Lista de identidades trigonométricas

Igualdades que involucran funciones trigonométricas

Cosenos y senos alrededor del círculo unitario

Trigonometría
Esquema Historia Uso Funciones  ( inversas ) Trigonometría generalizada
Referencia
Identidades Constantes exactas Mesas Circulo unitario
Leyes y teoremas
Senos Cosenos Tangentes Cotangentes Teorema de pitágoras
Cálculo
Sustitución trigonométrica Integrales  ( funciones inversas ) Derivados
v t mi

En matemáticas , las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas y son verdaderas para cada valor de las variables que ocurren para las cuales ambos lados de la igualdad están definidos. Geométricamente, estas son identidades que involucran ciertas funciones de uno o más ángulos . Son distintas de las identidades de triángulos , que son identidades que potencialmente involucran ángulos pero que también involucran longitudes de lados u otras longitudes de un triángulo .

Estas identidades son útiles cuando es necesario simplificar expresiones que involucran funciones trigonométricas. Una aplicación importante es la integración de funciones no trigonométricas: una técnica común implica primero usar la regla de sustitución con una función trigonométrica y luego simplificar la integral resultante con una identidad trigonométrica.

Notación

Ángulos

Signos de funciones trigonométricas en cada cuadrante. Los mnemónicos " All S cience T eachers (son) C Razy" listas de las funciones básicas ( ' Todos' , s en, t an, c os) que son positivos de los cuadrantes I a IV. ^[1] Ésta es una variación del mnemónico " Todos los estudiantes toman cálculo ".

Este artículo utiliza letras griegas como alpha (${\displaystyle \alpha }$), beta (${\displaystyle \beta }$), gamma (${\displaystyle \gamma }$) y theta (${\displaystyle \theta }$) para representar ángulos . Varias unidades diferentes de medida de ángulos se utilizan ampliamente, incluidos grados , radianes y gradianos ( gons ):

1 rotación completa ( vuelta )${\displaystyle =360^{\circ }=2\pi {\text{ radians }}=400{\text{ gons. }}}$

Si no se anota específicamente con (${\displaystyle {}^{\circ }}$) por grado o (${\displaystyle ^{\mathrm {g} }}$) para gradian, se supone que todos los valores de los ángulos en este artículo se dan en radianes.

La siguiente tabla muestra para algunos ángulos comunes sus conversiones y los valores de las funciones trigonométricas básicas:

Conversiones de ángulos comunes

Girar	Grado	Radián	Gradian	Seno	Coseno	Tangente
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0^{\circ }}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle {\frac {1}{12}}}$	${\displaystyle 30^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle 33{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{8}}}$	${\displaystyle 45^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle 50^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	${\displaystyle 60^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle 66{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$	${\displaystyle 90^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle 100^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	Indefinido
${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle 120^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}}$	${\displaystyle 133{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\frac {3}{8}}}$	${\displaystyle 135^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{4}}}$	${\displaystyle 150^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle -1}$
${\displaystyle {\frac {5}{12}}}$	${\displaystyle 150^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {5\pi }{6}}}$	${\displaystyle 166{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle 180^{\circ }}$	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle 200^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle {\frac {7}{12}}}$	${\displaystyle 210^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {7\pi }{6}}}$	${\displaystyle 233{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$
${\displaystyle {\dfrac {5}{8}}}$	${\displaystyle 225^{\circ }}$	${\displaystyle {\dfrac {5\pi }{4}}}$	${\displaystyle 250^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$	${\displaystyle 240^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}}$	${\displaystyle 266{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\frac {3}{4}}}$	${\displaystyle 270^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}}$	${\displaystyle 300^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$	Indefinido
${\displaystyle {\frac {5}{6}}}$	${\displaystyle 300^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {5\pi }{3}}}$	${\displaystyle 333{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\frac {7}{8}}}$	${\displaystyle 315^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {7\pi }{4}}}$	${\displaystyle 350^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle -1}$
${\displaystyle {\frac {11}{12}}}$	${\displaystyle 330^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {11\pi }{6}}}$	${\displaystyle 366{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 360^{\circ }}$	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle 400^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$

Los resultados para otros ángulos se pueden encontrar en Constantes trigonométricas expresadas en radicales reales . Según el teorema de Niven ,${\displaystyle (0,\;30,\;90,\;150,\;180,\;210,\;270,\;330,\;360)}$son los únicos números racionales que, tomados en grados, dan como resultado un valor de seno racional para el ángulo correspondiente dentro del primer giro, lo que puede explicar su popularidad en los ejemplos. ^{[2] [3] [4]} La condición análoga para la unidad radián requiere que el argumento dividido por${\displaystyle \pi }$ es racional y da las soluciones ${\displaystyle 0,\pi /6,\pi /2,5\pi /6,\pi ,7\pi /6,3\pi /2,11\pi /6(,2\pi ).}$

Funciones trigonométricas

Gráfica de las seis funciones trigonométricas, el círculo unitario y una línea para el ángulo ${\displaystyle \theta =0.7}$radianes. Los puntos etiquetados como 1 , Sec (θ) , Csc (θ) representan la longitud del segmento de línea desde el origen hasta ese punto. Sin (θ) , Tan (θ) y 1 son las alturas de la línea que comienza desde el${\displaystyle x}$-eje, mientras que Cos (θ) , 1 y Cot (θ) son longitudes a lo largo del${\displaystyle x}$-eje a partir del origen.

