El cálculo discreto o cálculo de funciones discretas , es el estudio matemático del cambio incremental , de la misma manera que la geometría es el estudio de la forma y el álgebra es el estudio de generalizaciones de operaciones aritméticas . La palabra cálculo es una palabra latina , que originalmente significa "guijarro pequeño"; Dado que estos guijarros se utilizaron para el cálculo, el significado de la palabra ha evolucionado y hoy por lo general significa un método de cálculo. Mientras tanto, el cálculo , originalmente llamado cálculo infinitesimal o "el cálculo de infinitesimales ", es el estudio decambio continuo .
El cálculo discreto tiene dos puntos de entrada, cálculo diferencial y cálculo integral. El cálculo diferencial se refiere a las tasas de cambio incrementales y las pendientes de las curvas lineales por partes. El cálculo integral se refiere a la acumulación de cantidades y las áreas bajo curvas constantes por partes. Estos dos puntos de vista están relacionados entre sí por el teorema fundamental del cálculo discreto.
El estudio de los conceptos de cambio comienza con su forma discreta. El desarrollo depende de un parámetro, el incrementode la variable independiente. Si así lo elegimos, podemos hacer el incremento cada vez más pequeño y encontrar las contrapartes continuas de estos conceptos como límites . De manera informal, el límite del cálculo discreto comoes cálculo infinitesimal. Aunque sirve como un soporte discreto del cálculo, el valor principal del cálculo discreto está en las aplicaciones.
Dos construcciones iniciales
El cálculo diferencial discreto es el estudio de la definición, propiedades y aplicaciones del cociente de diferencias de una función. El proceso de encontrar el cociente de diferencias se llama diferenciación . Dada una función definida en varios puntos de la línea real, el cociente de diferencia en ese punto es una forma de codificar el comportamiento a pequeña escala (es decir, del punto al siguiente) de la función. Al encontrar el cociente de diferencias de una función en cada par de puntos consecutivos en su dominio, es posible producir una nueva función, llamada función de cociente de diferencias o simplemente el cociente de diferencias de la función original. En términos formales, el cociente de diferencias es un operador lineal que toma una función como entrada y produce una segunda función como salida. Esto es más abstracto que muchos de los procesos estudiados en álgebra elemental, donde las funciones generalmente ingresan un número y dan salida a otro número. Por ejemplo, si a la función de duplicación se le da la entrada tres, entonces da como resultado seis, y si a la función de cuadratura se le da la entrada tres, entonces da como resultado nueve. Sin embargo, la derivada puede tomar la función de cuadratura como entrada. Esto significa que la derivada toma toda la información de la función de elevación al cuadrado, como que dos se envía a cuatro, tres se envía a nueve, cuatro se envía a dieciséis, y así sucesivamente, y usa esta información para producir otra función. La función que se produce al diferenciar la función de cuadratura resulta ser algo cercano a la función de duplicación.
Suponga que las funciones se definen en puntos separados por un incremento :
La "función de duplicación" se puede denotar por y la "función de cuadratura" por . El "cociente de diferencias" es la tasa de cambio de la función en uno de los intervalos definido por la fórmula:
Toma la función como entrada, esa es toda la información, como que dos se envía a cuatro, tres se envía a nueve, cuatro se envía a dieciséis, y así sucesivamente, y utiliza esta información para generar otra función, la función , como resultará. Por conveniencia, la nueva función puede definirse en los puntos medios de los intervalos anteriores:
Como la tasa de cambio es la de todo el intervalo , cualquier punto dentro de él puede usarse como referencia o, mejor aún, todo el intervalo que hace que el cociente de diferencia sea un - cochain .
La notación más común para el cociente de diferencias es:
Si la entrada de la función representa el tiempo, entonces el cociente de diferencia representa el cambio con respecto al tiempo. Por ejemplo, si es una función que toma un tiempo como entrada y da la posición de una bola en ese momento como salida, luego el cociente de diferencia de es cómo va cambiando la posición en el tiempo, es decir, es la velocidad de la pelota.
