En matemáticas, un dominio MCD es un dominio integral R con la propiedad de que dos elementos cualesquiera tienen un máximo común divisor (MCD); es decir, hay un ideal principal mínimo único que contiene el ideal generado por dos elementos dados. De manera equivalente, dos elementos cualesquiera de R tienen un mínimo común múltiplo (LCM). [1]
Un dominio GCD generaliza un dominio de factorización único (UFD) a un entorno no noetheriano en el siguiente sentido: un dominio integral es un UFD si y solo si es un dominio GCD que satisface la condición de cadena ascendente en ideales principales (y en particular si es noetheriano ).
Los dominios GCD aparecen en la siguiente cadena de inclusiones de clases :
Propiedades
Cada elemento irreducible de un dominio GCD es primo. Un dominio GCD está integralmente cerrado y cada elemento distinto de cero es primario . [2] En otras palabras, cada dominio GCD es un dominio Schreier .
Por cada par de elementos x , y de un dominio GCD R , un GCD d de x y y y un LCM m de x y y puede ser elegido de tal manera que dm = xy , o dicho de otra manera, si x y y son elementos distintos de cero y d es cualquier GCD d de x y y , a continuación, xy / d es una LCM de x y y , y viceversa. De ello se deduce que las operaciones de GCD y LCM convierten el cociente R / ~ en una red distributiva , donde "~" denota la relación de equivalencia de ser elementos asociados . La equivalencia entre la existencia de GCD y la existencia de LCM no es un corolario del resultado similar en redes completas , ya que el cociente R / ~ no necesita ser una red completa para un dominio R de GCD . [ cita requerida ]
Si R es un dominio GCD, entonces el anillo polinomial R [ X 1 , ..., X n ] también es un dominio GCD. [3]
R es un dominio de GCD si y solo si las intersecciones finitas de sus principales ideales son principales. En particular,, dónde es el MCM de y .
Para un polinomio en X sobre un dominio MCD, se puede definir su contenido como el MCD de todos sus coeficientes. Entonces, el contenido de un producto de polinomios es el producto de su contenido, como lo expresa el lema de Gauss , que es válido en los dominios GCD.
Ejemplos de
- Un dominio de factorización único es un dominio GCD. Entre los dominios GCD, los dominios de factorización únicos son precisamente aquellos que también son dominios atómicos (lo que significa que existe al menos una factorización en elementos irreductibles para cualquier no unidad distinta de cero).
- Un dominio de Bézout (es decir, un dominio integral donde todo ideal generado finitamente es principal) es un dominio GCD. A diferencia de los dominios ideales principales (donde todo ideal es principal), un dominio Bézout no necesita ser un dominio de factorización único; por ejemplo, el anillo de funciones completas es un dominio de Bézout no atómico, y hay muchos otros ejemplos. Un dominio integral es un dominio GCD de Prüfer si y solo si es un dominio de Bézout. [4]
- Si R es un dominio GCD no atómico, entonces R [ X ] es un ejemplo de un dominio GCD que no es un dominio de factorización único (ya que no es atómico) ni un dominio Bézout (ya que X y un dominio no invertible y el elemento no nulo a de R genera un ideal que no contiene 1, pero 1 es, no obstante, un MCD de X y a ); más generalmente, cualquier anillo R [ X 1 , ..., X n ] tiene estas propiedades.
- Un anillo monoide conmutativo es un dominio GCD iff es un dominio GCD y es una prueba de torsión cancellative GCD-semigrupo. Un semigrupo GCD es un semigrupo con la propiedad adicional que para cualquier y en el semigrupo , existe un tal que . En particular, sies un grupo abeliano , entonces es un dominio GCD iff es un dominio GCD y es libre de torsión. [5]
- El anillo no es un dominio GCD para todos los números enteros sin cuadrados . [6]
Referencias
- ^ Scott T. Chapman, Sarah Glaz (ed.) (2000). Teoría del anillo conmutativo no noetheriano . Matemáticas y sus aplicaciones. Saltador. pag. 479 . ISBN 0-7923-6492-9.CS1 maint: texto adicional: lista de autores ( enlace )
- ^ prueba de que un dominio de gcd está integralmente cerrado , PlanetMath.org
- ^ Robert W. Gilmer, Anillos conmutativos de semigrupo , University of Chicago Press, 1984, p. 172.
- ^ Ali, Majid M .; Smith, David J. (2003), "Anillos GCD generalizados. II" , Beiträge zur Algebra und Geometrie , 44 (1): 75–98, MR 1990985. P. 84: "Es fácil ver que un dominio integral es un dominio GCD de Prüfer si y solo si es un dominio Bezout, y que un dominio Prüfer no necesita ser un dominio GCD".
- ^ Gilmer, Robert; Parker, Tom (1973), "Propiedades de divisibilidad en anillos de semigrupo" , Michigan Mathematical Journal , 22 (1): 65-86, MR 0342635.
- ^ Mihet, Dorel (2010), "A Note on Non-Unique Factorization Domains (UFD)" , Resonance , 15 (8): 737–739.