Las funciones seno , coseno y tangente de un ángulo a veces se denominan funciones trigonométricas primarias o básicas . Sus abreviaturas habituales son${\displaystyle \sin(\theta ),\cos(\theta ),}$ y ${\displaystyle \tan(\theta ),}$ respectivamente, donde ${\displaystyle \theta }$denota el ángulo. Los paréntesis alrededor del argumento de las funciones a menudo se omiten, por ejemplo,${\displaystyle \sin \theta }$ y ${\displaystyle \cos \theta ,}$ si una interpretación es inequívocamente posible.

El seno de un ángulo se define, en el contexto de un triángulo rectángulo , como la razón de la longitud del lado opuesto al ángulo dividida por la longitud del lado más largo del triángulo (la hipotenusa ).

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}.}$

El coseno de un ángulo en este contexto es la razón de la longitud del lado adyacente al ángulo dividida por la longitud de la hipotenusa.

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}.}$

La tangente de un ángulo en este contexto es la razón de la longitud del lado opuesto al ángulo dividida por la longitud del lado adyacente al ángulo. Esta es la misma que la razón del seno al coseno de este ángulo, como se puede ver sustituyendo las definiciones de${\displaystyle \sin }$ y ${\displaystyle \cos }$ desde arriba:

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}.}$

Las funciones trigonométricas restantes secantes (${\displaystyle \sec }$), cosecante (${\displaystyle \csc }$) y cotangente (${\displaystyle \cot }$) se definen como las funciones recíprocas de coseno, seno y tangente, respectivamente. En raras ocasiones, se denominan funciones trigonométricas secundarias:

${\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }},\quad \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }},\quad \cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}.}$

Estas definiciones a veces se denominan identidades de razón .

Otras funciones

${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$indica la función de signo , que se define como:

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}}$

Funciones inversas

Las funciones trigonométricas inversas son funciones inversas parciales para las funciones trigonométricas. Por ejemplo, la función inversa del seno, conocida como seno inverso (${\displaystyle \sin ^{-1}}$) o arcsine ( arcsin o asin ), satisface

$${\displaystyle \sin(\arcsin x)=x\quad {\text{for}}\quad |x|\leq 1}$$

y

$${\displaystyle \arcsin(\sin x)=x\quad {\text{for}}\quad |x|\leq {\frac {\pi }{2}}.}$$

Este artículo denotará la inversa de una función trigonométrica anteponiendo su nombre con "${\displaystyle \operatorname {arc} }$". La notación se muestra en la tabla siguiente.

La siguiente tabla muestra los nombres y dominios de las funciones trigonométricas inversas junto con el rango de sus valores principales habituales en radianes .

Función original	Abreviatura		Dominio		Imagen / rango	Función inversa		Dominio de la inversa		Rango de valores principales habituales de inversa
seno	${\displaystyle \sin }$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \to }$	${\displaystyle [-1,1]}$	${\displaystyle \arcsin }$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle [-1,1]}$	${\displaystyle \to }$	${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$
coseno	${\displaystyle \cos }$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \to }$	${\displaystyle [-1,1]}$	${\displaystyle \arccos }$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle [-1,1]}$	${\displaystyle \to }$	${\displaystyle [0,\pi ]}$
tangente	${\displaystyle \tan }$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle \pi \mathbb {Z} +\left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)}$	${\displaystyle \to }$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \arctan }$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \to }$	${\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)}$
cotangente	${\displaystyle \cot }$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle \pi \mathbb {Z} +(0,\pi )}$	${\displaystyle \to }$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \operatorname {arccot} }$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \to }$	${\displaystyle (0,\pi )}$
secante	${\displaystyle \sec }$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle \pi \mathbb {Z} +\left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)}$	${\displaystyle \to }$	${\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,\infty )}$	${\displaystyle \operatorname {arcsec} }$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,\infty )}$	${\displaystyle \to }$	${\displaystyle \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right]}$
cosecante	${\displaystyle \csc }$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle \pi \mathbb {Z} +(0,\pi )}$	${\displaystyle \to }$	${\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,\infty )}$	${\displaystyle \operatorname {arccsc} }$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,\infty )}$	${\displaystyle \to }$	${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]}$

El símbolo ${\displaystyle \mathbb {R} =(-\infty ,\infty )}$denota el conjunto de todos los números reales y${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\ldots ,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,\ldots \}}$denota el conjunto de todos los números enteros . El conjunto de todos los múltiplos enteros de${\displaystyle \pi }$ se denota por

$${\displaystyle \pi \mathbb {Z} ~:=~\{\pi n\;:\;n\in \mathbb {Z} \}~=~\{\ldots ,\,-2\pi ,\,-\pi ,\,0,\,\pi ,\,2\pi ,\,3\pi ,\,4\pi ,\,\ldots \}~=~\{\theta \in \mathbb {R} \;:\;\sin \theta =0\}.}$$

La notación de suma de Minkowski${\displaystyle \pi \mathbb {Z} +(0,\pi )}$ medio