Si una función es lineal (es decir, si los puntos de la gráfica de la función se encuentran en una línea recta), entonces la función se puede escribir como, dónde es la variable independiente, es la variable dependiente, es el -intercepción, y:
Esto da un valor exacto para la pendiente de una línea recta.
Sin embargo, si la función no es lineal, entonces el cambio en dividido por el cambio en varía. El cociente de diferencias da un significado exacto a la noción de cambio en la producción con respecto al cambio en la entrada. Para ser concreto, deja ser una función y fijar un punto en el dominio de . es un punto en la gráfica de la función. Si es el incremento de , luego es el siguiente valor de . Por lo tanto, es el incremento de . La pendiente de la línea entre estos dos puntos es
Entonces es la pendiente de la línea entre y .
Aquí hay un ejemplo particular, el cociente de diferencias de la función de cuadratura. Dejarsea la función de cuadratura. Luego:
El cociente de diferencias del cociente de diferencias se denomina segundo cociente de diferencias y se define en
Y así.
El cálculo integral discreto es el estudio de las definiciones, propiedades y aplicaciones de las sumas de Riemann . El proceso de encontrar el valor de una suma se llama integración . En lenguaje técnico, el cálculo integral estudia un determinado operador lineal .
La suma de Riemann ingresa una función y genera una función, que da la suma algebraica de áreas entre la parte de la gráfica de la entrada y el eje x .
Un ejemplo motivador son las distancias recorridas en un tiempo determinado.
Si la velocidad es constante, solo se necesita la multiplicación, pero si la velocidad cambia, evaluamos la distancia recorrida dividiendo el tiempo en muchos intervalos cortos de tiempo, luego multiplicamos el tiempo transcurrido en cada intervalo por una de las velocidades en ese intervalo. y luego tomar la suma (una suma de Riemann ) de la distancia recorrida en cada intervalo.
Cuando la velocidad es constante, la distancia total recorrida durante el intervalo de tiempo dado se puede calcular multiplicando la velocidad por el tiempo. Por ejemplo, viajar a una velocidad constante de 50 mph durante 3 horas da como resultado una distancia total de 150 millas. En el diagrama de la izquierda, cuando se grafican la velocidad y el tiempo constantes, estos dos valores forman un rectángulo con una altura igual a la velocidad y un ancho igual al tiempo transcurrido. Por lo tanto, el producto de la velocidad y el tiempo también calcula el área rectangular bajo la curva de velocidad (constante). Esta conexión entre el área bajo una curva y la distancia recorrida se puede extender a cualquier región de forma irregular que exhiba una velocidad que varía incrementalmente durante un período de tiempo dado. Si las barras en el diagrama de la derecha representan la velocidad a medida que varía de un intervalo al siguiente, la distancia recorrida (entre los tiempos representados por y ) es el área de la región sombreada .
Entonces, el intervalo entre y se divide en varios segmentos iguales, la longitud de cada segmento representada por el símbolo . Para cada segmento pequeño, tenemos un valor de la función. Llamar a ese valor. Entonces el área del rectángulo con base y altura da la distancia (tiempo multiplicado por la velocidad ) viajó en ese segmento. Asociado con cada segmento está el valor de la función que está encima de él,. La suma de todos esos rectángulos da el área entre el eje y la curva constante por partes, que es la distancia total recorrida.
Suponga que una función se define en los puntos medios de los intervalos de igual longitud. :
Entonces la suma de Riemann de a en notación sigma es:
Como este cálculo se realiza para cada , la nueva función se define en los puntos:
El teorema fundamental del cálculo establece que la diferenciación y la integración son operaciones inversas. Más precisamente, relaciona los cocientes en diferencias con las sumas de Riemann. También se puede interpretar como una declaración precisa del hecho de que la diferenciación es la inversa de la integración.
El teorema fundamental del cálculo: si una función se define en una partición del intervalo , , y si es una función cuyo cociente de diferencias es , entonces nosotros tenemos:
Además, para cada , tenemos:
Esta también es una solución prototipo de una ecuación en diferencias . Las ecuaciones en diferencias relacionan una función desconocida con su diferencia o cociente de diferencias, y son ubicuas en las ciencias.
