En la teoría de control , un sistema de parámetros distribuidos (a diferencia de un sistema de parámetros agrupados ) es un sistema cuyo espacio de estados es de dimensión infinita . Por lo tanto, estos sistemas también se conocen como sistemas de dimensión infinita. Los ejemplos típicos son sistemas descritos por ecuaciones diferenciales parciales o por ecuaciones diferenciales de retardo .
Sistemas de parámetros distribuidos lineales invariantes en el tiempo
Ecuaciones de evolución abstractas
Tiempo discreto
Con espacios U , X e Y de Hilbert y ∈ L ( X ), ∈ L ( U , X ), ∈ L ( X , Y ) y ∈ L ( U , Y ) las siguientes ecuaciones en diferencias determinan un sistema invariante en el tiempo lineal en tiempo discreto :
con (el estado) una secuencia con valores en X ,(la entrada o control) una secuencia con valores en U y(la salida) una secuencia con valores en Y .
Tiempo continuo
El caso de tiempo continuo es similar al caso de tiempo discreto, pero ahora se consideran ecuaciones diferenciales en lugar de ecuaciones en diferencias:
- ,
- .
Sin embargo, una complicación adicional ahora es que para incluir ejemplos físicos interesantes como ecuaciones diferenciales parciales y ecuaciones diferenciales de retardo en este marco abstracto, uno se ve obligado a considerar operadores ilimitados . Por lo general A se asume para generar un semigrupo fuertemente continuo en el espacio de estado X . Suponiendo que B , C y D sean operadores acotados, entonces ya permite la inclusión de muchos ejemplos físicos interesantes, [1] pero la inclusión de muchos otros ejemplos físicos interesantes fuerza la ilimitación de B y C también.
Ejemplo: una ecuación diferencial parcial
La ecuación diferencial parcial con y dada por
encaja en el marco de la ecuación de evolución abstracta descrito anteriormente como sigue. El espacio de entrada U y el espacio de salida Y se eligen ambos para ser el conjunto de números complejos. El espacio de estados X se elige para que sea L 2 (0, 1). El operador A se define como
Se puede demostrar [2] que A genera una fuerza continua semigrupo en X . Los operadores acotados B , C y D se definen como
Ejemplo: una ecuación diferencial de retardo
La ecuación diferencial de retardo
encaja en el marco de la ecuación de evolución abstracta descrito anteriormente como sigue. El espacio de entrada U y el espacio de salida Y se eligen ambos para ser el conjunto de números complejos. El espacio de estados X se elige como el producto de los números complejos con L 2 (- τ , 0). El operador A se define como
Se puede demostrar [3] que A genera un semigrupo fuertemente continuo en X. Los operadores acotados B , C y D se definen como
Funciones de transferencia
Como en el caso de dimensión finita, la función de transferencia se define mediante la transformada de Laplace (tiempo continuo) o la transformada Z (tiempo discreto). Mientras que en el caso de dimensión finita la función de transferencia es una función racional propiamente dicha, la dimensión infinita del espacio de estados conduce a funciones irracionales (que, sin embargo, siguen siendo holomórficas ).
Tiempo discreto
En tiempo discreto, la función de transferencia se da en términos de los parámetros del espacio de estado por y es holomórfico en un disco centrado en el origen. [4] En caso de que 1 / z pertenezca al conjunto resolutivo de A (que es el caso de un disco posiblemente más pequeño centrado en el origen), la función de transferencia es igual a. Un hecho interesante es que cualquier función que sea holomórfica en cero es la función de transferencia de algún sistema de tiempo discreto.
Tiempo continuo
Si A genera un semigrupo fuertemente continuo y B , C y D son operadores acotados, entonces [5] la función de transferencia viene dada en términos de los parámetros del espacio de estados porpara s con parte real mayor que el crecimiento exponencial del intervalo establecido semigrupo generado por una . En situaciones más generales, esta fórmula, tal como está, puede que ni siquiera tenga sentido, pero una generalización adecuada de esta fórmula sigue siendo válida. [6] Para obtener una expresión fácil para la función de transferencia, a menudo es mejor tomar la transformada de Laplace en la ecuación diferencial dada que usar las fórmulas del espacio de estados como se ilustra a continuación en los ejemplos anteriores.
Función de transferencia para el ejemplo de ecuación diferencial parcial
Establecer la condición inicial igual a cero y que denota transformadas de Laplace con respecto a t con letras mayúsculas, obtenemos de la ecuación diferencial parcial dada anteriormente
Esta es una ecuación diferencial lineal no homogénea con como variable, s como parámetro y condición inicial cero. La solucion es. Sustituyendo esto en la ecuación para Y y la integración da para que la función de transferencia sea .
Función de transferencia para el ejemplo de ecuación diferencial de retardo
Procediendo de manera similar al ejemplo de la ecuación diferencial parcial, la función de transferencia para el ejemplo de la ecuación de retardo es [7] .
Controlabilidad
En el caso de dimensión infinita hay varias definiciones no equivalentes de controlabilidad que, para el caso de dimensión finita, colapsan en la noción habitual de controlabilidad. Los tres conceptos de controlabilidad más importantes son:
- Controlabilidad exacta,
- Controlabilidad aproximada,
- Controlabilidad nula.
