Teoría de la dispersión

Método para estudiar la dispersión de ondas y partículas.

Parte de una serie de artículos sobre
Mecánica cuántica
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }$ Ecuación de Schrödinger
Introducción Glosario Historia
Fondo Mecanica clasica Teoría cuántica antigua Notación bra-ket Hamiltoniano Interferencia
Fundamentos Complementariedad Decoherencia Enredo Nivel de energía Medición No localidad Número cuántico Estado Superposición Simetría Tunelización Incertidumbre Función de onda  ( colapso )
Experimentos La desigualdad de Bell Davisson – Germer Doble hendidura Elitzur – Vaidman Franck – Hertz Desigualdad de Leggett-Garg Mach – Zehnder Corchete Borrador cuántico  ( opción retardada ) El gato de Schrödinger Stern – Gerlach La elección retrasada de Wheeler
Formulaciones Visión general Heisenberg Interacción Matriz Espacio de fase Schrödinger Sumas sobre historias (integral de ruta)
Ecuaciones Dirac Klein – Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
Interpretaciones Visión general Bayesiano Historias consistentes Copenhague de Broglie – Bohm Conjunto Variable oculta Muchos-mundos Colapso objetivo Lógica cuántica Relacional Transaccional
Temas avanzados Mecánica cuántica relativista Teoría cuántica de campos Ciencia de la información cuántica Computación cuántica Caos cuántico Matriz de densidad Teoría de la dispersión Mecánica estadística cuántica Aprendizaje automático cuántico
Científicos Aharonov campana Blackett Bloch Bohm Bohr Nació Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordán Kramers Pauli Cordero Landó Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Viena Wigner Zeeman Zeilinger
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Arriba: la parte real de una onda plana que viaja hacia arriba. Abajo: La parte real del campo después de insertar en la trayectoria de la onda plana un pequeño disco transparente de índice de refracción superior al índice del medio circundante. Este objeto dispersa parte del campo de ondas, aunque en cualquier punto individual, la frecuencia y la longitud de onda permanecen intactas.

En matemáticas y física , la teoría de la dispersión es un marco para estudiar y comprender la dispersión de ondas y partículas . La dispersión de ondas corresponde a la colisión y dispersión de una onda con algún objeto material, por ejemplo, la luz solar dispersada por gotas de lluvia para formar un arco iris . La dispersión también incluye la interacción de bolas de billar en una mesa, la dispersión de Rutherford (o cambio de ángulo) de partículas alfa por núcleos de oro. , la dispersión (o difracción) de Bragg de electrones y rayos X por un grupo de átomos, y la dispersión inelástica de un fragmento de fisión al atravesar una fina lámina. Más precisamente, la dispersión consiste en el estudio de cómo las soluciones de ecuaciones diferenciales parciales , que se propagan libremente "en el pasado distante", se juntan e interactúan entre sí o con una condición de frontera , y luego se propagan "al futuro lejano". El problema de la dispersión directa es el problema de determinar la distribución de la radiación dispersa / flujo de partículas basándose en las características del dispersor . El problema de la dispersión inversa Es el problema de determinar las características de un objeto (por ejemplo, su forma, constitución interna) a partir de datos de medición de radiación o partículas dispersas del objeto.

Desde su declaración inicial para la radiolocalización , el problema ha encontrado una gran cantidad de aplicaciones, como la ecolocalización , la prospección geofísica , las pruebas no destructivas , las imágenes médicas y la teoría cuántica de campos , por nombrar solo algunas.

Fundamentos conceptuales

Los conceptos utilizados en la teoría de la dispersión tienen diferentes nombres en diferentes campos. El objeto de esta sección es señalar al lector los hilos comunes.

Objetivos compuestos y ecuaciones de rango

Cantidades equivalentes utilizadas en la teoría de la dispersión a partir de muestras compuestas, pero con una variedad de unidades.