Historia
La historia temprana del cálculo discreto es la historia del cálculo . Ideas tan básicas como los cocientes de diferencias y las sumas de Riemann aparecen implícita o explícitamente en definiciones y pruebas. Sin embargo, después de que se toma el límite, nunca se volverán a ver. Sin embargo, la ley de voltaje de Kirchhoff (1847) se puede expresar en términos de la derivada exterior discreta unidimensional.
Durante el siglo XX, el cálculo discreto permanece interconectado con el cálculo infinitesimal, especialmente las formas diferenciales, pero también comienza a extraerse de la topología algebraica a medida que ambos se desarrollan. Las principales contribuciones provienen de las siguientes personas: [1]
- Henri Poincaré : triangulaciones ( subdivisión baricéntrica , triangulación dual ), lema de Poincaré , la primera prueba del teorema general de Stokes y mucho más
- LEJ Brouwer : teorema de aproximación simplicial
- Élie Cartan , Georges de Rham : la noción de forma diferencial, la derivada exterior como operador lineal independiente de coordenadas , exactitud / cerrazón de formas
- Emmy Noether , Heinz Hopf , Leopold Vietoris , Walther Mayer : módulos de cadenas , el operador de límites , complejos de cadenas
- JW Alexander , Solomon Lefschetz , Lev Pontryagin , Andrey Kolmogorov , Norman Steenrod , Eduard Čech : las primeras nociones de cochain
- Hermann Weyl : las leyes de Kirchho ff expresadas en términos de la frontera y los operadores co-fronterizos
- WVD Hodge : el operador estrella de Hodge , la descomposición de Hodge
- Samuel Eilenberg , Saunders Mac Lane , Norman Steenrod , JHC Whitehead : el desarrollo riguroso de la teoría de homología y cohomología, incluidos los complejos de cadena y cocadena, el producto de copa
- Hassler Whitney : cochains como integrandos
El reciente desarrollo del cálculo discreto, comenzando con Whitney, ha sido impulsado por las necesidades del modelado aplicado . [2] [3] [4]
Aplicaciones
El cálculo discreto se utiliza para modelar, ya sea directa o indirectamente, como una discretización del cálculo infinitesimal en todas las ramas de las ciencias físicas, ciencias actuariales , informática , estadística , ingeniería, economía, negocios, medicina, demografía y en otros campos en los que pueda surgir un problema. ser modelado matemáticamente . Permite que uno pase de tasas de cambio (no constantes) al cambio total o viceversa, y muchas veces al estudiar un problema conocemos uno y estamos tratando de encontrar el otro.
La física hace un uso particular del cálculo; todos los conceptos discretos de la mecánica clásica y el electromagnetismo están relacionados mediante el cálculo discreto. La masa de un objeto de densidad conocida que varía de forma incremental, el momento de inercia de dichos objetos, así como la energía total de un objeto dentro de un campo conservador discreto, se pueden encontrar mediante el uso de cálculo discreto. Un ejemplo del uso del cálculo discreto en mecánica es la segunda ley del movimiento de Newton : históricamente declarada que usa expresamente el término "cambio de movimiento" que implica el cociente de diferencias diciendo El cambio de momento de un cuerpo es igual a la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo y está en la misma dirección. Comúnmente expresado hoy como Fuerza = Masa × aceleración, invoca cálculo discreto cuando el cambio es incremental porque la aceleración es el cociente de diferencia de velocidad con respecto al tiempo o el segundo cociente de diferencia de la posición espacial. A partir de saber cómo se acelera un objeto, usamos las sumas de Riemann para derivar su trayectoria.
La teoría de Maxwell del electromagnetismo y Einstein teoría de la 's relatividad general se han expresado en el lenguaje de cálculo discreto.
La química utiliza el cálculo para determinar las velocidades de reacción y la desintegración radiactiva ( desintegración exponencial ).
En biología, la dinámica de la población comienza con la reproducción y las tasas de mortalidad para modelar los cambios de la población ( modelado de la población ).