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\pi \mathbb {Z} +(0,\pi )&~=~\cdots \cup (-2\pi ,-\pi )\cup (-\pi ,0)\cup (0,\pi )\cup (\pi ,2\pi )\cup (2\pi ,3\pi )\cup (3\pi ,4\pi )\cup \cdots \\&~=~\mathbb {R} \setminus \pi \mathbb {Z} \\\end{alignedat}}}$$

donde ${\displaystyle \,\setminus \,}$denota la resta de conjuntos . En otras palabras, el dominio de${\displaystyle \,\cot \,}$ y ${\displaystyle \,\csc \,}$ es el set ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \pi \mathbb {Z} }$de todos los números reales que no son de la forma${\displaystyle \pi n}$ por algún entero ${\displaystyle n.}$

Del mismo modo, el dominio de ${\displaystyle \,\tan \,}$ y ${\displaystyle \,\sec \,}$ es el set

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\pi \mathbb {Z} +\left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)&~=~\cdots \cup \left(-{\frac {3\pi }{2}},-{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {3\pi }{2}},{\frac {5\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {5\pi }{2}},{\frac {7\pi }{2}}\right)\cup \cdots \\&~=~\mathbb {R} \setminus \left({\frac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} \right)\\\end{alignedat}}}$$

donde ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \left({\frac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} \right)}$es el conjunto de todos los números reales que no pertenecen al conjunto

$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} ~:=~\left\{{\frac {\pi }{2}}+\pi n:n\in \mathbb {Z} \right\}=\left\{\ldots ,\,-{\frac {3\pi }{2}},\,-{\frac {\pi }{2}},\,{\frac {\pi }{2}},\,{\frac {3\pi }{2}},\,{\frac {5\pi }{2}},\,{\frac {7\pi }{2}},\,\ldots \right\}~=~\{\theta \in \mathbb {R} \;:\;\cos \theta =0\};}$$

dicho de otra manera, el dominio de ${\displaystyle \,\tan \,}$ y ${\displaystyle \,\sec \,}$es el conjunto de todos los números reales que no tienen la forma${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\pi n}$ por algún entero ${\displaystyle n.}$

Estas funciones trigonométricas inversas están relacionadas entre sí por las fórmulas:

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}{\frac {\pi }{2}}~&=~\arcsin(x)&&+\arccos(x)~&&=~\arctan(r)&&+\operatorname {arccot}(r)~&&=~\operatorname {arcsec}(s)&&+\operatorname {arccsc}(s)\\[0.4ex]\pi ~&=~\arccos(x)&&+\arccos(-x)~&&=~\operatorname {arccot}(r)&&+\operatorname {arccot}(-r)~&&=~\operatorname {arcsec}(s)&&+\operatorname {arcsec}(-s)\\[0.4ex]0~&=~\arcsin(x)&&+\arcsin(-x)~&&=~\arctan(r)&&+\arctan(-r)~&&=~\operatorname {arccsc}(s)&&+\operatorname {arccsc}(-s)\\[1.0ex]\end{alignedat}}}$$

que se mantienen siempre que estén bien definidos (es decir, siempre que ${\displaystyle x,r,s,-x,-r,{\text{ and }}-s}$ están en los dominios de las funciones relevantes).

Soluciones a ecuaciones trigonométricas elementales

La siguiente tabla muestra cómo se pueden usar las funciones trigonométricas inversas para resolver las igualdades que involucran las seis funciones trigonométricas estándar. Se supone que los valores dados${\displaystyle \theta ,r,s,x,}$ y ${\displaystyle y}$todos se encuentran dentro de los rangos apropiados para que las expresiones relevantes a continuación estén bien definidas . En la siguiente tabla, "para algunos${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$"es solo otra forma de decir" para algún número entero ${\displaystyle k.}$"

Ecuación	si y solo si	Solución						donde...
${\displaystyle \sin \theta =y}$	⟺ {\ Displaystyle \ iff}	${\displaystyle \theta =\,}$	${\displaystyle (-1)^{k}}$	${\displaystyle \arcsin(y)}$	${\displaystyle +}$		${\displaystyle \pi k}$	para algunos ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle \csc \theta =r}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta =\,}$	${\displaystyle (-1)^{k}}$	${\displaystyle \operatorname {arccsc}(r)}$	${\displaystyle +}$		${\displaystyle \pi k}$	para algunos ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle \cos \theta =x}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta =\,}$	${\displaystyle \pm \,}$	${\displaystyle \arccos(x)}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \pi k}$	para algunos ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle \sec \theta =r}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta =\,}$	${\displaystyle \pm \,}$	${\displaystyle \operatorname {arcsec}(r)}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \pi k}$	para algunos ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle \tan \theta =s}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta =\,}$		${\displaystyle \arctan(s)}$	${\displaystyle +}$		${\displaystyle \pi k}$	para algunos ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle \cot \theta =r}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta =\,}$		${\displaystyle \operatorname {arccot}(r)}$	${\displaystyle +}$		${\displaystyle \pi k}$	para algunos ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$