Cuando el objetivo es un conjunto de muchos centros de dispersión cuya posición relativa varía de manera impredecible, se acostumbra pensar en una ecuación de rango cuyos argumentos toman diferentes formas en diferentes áreas de aplicación. En el caso más simple, considere una interacción que elimina partículas del "haz no dispersado" a una tasa uniforme que es proporcional al número de partículas incidentes por unidad de área por unidad de tiempo ( ), es decir, que${\displaystyle I}$

${\displaystyle {\frac {dI}{dx}}=-QI\,\!}$

donde Q es un coeficiente de interacción yx es la distancia recorrida en el objetivo.

La ecuación diferencial ordinaria de primer orden anterior tiene soluciones de la forma:

${\displaystyle I=I_{o}e^{-Q\Delta x}=I_{o}e^{-{\frac {\Delta x}{\lambda }}}=I_{o}e^{-\sigma (\eta \Delta x)}=I_{o}e^{-{\frac {\rho \Delta x}{\tau }}},}$

donde I _o es el flujo inicial, la longitud de la ruta Δx ≡  x  -  x _o , la segunda igualdad define una ruta libre media de interacción λ, la tercera usa el número de objetivos por unidad de volumen η para definir una sección transversal de área σ, y la Por último, utiliza la densidad de masa objetivo ρ para definir una trayectoria libre media de densidad τ. Por lo tanto, uno convierte entre estas cantidades a través de Q = 1 / λ =  ησ =  ρ / τ , como se muestra en la figura de la izquierda.

En la espectroscopia de absorción electromagnética, por ejemplo, el coeficiente de interacción (por ejemplo, Q en cm ⁻¹ ) se denomina de diversas formas opacidad , coeficiente de absorción y coeficiente de atenuación . En física nuclear, secciones transversales de área (por ejemplo, σ en graneros o unidades de ^10-24 cm ² ), densidad media del camino libre (por ejemplo, τ en gramos / cm ² ) y su recíproco el coeficiente de atenuación de masa (por ejemplo, en cm ² / gramo) o área por nucleón son populares, mientras que en microscopía electrónica el camino libre medio inelástico ^[1] (por ejemplo, λ en nanómetros) se discute a menudo^{[2] en su} lugar.

En física teórica

En física matemática , la teoría de la dispersión es un marco para estudiar y comprender la interacción o dispersión de soluciones a ecuaciones diferenciales parciales . En acústica , la ecuación diferencial es la ecuación de onda , y la dispersión estudia cómo sus soluciones, las ondas sonoras , se dispersan desde objetos sólidos o se propagan a través de medios no uniformes (como ondas sonoras, en agua de mar , procedentes de un submarino ). En el caso de la electrodinámica clásica , la ecuación diferencial es nuevamente la ecuación de onda y la dispersión de la luz oSe estudia las ondas de radio . En física de partículas , las ecuaciones son las de la electrodinámica cuántica , la cromodinámica cuántica y el modelo estándar , cuyas soluciones corresponden a partículas fundamentales .

En la mecánica cuántica regular , que incluye la química cuántica , la ecuación relevante es la ecuación de Schrödinger , aunque formulaciones equivalentes, como la ecuación de Lippmann-Schwinger y las ecuaciones de Faddeev., también se utilizan en gran medida. Las soluciones de interés describen el movimiento a largo plazo de átomos, moléculas, fotones, electrones y protones libres. El escenario es que varias partículas se unen desde una distancia infinita. Estos reactivos luego chocan, reaccionando opcionalmente, destruyéndose o creando nuevas partículas. Los productos y los reactivos no utilizados vuelven a volar hasta el infinito. (Los átomos y las moléculas son efectivamente partículas para nuestros propósitos. Además, en circunstancias cotidianas, solo se crean y destruyen fotones). Las soluciones revelan hacia dónde es más probable que vuelen los productos y con qué rapidez. También revelan la probabilidad de que ocurran diversas reacciones, creaciones y desintegraciones. Hay dos técnicas predominantes para encontrar soluciones a los problemas de dispersión: análisis de ondas parcialesy la aproximación de Born .