Controlabilidad en tiempo discreto
Los mapas juegan un papel importante que mapean el conjunto de todas las secuencias valoradas en U en X y están dadas por. La interpretación es quees el estado que se alcanza aplicando la secuencia de entrada u cuando la condición inicial es cero. El sistema se llama
- exactamente controlable en el tiempo n si el rango dees igual a X ,
- aproximadamente controlable en el tiempo n si el rango dees denso en X ,
- nulo controlable en el tiempo n si el rango deincluye el rango de A n .
Controlabilidad en tiempo continuo
En la controlabilidad de los sistemas de tiempo continuo, el mapa dada por juega el papel que juega en tiempo discreto. Sin embargo, el espacio de funciones de control sobre el que actúa este operador ahora influye en la definición. La elección habitual es L 2 (0, ∞; U ), el espacio de (clases de equivalencia de) funciones integrables cuadradas valoradas en U en el intervalo (0, ∞), pero otras opciones como L 1 (0, ∞; U ) es posible. Las diferentes nociones de controlabilidad pueden definirse una vez que el dominio deesta elegido. El sistema se llama [8]
- exactamente controlable en el tiempo t si el rango dees igual a X ,
- aproximadamente controlable en el tiempo t si el rango dees denso en X ,
- nulo controlable en el tiempo t si el rango de incluye la gama de .
Observabilidad
Como en el caso de dimensión finita, la observabilidad es la noción dual de controlabilidad. En el caso de dimensión infinita, hay varias nociones diferentes de observabilidad que coinciden en el caso de dimensión finita. Los tres más importantes son:
- Observabilidad exacta (también conocida como observabilidad continua),
- Observabilidad aproximada,
- Observabilidad del estado final.
Observabilidad en tiempo discreto
Los mapas juegan un papel importante que mapean X en el espacio de todas las secuencias valoradas en Y y están dadas porsi k ≤ n y cero si k > n . La interpretación es quees la salida truncada con la condición inicial x y el control cero. El sistema se llama
- exactamente observable en el tiempo n si existe un k n > 0 tal quepara todo x ∈ X ,
- aproximadamente observable en el tiempo n sies inyectable ,
- estado final observable en el tiempo n si existe un k n > 0 tal quepara todos x ∈ X .
Observabilidad en tiempo continuo
En la observabilidad de sistemas de tiempo continuo, el mapa dada por para s∈ [0, t] y cero para s> t juega el papel de quejuega en tiempo discreto. Sin embargo, el espacio de funciones al que se asigna este operador ahora influye en la definición. La elección habitual es L 2 (0, ∞, Y ), el espacio de (clases de equivalencia de) funciones integrables cuadradas valoradas en Y en el intervalo (0, ∞) , pero otras opciones como L 1 (0, ∞, Y ) es posible. Las diferentes nociones de observabilidad se pueden definir una vez que el co-dominio deesta elegido. El sistema se llama [9]
- exactamente observable en el tiempo t si existe un k t > 0 tal quepara todo x ∈ X ,
- aproximadamente observable en el tiempo t sies inyectable ,
- estado final observable en el tiempo t si existe un k t > 0 tal quepara todos x ∈ X .
Dualidad entre controlabilidad y observabilidad
Como en el caso de dimensión finita, controlabilidad y observabilidad son conceptos duales (al menos cuando para el dominio de y el co-dominio de se hace la elección habitual de L 2 ). La correspondencia bajo la dualidad de los diferentes conceptos es: [10]
- Controlabilidad exacta ↔ Observabilidad exacta,
- Controlabilidad aproximada ↔ Observabilidad aproximada,
- Controlabilidad nula ↔ Observabilidad del estado final.
Ver también
Notas
- ^ Cortina y Zwart
- ^ Ejemplo 2.2.4 de Curtain y Zwart
- ^ Teorema de cortina y Zwart 2.4.6
- ^ Esta es la convención matemática, los ingenieros parecen preferir que las funciones de transferencia sean holomórficas en el infinito; esto se logra reemplazando z por 1 / z
- ^ Cortina y Zwart Lemma 4.3.6
- ^ Teorema de Staffans 4.6.7
- ^ Ejemplo 4.3.13 de Curtain y Zwart
- ^ Definición de Tucsnak 11.1.1
- ^ Definición de Tucsnak 6.1.1
- ^ Teorema de Tucsnak 11.2.1
Referencias
- Cortina, Ruth ; Zwart, Hans (1995), Introducción a la teoría de los sistemas lineales de dimensión infinita , Springer
- Tucsnak, Marius; Weiss, George (2009), Observación y control para semigrupos de operadores , Birkhauser
- Staffans, Olof (2005), Sistemas lineales bien planteados , Cambridge University Press
- Luo, Zheng-Hua; Guo, Bao-Zhu; Morgul, Omer (1999), Estabilidad y estabilización de sistemas dimensionales infinitos con aplicaciones , Springer
- Lasiecka, Irena ; Triggiani, Roberto (2000), Teoría de control para ecuaciones diferenciales parciales , Cambridge University Press
- Bensoussan, Alain; Da Prato, Giuseppe; Delfour, Michel; Mitter, Sanjoy (2007), Representación y control de sistemas dimensionales infinitos (segunda ed.), Birkhauser