Por ejemplo, si ${\displaystyle \cos \theta =-1}$ luego ${\displaystyle \theta =\pi +2\pi k=-\pi +2\pi (1+k)}$ para algunos ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$ Mientras que si ${\displaystyle \sin \theta =\pm 1}$ luego ${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2}}+\pi k=-{\frac {\pi }{2}}+\pi (k+1)}$ para algunos ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ,}$ donde ${\displaystyle k}$ es incluso si ${\displaystyle \sin \theta =1}$; extraño si${\displaystyle \sin \theta =-1.}$ Las ecuaciones ${\displaystyle \sec \theta =-1}$ y ${\displaystyle \csc \theta =\pm 1}$ tienen las mismas soluciones que ${\displaystyle \cos \theta =-1}$ y ${\displaystyle \sin \theta =\pm 1,}$respectivamente. En todas las ecuaciones anteriores, excepto en las que se acaban de resolver (es decir, excepto para${\displaystyle \sin }$/${\displaystyle \csc \theta =\pm 1}$ y ${\displaystyle \cos }$/${\displaystyle \sec \theta =-1}$), para fijo ${\displaystyle r,s,x,}$ y ${\displaystyle y,}$ el entero ${\displaystyle k}$ en la fórmula de la solución está determinada únicamente por ${\displaystyle \theta .}$

La siguiente tabla muestra cómo dos ángulos ${\displaystyle \theta }$ y ${\displaystyle \varphi }$ deben estar relacionados si sus valores bajo una función trigonométrica dada son iguales o negativos entre sí.

Ecuación			si y solo si	Solución							donde...	También una solución para
${\displaystyle \sin \theta }$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle \sin \varphi }$	⟺ {\ Displaystyle \ iff}	${\displaystyle \theta =}$	${\displaystyle (-1)^{k}}$	${\displaystyle \varphi }$	${\displaystyle +}$		${\displaystyle \pi k}$		para algunos ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$	${\displaystyle \csc \theta =\csc \varphi }$
${\displaystyle \cos \theta }$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle \cos \varphi }$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta =}$	${\displaystyle \pm \,}$	${\displaystyle \varphi }$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \pi k}$		para algunos ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$	${\displaystyle \sec \theta =\sec \varphi }$
${\displaystyle \tan \theta }$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle \tan \varphi }$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta =}$		${\displaystyle \varphi }$	${\displaystyle +}$		${\displaystyle \pi k}$		para algunos ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$	${\displaystyle \cot \theta =\cot \varphi }$
${\displaystyle -\sin \theta }$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle \sin \varphi }$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta =}$	${\displaystyle (-1)^{k+1}}$	${\displaystyle \varphi }$	${\displaystyle +}$		${\displaystyle \pi k}$		para algunos ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$	${\displaystyle -\csc \theta =\csc \varphi }$
${\displaystyle -\cos \theta }$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle \cos \varphi }$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta =}$	${\displaystyle \pm \,}$	${\displaystyle \varphi }$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \pi k}$	${\displaystyle +\,\;\pi }$	para algunos ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$	${\displaystyle -\sec \theta =\sec \varphi }$
${\displaystyle -\tan \theta }$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle \tan \varphi }$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta =}$	${\displaystyle -}$	${\displaystyle \varphi }$	${\displaystyle +}$		${\displaystyle \pi k}$		para algunos ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$	${\displaystyle -\cot \theta =\cot \varphi }$
${\displaystyle |\sin \theta |}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle |\sin \varphi |}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta =}$	${\displaystyle \pm }$	${\displaystyle \varphi }$	${\displaystyle +}$		${\displaystyle \pi k}$		para algunos ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$	${\displaystyle |\tan \theta |=|\tan \varphi |}$
	⇕											${\displaystyle |\csc \theta |=|\csc \varphi |}$
${\displaystyle |\cos \theta |}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle |\cos \varphi |}$										${\displaystyle |\sec \theta |=|\sec \varphi |}$
												${\displaystyle |\cot \theta |=|\cot \varphi |}$

Identidades pitagóricas

En trigonometría, la relación básica entre el seno y el coseno viene dada por la identidad pitagórica:

$${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,}$$

donde ${\displaystyle \sin ^{2}\theta }$ medio ${\displaystyle (\sin \theta )^{2}}$ y ${\displaystyle \cos ^{2}\theta }$ medio ${\displaystyle (\cos \theta )^{2}.}$

Esto puede verse como una versión del teorema de Pitágoras , y se sigue de la ecuación${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$para el círculo unitario . Esta ecuación se puede resolver para el seno o el coseno:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }},\\\cos \theta &=\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}.\end{aligned}}}$

donde el signo depende del cuadrante de${\displaystyle \theta .}$

Dividiendo esta identidad por ${\displaystyle \sin ^{2}\theta }$ o ${\displaystyle \cos ^{2}\theta }$ produce las otras dos identidades pitagóricas:

$${\displaystyle 1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta \quad {\text{and}}\quad \tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta .}$$

Usando estas identidades junto con las identidades de razón, es posible expresar cualquier función trigonométrica en términos de cualquier otra ( hasta un signo más o menos):

