El concepto de sistema dinámico es una formalización matemática para cualquier "regla" fija que describe la dependencia temporal de la posición de un punto en su espacio ambiental . El concepto unifica tipos muy diferentes de tales "reglas" en matemáticas: las diferentes elecciones hechas sobre cómo se mide el tiempo y las propiedades especiales del espacio ambiental pueden dar una idea de la inmensidad de la clase de objetos descritos por este concepto. El tiempo puede medirse mediante números enteros, reales o complejos o puede ser un objeto algebraico más general, perdiendo la memoria de su origen físico, y el espacio ambiental puede ser simplemente un conjunto , sin la necesidad de un suave estructura espacio-temporal definida en él.
Definicion formal
Hay dos clases de definiciones para un sistema dinámico: una está motivada por ecuaciones diferenciales ordinarias y tiene un sabor geométrico; y el otro está motivado por la teoría ergódica y tiene una medida de sabor teórico . Las definiciones teóricas de medida asumen la existencia de una transformación que preserva la medida. Esto parece excluir los sistemas disipativos , ya que en un sistema disipativo una pequeña región del espacio de fase se contrae con la evolución del tiempo. Una construcción simple (a veces llamada teorema de Krylov-Bogolyubov ) muestra que siempre es posible construir una medida para hacer de la regla de evolución del sistema dinámico una transformación que preserva la medida. En la construcción se suma una medida dada del espacio de estados para todos los puntos futuros de una trayectoria, asegurando la invariancia.
La dificultad de construir la medida natural para un sistema dinámico dificulta el desarrollo de la teoría ergódica a partir de ecuaciones diferenciales, por lo que resulta conveniente tener una definición motivada por sistemas dinámicos dentro de la teoría ergódica que evite la elección de la medida.
Definición general
En el sentido más general, [1] [2] un sistema dinámico es una tupla ( T , M , Φ) donde T es un monoide , escrito aditivamente, M es un no vacío conjunto y Φ es una función
con
- (dónde es el segundo mapa de proyección )
- por y
La función Φ ( t , x ) se denomina función de evolución del sistema dinámico: asocia a cada punto del conjunto M una imagen única, dependiendo de la variable t , denominada parámetro de evolución . M se llama espacio de fase o espacio de estados , mientras que la variable x representa un estado inicial del sistema.
A menudo escribimos
si tomamos una de las variables como constante.
se llama flujo a través de xy su trayectoria gráfica a través de x . El conjunto
se llama la órbita a través de x . Tenga en cuenta que la órbita a través de x es la imagen del flujo a través de x . Un subconjunto S del espacio de estados M se llama Φ- invariante si para todo x en S y todo t en T
Así, en particular, si S es Φ- invariante, para todos x en S . Es decir, el flujo a través de x debe ser definido para todos los tiempos para cada elemento de S .
Casos geométricos
En los siguientes casos, M es una variedad (o su caso extremo, un gráfico ). Los sistemas dinámicos se definen como tuplas de las cuales un elemento es una variedad.
Sistema dinámico real
Un sistema dinámico real , un sistema dinámico en tiempo real , un sistema dinámico en tiempo continuo o un flujo es una tupla ( T , M , Φ) con T un intervalo abierto en los números reales R , M una variedad localmente difeomórfica a un espacio de Banach , y Φ una función continua . Si T = R llamamos al sistema global , si T está restringido a los reales no negativos, llamamos al sistema semiflujo . Si Φ es continuamente diferenciable , decimos que el sistema es un sistema dinámico diferenciable . Si la variedad M es localmente difeomórfica a R n , el sistema dinámico es de dimensión finita ; si no, el sistema dinámico es de dimensión infinita . Tenga en cuenta que esto no asume una estructura simpléctica .
Sistema dinámico discreto
Un sistema dinámico discreto , de tiempo discreto del sistema dinámico , mapa o en cascada es una tupla ( T , M , Φ) donde T es el conjunto de números enteros , M es un colector localmente difeomorfa a un espacio de Banach , y Φ es una función. Si T está restringido a los enteros no negativos, llamamos al sistema una semi-cascada . [3]
Autómata celular
Un autómata celular es una tupla ( T , M , Φ), con T un entramado como los enteros o una cuadrícula de enteros de dimensiones superiores , M es un conjunto de funciones desde un entramado de enteros (de nuevo, con una o más dimensiones) a un conjunto finito, y Φ una función de evolución (definida localmente). Como tales, los autómatas celulares son sistemas dinámicos. El enrejado en M representa el enrejado del "espacio", mientras que el de T representa el enrejado del "tiempo".