En ingeniería, las ecuaciones en diferencias se utilizan para trazar el curso de una nave espacial en entornos de gravedad cero, para modelar la transferencia de calor , la difusión y la propagación de ondas .
El teorema de Discrete Green se aplica en un instrumento conocido como planímetro , que se utiliza para calcular el área de una superficie plana en un dibujo. Por ejemplo, se puede utilizar para calcular la cantidad de área ocupada por un macizo de flores de forma irregular o una piscina al diseñar la distribución de una propiedad. Puede usarse para calcular de manera eficiente sumas de dominios rectangulares en imágenes, para extraer rápidamente características y detectar objetos; otro algoritmo que podría usarse es la tabla de áreas sumadas .
En el ámbito de la medicina, el cálculo se puede utilizar para encontrar el ángulo de ramificación óptimo de un vaso sanguíneo a fin de maximizar el flujo. A partir de las leyes de descomposición para la eliminación de un fármaco en particular del cuerpo, se utiliza para derivar las leyes de dosificación. En medicina nuclear, se utiliza para construir modelos de transporte de radiación en terapias dirigidas contra tumores.
En economía, cálculo permite la determinación de la ganancia máxima, calculando tanto el costo marginal y el ingreso marginal , así como el modelado de los mercados. [5]
El cálculo discreto se puede utilizar junto con otras disciplinas matemáticas. Por ejemplo, se puede utilizar en la teoría de la probabilidad para determinar la probabilidad de una variable aleatoria discreta a partir de una función de densidad asumida.
Cálculo de diferencias y sumas
Supongamos que una función (a -cochain) se define en puntos separados por un incremento :
La diferencia (o la derivada exterior , o el operador co-límite) de la función viene dada por:
Se define en cada uno de los intervalos anteriores; es un-cochain.
Suponga un -cochain se define en cada uno de los intervalos anteriores. Entonces su suma es una función (a-cochain) definido en cada uno de los puntos por:
Estas son sus propiedades:
- Regla constante : sies una constante , entonces
- Linealidad : si y son constantes ,
- Regla de producto :
- Teorema fundamental del cálculo I :
- Teorema fundamental del cálculo II :
Las definiciones se aplican a los gráficos de la siguiente manera. Si una función (un-cochain) se define en los nodos de un gráfico:
entonces su derivada exterior (o el diferencial) es la diferencia, es decir, la siguiente función definida en los bordes del gráfico (-cochain):
Si es un -cochain, luego es integral sobre una secuencia de bordes del gráfico es la suma de sus valores en todos los bordes de ("integral de ruta"):
Estas son las propiedades:
- Regla constante : sies una constante , entonces
- Linealidad : si y son constantes ,
- Regla de producto :
- Teorema fundamental del cálculo I : si un-cadena consta de los bordes , luego para cualquier -cochain
- Teorema fundamental del cálculo II : si la gráfica es un árbol , es un -cochain, y una función (-cochain) se define en los nodos del gráfico por
donde un -cadena consiste en para algunos arreglados , luego
Ver referencias. [6] [7] [8] [9] [3] [10]
Cadenas de simplices y cubos
Un complejo simplicial es un conjunto de simples que cumple las siguientes condiciones:
- 1. Cada cara de un simplex de también está en .
- 2. La intersección no vacía de dos simples simples es una cara de ambos y .
Por definición, una orientación de un k -simplex viene dada por un orden de los vértices, escrito como, con la regla de que dos ordenamientos definen la misma orientación si y solo si difieren en una permutación par . Así, cada simplex tiene exactamente dos orientaciones, y cambiar el orden de dos vértices cambia una orientación a la orientación opuesta. Por ejemplo, elegir una orientación de 1-simplex equivale a elegir una de las dos direcciones posibles, y elegir una orientación de 2-simplex equivale a elegir lo que debería significar "en sentido antihorario".