Cada función trigonométrica en términos de cada una de las otras cinco. ^[5]

en términos de	${\displaystyle \sin \theta }$	${\displaystyle \cos \theta }$	${\displaystyle \tan \theta }$	${\displaystyle \csc \theta }$	${\displaystyle \sec \theta }$	${\displaystyle \cot \theta }$
${\displaystyle \sin \theta =}$	${\displaystyle \sin \theta }$	${\displaystyle \pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\csc \theta }}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}}$
${\displaystyle \cos \theta =}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle \cos \theta }$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sec \theta }}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}}$
${\displaystyle \tan \theta =}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}}$	${\displaystyle \tan \theta }$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\cot \theta }}}$
${\displaystyle \csc \theta =}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sin \theta }}}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}{\tan \theta }}}$	${\displaystyle \csc \theta }$	${\displaystyle \pm {\frac {\sec \theta }{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$
${\displaystyle \sec \theta =}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\cos \theta }}}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\csc \theta }{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}}$	${\displaystyle \sec \theta }$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}{\cot \theta }}}$
${\displaystyle \cot \theta =}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}{\sin \theta }}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\cos \theta }{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\tan \theta }}}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}}$	${\displaystyle \cot \theta }$

Abreviaturas históricas

Todas las funciones trigonométricas de un ángulo. ${\displaystyle \theta }$se puede construir geométricamente en términos de una unidad de círculo con centro en  O . Muchos de estos términos ya no son de uso común; sin embargo, este diagrama no es exhaustivo. ^{[ aclaración necesaria ]}

En la navegación se utilizaron versine , coversine , haversine y exsecant . Por ejemplo, se utilizó la fórmula de Haversine para calcular la distancia entre dos puntos en una esfera. Rara vez se utilizan hoy en día.

Nombre	Abreviatura	Valor [6] [7]
(derecha) ángulo complementario, co-ángulo	${\displaystyle \operatorname {co} \theta }$	${\displaystyle {\pi \over 2}-\theta }$
verso seno, verso	${\displaystyle \operatorname {versin} \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {vers} \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {ver} \theta }$	${\displaystyle 1-\cos \theta }$
coseno versado, vercoseno	${\displaystyle \operatorname {vercosin} \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {vercos} \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {vcs} \theta }$	${\displaystyle 1+\cos \theta }$
seno cubierto , coverine	${\displaystyle \operatorname {coversin} \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {covers} \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {cvs} \theta }$	${\displaystyle 1-\sin \theta }$
coseno cubierto , coseno cubierto	${\displaystyle \operatorname {covercosin} \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {covercos} \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {cvc} \theta }$	${\displaystyle 1+\sin \theta }$
seno medio versado, haversine	${\displaystyle \operatorname {haversin} \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {hav} \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {sem} \theta }$	${\displaystyle {\frac {1-\cos \theta }{2}}}$
coseno medio versado, havercoseno	${\displaystyle \operatorname {havercosin} \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {havercos} \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {hvc} \theta }$	${\displaystyle {\frac {1+\cos \theta }{2}}}$
seno medio cubierto, hacoversine cohaversine	${\displaystyle \operatorname {hacoversin} \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {hacovers} \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {hcv} \theta }$	${\displaystyle {\frac {1-\sin \theta }{2}}}$
coseno medio cubierto, hacovercosine cohavercosine	${\displaystyle \operatorname {hacovercosin} \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {hacovercos} \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {hcc} \theta }$	${\displaystyle {\frac {1+\sin \theta }{2}}}$
secante exterior, exsecante	${\displaystyle \operatorname {exsec} \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {exs} \theta }$	${\displaystyle \sec \theta -1}$
cosecante exterior, excosecante	${\displaystyle \operatorname {excosec} \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {excsc} \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {exc} \theta }$	${\displaystyle \csc \theta -1}$
acorde	${\displaystyle \operatorname {crd} \theta }$	${\displaystyle 2\sin {\frac {\theta }{2}}}$

Reflexiones, cambios y periodicidad

Reflexionando ${\displaystyle \theta }$ en ${\displaystyle \alpha =0}$ (${\displaystyle \alpha =\pi }$).

Al examinar el círculo unitario, se pueden establecer las siguientes propiedades de las funciones trigonométricas.

Reflexiones

Cuando la dirección de un vector euclidiano está representada por un ángulo ${\displaystyle \theta ,}$ este es el ángulo determinado por el vector libre (comenzando en el origen) y el positivo ${\displaystyle x}$-vector unitario. El mismo concepto también se puede aplicar a las líneas en un espacio euclidiano, donde el ángulo es el determinado por un paralelo a la línea dada a través del origen y el positivo${\displaystyle x}$-eje. Si una línea (vector) con dirección${\displaystyle \theta }$ se refleja sobre una línea con dirección ${\displaystyle \alpha ,}$ entonces el ángulo de dirección ${\displaystyle \theta ^{\prime }}$ de esta línea reflejada (vector) tiene el valor

$${\displaystyle \theta ^{\prime }=2\alpha -\theta .}$$

Los valores de las funciones trigonométricas de estos ángulos ${\displaystyle \theta ,\;\theta ^{\prime }}$ para ángulos específicos ${\displaystyle \alpha }$satisfacen identidades simples: o son iguales, o tienen signos opuestos, o emplean la función trigonométrica complementaria. También se conocen como fórmulas de reducción . ^[8]

