" Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse " ( traducción al inglés habitual : " Sobre el número de primos menores que una magnitud dada ") es un artículo fundamental de 9 páginas de Bernhard Riemann publicado en la edición de noviembre de 1859 del Monatsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin .
Descripción general
Este artículo estudia la función de conteo de primos utilizando métodos analíticos. Aunque es el único artículo que Riemann ha publicado sobre teoría de números , contiene ideas que influyeron en miles de investigadores durante finales del siglo XIX y hasta la actualidad. El artículo consta principalmente de definiciones , argumentos heurísticos , bosquejos de pruebas y la aplicación de poderosos métodos analíticos; todos estos se han convertido en conceptos y herramientas esenciales de la teoría analítica de números moderna .
Entre las nuevas definiciones, ideas y notación introducidas:
- El uso de la letra griega zeta (ζ) para una función mencionada previamente por Euler
- La continuación analítica de esta función zeta ζ ( s ) a todo complejo s ≠ 1
- La función completa ξ ( s ), relacionada con la función zeta a través de la función gamma (o la función Π, en el uso de Riemann)
- La función discreta J ( x ) definida para x ≥ 0, que está definida por J (0) = 0 y J ( x ) salta en 1 / n en cada potencia prima p n . (Riemann llama a esta función f ( x ).)
Entre las pruebas y bocetos de pruebas:
- Dos demostraciones de la ecuación funcional de ζ ( s )
- Esquema de prueba de la representación del producto de ξ ( s )
- Esbozo de prueba de la aproximación del número de raíces de ξ ( s ) cuyas partes imaginaria estar entre 0 y T .
Entre las conjeturas realizadas:
- La hipótesis de Riemann , que todos los ceros (no triviales) de ζ ( s ) tienen parte real 1/2. Riemann afirma esto en términos de las raíces de la función ξ relacionada, "... es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichenl bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien ". Es decir, "es muy probable que todas las raíces sean reales. Sin embargo, uno desearía una prueba estricta de esto; sin embargo, después de algunos intentos fugaces e inútiles, he dejado de lado provisionalmente la búsqueda de las mismas, ya que parece innecesario". para el próximo objetivo de mi investigación ". (Estaba discutiendo una versión de la función zeta, modificada para que sus raíces sean reales en lugar de estar en la línea crítica).
Nuevos métodos y técnicas utilizados en la teoría de números:
- Ecuaciones funcionales que surgen de formas automórficas.
- Continuación analítica (aunque no en el espíritu de Weierstrass)
- Integración de contorno
- Inversión de Fourier .
Riemann también discutió la relación entre ζ ( s ) y la distribución de los números primos, usando la función J ( x ) esencialmente como una medida para la integración de Stieltjes . Luego obtuvo el resultado principal del trabajo, una fórmula para J ( x ), comparándolo con ln (ζ ( s )). Luego, Riemann encontró una fórmula para la función de conteo de primos π ( x ) (a la que llama F ( x )). Señala que su ecuación explica el hecho de que π ( x ) crece más lentamente que la integral logarítmica , como lo habían encontrado Carl Friedrich Gauss y Carl Wolfgang Benjamin Goldschmidt .
El artículo contiene algunas peculiaridades para los lectores modernos, como el uso de Π ( s - 1) en lugar de Γ ( s ), escribir tt en lugar de t 2 y usar los límites de ∞ a ∞ para denotar una integral de contorno .
Referencias
- Edwards, HM (1974), Función Zeta de Riemann , Nueva York: Academic Press, ISBN 0-12-232750-0, Zbl 0315.10035
enlaces externos
- Manuscrito de Riemann
- Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebener Grösse (transcripción del artículo de Riemann)
- Sobre el número de primos menores que una magnitud dada (traducción al inglés del artículo de Riemann)