Dispersión elástica e inelástica

El término "dispersión elástica" implica que los estados internos de las partículas de dispersión no cambian y, por lo tanto, emergen sin cambios del proceso de dispersión. En la dispersión inelástica, por el contrario, el estado interno de las partículas cambia, lo que puede equivaler a excitar algunos de los electrones de un átomo en dispersión, o la aniquilación completa de una partícula en dispersión y la creación de partículas completamente nuevas.

El ejemplo de la dispersión en la química cuántica es particularmente instructivo, ya que la teoría es razonablemente compleja y, al mismo tiempo, tiene una buena base sobre la cual construir una comprensión intuitiva. Cuando dos átomos se dispersan entre sí, se puede entender que son las soluciones de estado ligado de alguna ecuación diferencial. Así, por ejemplo, el átomo de hidrógeno corresponde a una solución de la ecuación de Schrödinger con un potencial central negativo de potencia inversa (es decir, atractivo Coulombic) . La dispersión de dos átomos de hidrógeno alterará el estado de cada átomo, lo que provocará que uno o ambos se exciten, o incluso se ionicen , lo que representa un proceso de dispersión inelástica.

El término " dispersión inelástica profunda " se refiere a un tipo especial de experimento de dispersión en física de partículas.

El marco matemático

En matemáticas , la teoría de la dispersión se ocupa de una formulación más abstracta del mismo conjunto de conceptos. Por ejemplo, si se sabe que una ecuación diferencial tiene algunas soluciones simples y localizadas, y las soluciones son función de un solo parámetro, ese parámetro puede asumir el papel conceptual del tiempo . Entonces, uno se pregunta qué podría suceder si dos de estas soluciones se establecen muy lejos una de la otra, en el "pasado distante", y se hacen que se acerquen, interactúen (bajo la restricción de la ecuación diferencial) y luego se separen en el futuro". La matriz de dispersión luego empareja las soluciones del "pasado distante" con las del "futuro distante".

Las soluciones a las ecuaciones diferenciales se plantean a menudo en variedades . Con frecuencia, los medios para la solución requieren el estudio del espectro de un operador en el colector. Como resultado, las soluciones a menudo tienen un espectro que se puede identificar con un espacio de Hilbert , y la dispersión se describe mediante un determinado mapa, la matriz S , en los espacios de Hilbert. Los espacios con un espectro discreto corresponden a estados ligados en mecánica cuántica, mientras que un espectro continuo está asociado con estados de dispersión. El estudio de la dispersión inelástica pregunta entonces cómo se mezclan los espectros discretos y continuos.

Un desarrollo importante y notable es la transformada de dispersión inversa , fundamental para la solución de muchos modelos con solución exacta .

Ver también

• Retrodispersión
• Dispersión de Brillouin
• Dispersión de Compton
• Radiación difusa del cielo
• Extinción
• Teoría de la dispersión de Haag-Ruelle
• Grosor de línea
• Teoría de Mie
• Dispersión molecular
• Dispersión Raman
• la dispersión de Rayleigh
• Matriz S
• Dispersión de superficies rugosas
• Centelleo (física)

Notas al pie

1. RF Egerton (1996) Espectroscopia de pérdida de energía electrónica en el microscopio electrónico (Segunda edición, Plenum Press, NY) ISBN  0-306-45223-5
2. Ludwig Reimer (1997) Microscopía electrónica de transmisión: Física de la formación de imágenes y microanálisis (Cuarta edición, Springer, Berlín) ISBN 3-540-62568-2 

Referencias

• Conferencias de la escuela europea sobre métodos teóricos para la química inducida por electrones y positrones, Praga, febrero de 2005
• E. Koelink, Conferencias sobre la teoría de la dispersión, Delft, Países Bajos 2006

enlaces externos

• Medios relacionados con la teoría de la dispersión en Wikimedia Commons
• Esquema de clasificación e indexación de la óptica (OCIS) , Optical Society of America , 1997