${\displaystyle \theta }$ reflejado en ${\displaystyle \alpha =0}$[9] identidades pares / impares	${\displaystyle \theta }$ reflejado en ${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle \theta }$ reflejado en ${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle \theta }$ reflejado en ${\displaystyle \alpha =\pi }$ comparar con ${\displaystyle \alpha =0}$
${\displaystyle \sin(-\theta )=-\sin \theta }$	${\displaystyle \sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta }$	${\displaystyle \sin(\pi -\theta )=+\sin \theta }$	${\displaystyle \sin(2\pi -\theta )=-\sin(\theta )=\sin(-\theta )}$
${\displaystyle \cos(-\theta )=+\cos \theta }$	${\displaystyle \cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \theta }$	${\displaystyle \cos(\pi -\theta )=-\cos \theta }$	${\displaystyle \cos(2\pi -\theta )=+\cos(\theta )=\cos(-\theta )}$
${\displaystyle \tan(-\theta )=-\tan \theta }$	${\displaystyle \tan \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cot \theta }$	${\displaystyle \tan(\pi -\theta )=-\tan \theta }$	${\displaystyle \tan(2\pi -\theta )=-\tan(\theta )=\tan(-\theta )}$
${\displaystyle \csc(-\theta )=-\csc \theta }$	${\displaystyle \csc \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sec \theta }$	${\displaystyle \csc(\pi -\theta )=+\csc \theta }$	${\displaystyle \csc(2\pi -\theta )=-\csc(\theta )=\csc(-\theta )}$
${\displaystyle \sec(-\theta )=+\sec \theta }$	${\displaystyle \sec \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\csc \theta }$	${\displaystyle \sec(\pi -\theta )=-\sec \theta }$	${\displaystyle \sec(2\pi -\theta )=+\sec(\theta )=\sec(-\theta )}$
${\displaystyle \cot(-\theta )=-\cot \theta }$	${\displaystyle \cot \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\tan \theta }$	${\displaystyle \cot(\pi -\theta )=-\cot \theta }$	${\displaystyle \cot(2\pi -\theta )=-\cot(\theta )=\cot(-\theta )}$

Turnos y periodicidad

Al cambiar los argumentos de las funciones trigonométricas en ciertos ángulos, cambiar el signo o aplicar funciones trigonométricas complementarias a veces puede expresar resultados particulares de manera más simple. Algunos ejemplos de turnos se muestran a continuación en la tabla.

• Una vuelta completa , o${\displaystyle 360^{\circ },}$ o ${\displaystyle 2\pi }$radián deja el círculo unitario fijo y es el intervalo más pequeño para el cual las funciones trigonométricas sin, cos, sec y csc repiten sus valores y, por lo tanto, es su período. Cambiar los argumentos de cualquier función periódica por cualquier múltiplo entero de un período completo conserva el valor de la función del argumento no desplazado.
• Una media vuelta , o${\displaystyle 180^{\circ },}$ o ${\displaystyle \pi }$ radián es el período de ${\displaystyle \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}}$ y ${\displaystyle \cot x={\frac {\cos x}{\sin x}},}$como puede verse en estas definiciones y el período de las funciones trigonométricas definitorias. Por lo tanto, cambiando los argumentos de${\displaystyle \tan x}$ y ${\displaystyle \cot x}$ por cualquier múltiplo de ${\displaystyle \pi }$ no cambia sus valores de función.

Para las funciones sin, cos, sec y csc con período${\displaystyle 2\pi ,}$medio turno es la mitad de su período. Para este cambio, cambian el signo de sus valores, como se puede ver nuevamente en el círculo unitario. Este nuevo valor se repite después de cualquier cambio adicional de${\displaystyle 2\pi ,}$ así que todos juntos cambian el signo de un cambio por cualquier múltiplo impar de ${\displaystyle \pi ,}$ es decir, por ${\displaystyle (2k+1)\pi ,}$con k un entero arbitrario. Cualquiera incluso múltiplo de${\displaystyle \pi }$ es, por supuesto, solo un período completo, y un desplazamiento hacia atrás en medio período es lo mismo que un desplazamiento hacia atrás en un período completo más un desplazamiento hacia adelante en medio período.

• Un cuarto de vuelta , o${\displaystyle 90^{\circ },}$ o ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$ radianes es un cambio de medio período para ${\displaystyle \tan x}$ y ${\displaystyle \cot x}$ con punto ${\displaystyle \pi }$ (${\displaystyle 180^{\circ },}$), obteniendo el valor de la función de aplicar la función complementaria al argumento no desplazado. Según el argumento anterior, esto también es válido para un cambio de cualquier múltiplo impar${\displaystyle (2k+1){\tfrac {\pi }{2}}}$ del medio período.

Para las otras cuatro funciones trigonométricas, un cuarto de vuelta también representa un cuarto de período. Un cambio por un múltiplo arbitrario de un período de un cuarto que no está cubierto por un múltiplo de períodos medios se puede descomponer en un múltiplo entero de períodos, más o menos un período de un cuarto. Los términos que expresan estos múltiplos son${\displaystyle (4k\pm 1){\tfrac {\pi }{2}}.}$Los cambios hacia adelante / hacia atrás por un período de un trimestre se reflejan en la siguiente tabla. Nuevamente, estos cambios producen valores de función, empleando la función complementaria respectiva aplicada al argumento no desplazado.