Medir definición teórica
Un sistema dinámico puede definirse formalmente, como una transformación que conserva la medida de un espacio de medida , el triplete ( T , ( X , Σ, μ ), Φ). Aquí, T es un monoide (generalmente los enteros no negativos), X es un conjunto y ( X , Σ, μ ) es un espacio de probabilidad . Se dice que un mapa Φ: X → X es Σ-medible si y solo si, para cada σ en Σ, uno tiene Φ −1 ( σ ) ∈ Σ. Se dice que un mapa Φ conserva la medida si y solo si, para cada σ en Σ, uno tiene μ (Φ −1 ( σ )) = μ ( σ ). Combinando lo anterior, se dice que un mapa Φ es una transformación de X que conserva la medida , si es un mapa de X a sí mismo, es Σ-medible y conserva la medida. El triplete ( T , ( X , Σ, μ ), Φ), para tal Φ, se define entonces como un sistema dinámico .
El mapa Φ representa la evolución temporal del sistema dinámico. Por lo tanto, para sistemas dinámicos discretos, la iteración para cada entero n se estudian. Para sistemas dinámicos continuos, el mapa Φ se entiende como un mapa de evolución en tiempo finito y la construcción es más complicada.
Relación con la definición geométrica
Se pueden asociar muchas medidas invariantes diferentes a cualquier regla de evolución. En la teoría ergódica se supone que se ha hecho la elección, pero si el sistema dinámico está dado por un sistema de ecuaciones diferenciales, se debe determinar la medida apropiada. Algunos sistemas tienen una medida natural, como la medida de Liouville en los sistemas hamiltonianos , elegida sobre otras medidas invariantes, como las medidas apoyadas en las órbitas periódicas del sistema hamiltoniano. Para muchos sistemas caóticos disipativos, la elección de la medida invariante es técnicamente más desafiante. La medida debe apoyarse en el atractor , pero los atractores tienen una medida de Lebesgue cero y las medidas invariantes deben ser singulares con respecto a la medida de Lebesgue.
Para los sistemas dinámicos hiperbólicos, las medidas Sinai-Ruelle-Bowen parecen ser la elección natural. Están construidos sobre la estructura geométrica de las variedades estables e inestables del sistema dinámico; se comportan físicamente ante pequeñas perturbaciones; y explican muchas de las estadísticas observadas de los sistemas hiperbólicos.
Construcción de sistemas dinámicos
El concepto de evolución en el tiempo es fundamental para la teoría de los sistemas dinámicos como se vio en las secciones anteriores: la razón básica de este hecho es que la motivación inicial de la teoría fue el estudio del comportamiento temporal de los sistemas mecánicos clásicos , es decir, la Estudio de los problemas de valores iniciales para su descripción de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias .
dónde
- representa la velocidad del material punto x
- v : T × M → TM es un campo vectorial en R n o C n y representa el cambio de velocidad inducido por las fuerzas conocidas que actúan sobre el punto material dado. Dependiendo de las propiedades de este campo vectorial, el sistema mecánico se llama
- autónomo , cuando v ( t , x ) = v ( x )
- homogéneo cuando v ( t , 0 ) = 0 para todo t
La solución es la función de evolución ya introducida anteriormente.
Alguna manipulación formal del sistema de ecuaciones diferenciales que se muestra arriba da una forma más general de ecuaciones que un sistema dinámico debe satisfacer.
dónde es un funcional del conjunto de funciones de evolución al campo de los números complejos.
Compactificación de un sistema dinámico
Dado un sistema dinámico global ( R , X , Φ) en un localmente compacto y Hausdorff espacio topológico X , a menudo es útil para estudiar la extensión continua Φ * de Φ a la de un punto compactificación X * de X . Aunque perdemos la estructura diferencial del sistema original, ahora podemos usar argumentos de compacidad para analizar el nuevo sistema ( R , X * , Φ *).
En los sistemas dinámicos compactos, el conjunto límite de cualquier órbita no está vacío , es compacto y está simplemente conectado .
Referencias
- ^ Giunti M. y Mazzola C. (2012), " Sistemas dinámicos en monoides: hacia una teoría general de sistemas deterministas y movimiento ". En Minati G., Abram M., Pessa E. (eds.), Métodos, modelos, simulaciones y enfoques hacia una teoría general del cambio , págs. 173-185, Singapur: World Scientific. ISBN 978-981-4383-32-5
- ^ Mazzola C. y Giunti M. (2012), " Dinámica reversible y direccionalidad del tiempo ". En Minati G., Abram M., Pessa E. (eds.), Métodos, modelos, simulaciones y enfoques hacia una teoría general del cambio , págs. 161-171, Singapur: World Scientific. ISBN 978-981-4383-32-5 .
- ^ Galor, Oded (2010). Sistemas dinámicos discretos . Saltador.
- Arnold, Vladimir I. (2006). "Conceptos fundamentales". Ecuaciones diferenciales ordinarias . Berlín: Springer Verlag. ISBN 3-540-34563-9.
- Chueshov, ID Introducción a la teoría de los sistemas disipativos de dimensión infinita .versión en línea de la primera edición en el sitio EMIS [1] .
- Temam, Roger (1997) [1988]. Sistemas dinámicos de dimensión infinita en mecánica y física . Springer Verlag.