Dejar ser un complejo simplicial. Una cadena k simplicial es una suma formal finita
donde cada c i es un número entero y σ i es un k -simplex orientado . En esta definición, declaramos que cada simplex orientado es igual al negativo del simplex con orientación opuesta. Por ejemplo,
El espacio vectorial de k cadenas en está escrito . Tiene una base en la correspondencia uno a uno con el conjunto de k -simplices en. Para definir una base explícitamente, hay que elegir una orientación de cada símplex. Una forma estándar de hacer esto es elegir un orden de todos los vértices y darle a cada simplex la orientación correspondiente al orden inducido de sus vértices.
Dejar ser un k -simplex orientado , visto como un elemento base de. El operador de límites
es el operador lineal definido por:
donde el simplex orientado
es el la cara de , obtenido al eliminar su th vértice.
En , elementos del subgrupo
se denominan ciclos , y el subgrupo
se dice que consta de fronteras .
Un cálculo directo muestra que . En términos geométricos, esto dice que el límite de cualquier cosa no tiene límite. De manera equivalente, los espacios vectorialesforman un complejo de cadena . Otra afirmación equivalente es que está contenido en .
Un complejo cúbico es un conjunto compuesto por puntos , segmentos de línea , cuadrados , cubos y sus contrapartes n- dimensionales . Se utilizan de forma análoga a los simples para formar complejos. Un intervalo elemental es un subconjunto de la forma
para algunos . Un cubo elemental es el producto finito de intervalos elementales, es decir
dónde son intervalos elementales. De manera equivalente, un cubo elemental es cualquier traslación de un cubo unitario incrustado en el espacio euclidiano (para algunos con ). Un conjuntoes un complejo cúbico si se puede escribir como una unión de cubos elementales (o posiblemente, es homeomorfo para tal conjunto) y contiene todas las caras de todos sus cubos. El operador de límite y el complejo de cadena se definen de manera similar a los de los complejos simpliciales.
Más generales son los complejos celulares .
Un complejo de cadenas es una secuencia de espacios vectoriales conectados por operadores lineales (llamados operadores de límites ), de modo que la composición de dos mapas consecutivos sea el mapa cero. Explícitamente, los operadores de límites satisfacen, o con índices suprimidos, . El complejo se puede escribir de la siguiente manera.
Un mapa simplicial es un mapa entre complejos simpliciales con la propiedad de que las imágenes de los vértices de un simplex siempre abarcan un simplex (por lo tanto, los vértices tienen vértices para las imágenes). Un mapa simple de un complejo simplicial a otro es una función del conjunto de vértices de al vértice conjunto de tal que la imagen de cada simplex en (visto como un conjunto de vértices) es un simplex en . Genera un mapa lineal, llamado mapa de cadena , a partir del complejo de cadena de al complejo de cadenas de . Explícitamente, se da en-cadenas por
Si son todos distintos, y de lo contrario se establece igual a .
Un mapa de cadena entre dos complejos de cadenas y es una secuencia de homomorfismos para cada que conmuta con los operadores de límite en los dos complejos de cadena, por lo que . Esto está escrito en el siguiente diagrama conmutativo :
Un mapa de cadena envía ciclos a ciclos y límites a límites.
Ver referencias. [11] [10] [12]
Formas diferenciales discretas: cochains
Para cada espacio vectorial C i en el complejo de cadenas, consideramos su espacio dual y es su operador lineal dual
Esto tiene el efecto de "invertir todas las flechas" del complejo original, dejando un complejo cocadena
El complejo cochain es la noción dual de un complejo de cadena. Consiste en una secuencia de espacios vectoriales conectado por operadores lineales satisfactorio . El complejo de cadenas conjuntas puede escribirse de forma similar al complejo de cadenas.
El índice en cualquiera o se denomina grado (o dimensión ). La diferencia entre los complejos de cadena y cocadena es que, en los complejos de cadena, los diferenciales disminuyen la dimensión, mientras que en los complejos de cocadena aumentan la dimensión.
Los elementos de los espacios vectoriales individuales de un complejo de (co) cadena se denominan cocains . Los elementos en el núcleo dese llaman cociclos (o elementos cerrados ), y los elementos en la imagen dese llaman co - límites (o elementos exactos ). Desde la definición del diferencial, todos los límites son ciclos.