Cambiando los argumentos de ${\displaystyle \tan x}$ y ${\displaystyle \cot x}$ por su trimestre de período${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}$) no produce resultados tan simples.

Cambio por un período de un trimestre	Desplazamiento por medio período [10]	Turno por períodos completos [11]	Período
${\displaystyle \sin(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\pm \cos \theta }$	${\displaystyle \sin(\theta +\pi )=-\sin \theta }$	${\displaystyle \sin(\theta +k\cdot 2\pi )=+\sin \theta }$	${\displaystyle 2\pi }$
${\displaystyle \cos(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\mp \sin \theta }$	${\displaystyle \cos(\theta +\pi )=-\cos \theta }$	${\displaystyle \cos(\theta +k\cdot 2\pi )=+\cos \theta }$	${\displaystyle 2\pi }$
${\displaystyle \tan(\theta \pm {\tfrac {\pi }{4}})={\tfrac {\tan \theta \pm 1}{1\mp \tan \theta }}}$	${\displaystyle \tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\cot \theta }$	${\displaystyle \tan(\theta +k\cdot \pi )=+\tan \theta }$	${\displaystyle \pi }$
${\displaystyle \csc(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\pm \sec \theta }$	${\displaystyle \csc(\theta +\pi )=-\csc \theta }$	${\displaystyle \csc(\theta +k\cdot 2\pi )=+\csc \theta }$	${\displaystyle 2\pi }$
${\displaystyle \sec(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\mp \csc \theta }$	${\displaystyle \sec(\theta +\pi )=-\sec \theta }$	${\displaystyle \sec(\theta +k\cdot 2\pi )=+\sec \theta }$	${\displaystyle 2\pi }$
${\displaystyle \cot(\theta \pm {\tfrac {\pi }{4}})={\tfrac {\cot \theta \pm 1}{1\mp \cot \theta }}}$	${\displaystyle \cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\tan \theta }$	${\displaystyle \cot(\theta +k\cdot \pi )=+\cot \theta }$	${\displaystyle \pi }$

Identidades de suma y diferencia de ángulos

Ilustración de fórmulas de suma de ángulos para el seno y el coseno. El segmento enfatizado tiene una longitud unitaria.

Estos también se conocen como teoremas (o fórmulas ) de suma y resta de ángulos . Las identidades se pueden derivar combinando triángulos rectángulos como en el diagrama adyacente, o considerando la invariancia de la longitud de una cuerda en un círculo unitario dado un ángulo central particular. La derivación más intuitiva utiliza matrices de rotación (ver más abajo).

Ilustración de la fórmula de suma de ángulos para la tangente. Los segmentos enfatizados son de longitud unitaria.

Para ángulos agudos ${\displaystyle \alpha }$ y ${\displaystyle \beta ,}$ cuya suma no es obtusa, un diagrama conciso (mostrado) ilustra las fórmulas de suma de ángulos para seno y coseno: El segmento en negrita etiquetado como "1" tiene una unidad de longitud y sirve como hipotenusa de un triángulo rectángulo con ángulo ${\displaystyle \beta }$; las patas opuestas y adyacentes para este ángulo tienen longitudes respectivas${\displaystyle \sin \beta }$ y ${\displaystyle \cos \beta .}$ El ${\displaystyle \cos \beta }$ pierna es en sí misma la hipotenusa de un triángulo rectángulo con ángulo ${\displaystyle \alpha }$; los catetos de ese triángulo, por tanto, tienen longitudes dadas por${\displaystyle \sin \alpha }$ y ${\displaystyle \cos \alpha ,}$ multiplicado por ${\displaystyle \cos \beta .}$ El ${\displaystyle \sin \beta }$ pierna, como hipotenusa de otro triángulo rectángulo con ángulo ${\displaystyle \alpha ,}$ igualmente conduce a segmentos de longitud ${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta }$ y ${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta .}$ Ahora, observamos que el segmento "1" también es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con ángulo ${\displaystyle \alpha +\beta }$; el cateto opuesto a este ángulo tiene necesariamente una longitud${\displaystyle \sin(\alpha +\beta ),}$ mientras que la pierna adyacente tiene longitud ${\displaystyle \cos(\alpha +\beta ).}$ En consecuencia, como los lados opuestos del rectángulo exterior del diagrama son iguales, deducimos

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\alpha +\beta )&=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha +\beta )&=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \end{aligned}}}$

La reubicación de uno de los ángulos nombrados produce una variante del diagrama que demuestra las fórmulas de diferencia de ángulos para el seno y el coseno. ^[12] (El diagrama admite más variantes para acomodar ángulos y sumas mayores que un ángulo recto.) Dividir todos los elementos del diagrama por${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta }$ proporciona otra variante (mostrada) que ilustra la fórmula de la suma de ángulos para la tangente.

Estas identidades tienen aplicaciones, por ejemplo, en componentes en fase y en cuadratura .

Ilustración de la fórmula de suma de ángulos para la cotangente. El segmento superior derecho tiene una longitud unitaria.

