow
- J. Thompson
- J. Tetas
- Helmut Wielandt
- H. Zassenhaus
- M. Zorn
Ver también
- Lista de temas de álgebra abstracta
- Lista de temas de teoría de categorías
- Lista de temas del grupo de mentiras