El lema de Poincaré establece que si es una bola abierta en , cualquiera cerrado -formulario definido en es exacto, para cualquier número entero con .
Cuando nos referimos a las cochains como formas discretas (diferenciales) , nos referimos acomo el derivado exterior . También usamos la notación de cálculo para los valores de las formas:
El teorema de Stokes es un enunciado sobre las formas diferenciales discretas en variedades , que generaliza el teorema fundamental del cálculo discreto para una partición de un intervalo:
El teorema de Stokes dice que la suma de una forma sobre el límite de alguna variedad orientablees igual a la suma de su derivada exterior sobre la totalidad de , es decir,
Vale la pena examinar el principio subyacente considerando un ejemplo de dimensiones. La idea esencial se puede entender por el diagrama de la izquierda, que muestra que, en un mosaico orientado de un colector, los caminos interiores se recorren en direcciones opuestas; sus contribuciones a la integral de trayectoria se cancelan entre sí por pares. Como consecuencia, solo queda la contribución de la frontera.
Ver referencias. [11] [10]
El producto de la cuña de las formas
En cálculo discreto, esta es una construcción que crea a partir de formas formas de orden superior: dos cadenas adyacentes de grado y para formar una cocadena compuesta de grado .
Para los complejos cúbicos , el producto de la cuña se define en cada cubo visto como un espacio vectorial de la misma dimensión.
Para los complejos simpliciales , el producto de cuña se implementa como el producto de taza : si es un -cochain y es un -cochain, luego
dónde es un - simplex y, es el simplex dividido por en el -simplex cuyos vértices están indexados por . Entonces, es el -th cara frontal y es el -th cara posterior de, respectivamente.
El co-límite del producto de copa de las monedas y es dado por
El producto de taza de dos ciclos es nuevamente un ciclo, y el producto de un co-límite con un co-ciclo (en cualquier orden) es un co-límite.
La operación del producto de taza satisface la identidad
En otras palabras, la multiplicación correspondiente es conmutativa por grados .
Ver referencias. [11]
Operador de Laplace
El operador de Laplace de una función en un vértice , es (hasta un factor) la tasa a la que el valor medio de sobre un vecindario celular de se desvía de . El operador de Laplace representa la densidad de flujo del gradiente de flujo de una función. Por ejemplo, la velocidad neta a la que una sustancia química disuelta en un fluido se acerca o se aleja de algún punto es proporcional al operador de Laplace de la concentración de la sustancia química en ese punto; expresada simbólicamente, la ecuación resultante es la ecuación de difusión . Por estas razones, se usa ampliamente en las ciencias para modelar varios fenómenos físicos.
El codiferencial
es un operador definido en -formas por:
dónde es la derivada o diferencial exterior yes el operador estrella de Hodge .
El codiferencial es el adjunto de la derivada exterior según el teorema de Stokes:
Dado que el diferencial satisface , el codiferencial tiene la propiedad correspondiente
El operador de Laplace se define por:
Ver referencias. [10]
Relacionados
- Diferenciación numérica
- Integracion numerica
- Ecuaciones diferenciales ordinarias numéricas
- Diferencias divididas
- Coeficientes de diferencias finitas
- Método de diferencias finitas
- Método de volumen finito
- Método de elementos finitos
- Método de elementos discretos
Ver también
- Cálculo en gráficos ponderados finitos
- Operador discreto de Laplace
- Teoría de Morse discreta
- Geometría diferencial discreta
- Autómata celular
- Cálculo de diferencias finitas
- Cálculo de diferencias finitas, cálculo discreto o análisis discreto
Referencias
- ^ Jean Dieudonné (1988). Una historia de la topología diferencial y algebraica 1900–1960 . Birkhäuser Boston. ISBN 9780817649074.
- ^ Marie-Flavie Auclair-Fortier, Djemel Ziou, Madjid Allili (2004). Enfoque de topología algebraica computacional global para difusión En: Proc. SPIE. 5299, Imagen computacional II .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ a b Grady, Leo J., Polimeni, Jonathan R. (2010). Cálculo discreto en gráficos .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
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