Seno	${\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )}$			${\displaystyle =}$	${\displaystyle \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }$[13] [14]
Coseno	${\displaystyle \cos(\alpha \pm \beta )}$			${\displaystyle =}$	${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }$[14] [15]
Tangente	${\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta )}$			${\displaystyle =}$	${\displaystyle {\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}}$[14] [16]
Cosecante	${\displaystyle \csc(\alpha \pm \beta )}$			${\displaystyle =}$	${\displaystyle {\frac {\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta }{\sec \alpha \csc \beta \pm \csc \alpha \sec \beta }}}$[17]
Secante	${\displaystyle \sec(\alpha \pm \beta )}$			${\displaystyle =}$	${\displaystyle {\frac {\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta }{\csc \alpha \csc \beta \mp \sec \alpha \sec \beta }}}$[17]
Cotangente	${\displaystyle \cot(\alpha \pm \beta )}$			${\displaystyle =}$	${\displaystyle {\frac {\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha }}}$[14] [18]
Arcsine	${\displaystyle \arcsin x\pm \arcsin y}$			${\displaystyle =}$	${\displaystyle \arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}\pm y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}$[19]
Arccosine	${\displaystyle \arccos x\pm \arccos y}$			${\displaystyle =}$	${\displaystyle \arccos \left(xy\mp {\sqrt {\left(1-x^{2}\right)\left(1-y^{2}\right)}}\right)}$[20]
Arctangent	${\displaystyle \arctan x\pm \arctan y}$			${\displaystyle =}$	${\displaystyle \arctan \left({\frac {x\pm y}{1\mp xy}}\right)}$[21]
Arccotangente	${\displaystyle \operatorname {arccot} x\pm \operatorname {arccot} y}$			${\displaystyle =}$	${\displaystyle \operatorname {arccot} \left({\frac {xy\mp 1}{y\pm x}}\right)}$

Forma de matriz

Las fórmulas de suma y diferencia para seno y coseno se derivan del hecho de que una rotación del plano por ángulo ${\displaystyle \alpha ,}$ siguiendo una rotación por ${\displaystyle \beta ,}$ es igual a una rotación por ${\displaystyle \alpha +\beta .}$En términos de matrices de rotación :

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \left({\begin{array}{rr}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{array}}\right)\left({\begin{array}{rr}\cos \beta &-\sin \beta \\\sin \beta &\cos \beta \end{array}}\right)\\[12pt]&=\left({\begin{array}{rr}\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta &-\cos \alpha \sin \beta -\sin \alpha \cos \beta \\\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta &-\sin \alpha \sin \beta +\cos \alpha \cos \beta \end{array}}\right)\\[12pt]&=\left({\begin{array}{rr}\cos(\alpha +\beta )&-\sin(\alpha +\beta )\\\sin(\alpha +\beta )&\cos(\alpha +\beta )\end{array}}\right).\end{aligned}}}$

La matriz inversa para una rotación es la rotación con el negativo del ángulo

${\displaystyle \left({\begin{array}{rr}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{array}}\right)^{-1}=\left({\begin{array}{rr}\cos(-\alpha )&-\sin(-\alpha )\\\sin(-\alpha )&\cos(-\alpha )\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{rr}\cos \alpha &\sin \alpha \\-\sin \alpha &\cos \alpha \end{array}}\right)\,,}$

que es también la matriz de transposición .

Estas fórmulas muestran que estas matrices forman una representación del grupo de rotación en el plano (técnicamente, el grupo ortogonal especial SO (2) ), ya que la ley de composición se cumple y existen las inversas. Además, la multiplicación matricial de la matriz de rotación para un ángulo${\displaystyle \alpha }$ con un vector de columna rotará el vector de columna en sentido antihorario por el ángulo ${\displaystyle \alpha .}$

Dado que la multiplicación por un número complejo de unidades de longitud rota el plano complejo por el argumento del número, la multiplicación anterior de matrices de rotación es equivalente a una multiplicación de números complejos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\cos \alpha +i\sin \alpha )(\cos \beta +i\sin \beta )&=(\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta )+i(\cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta )\\&=\cos(\alpha +\beta )+i\sin(\alpha +\beta ).\end{aligned}}}$$

En términos de la fórmula de Euler , esto simplemente dice${\displaystyle e^{i\alpha }e^{i\beta }=e^{i(\alpha +\beta )},}$ mostrando que ${\displaystyle \theta \ \mapsto \ e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }$ es una representación compleja unidimensional de ${\displaystyle \mathrm {SO} (2).}$

Senos y cosenos de sumas de infinitos ángulos

Cuando la serie ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}}$ converge absolutamente entonces

${\displaystyle \sin \left(\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}\right)=\sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}\right)}$

${\displaystyle \cos \left(\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}\right)=\sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}~(-1)^{\frac {k}{2}}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}\right)\,.}$

Porque la serie ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}}$ converge absolutamente, es necesariamente el caso de que ${\textstyle \lim _{i\to \infty }\theta _{i}=0,}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }\sin \theta _{i}=0,}$ y ${\textstyle \lim _{i\to \infty }\cos \theta _{i}=1.}$ En particular, en estas dos identidades aparece una asimetría que no se ve en el caso de sumas de un número finito de ángulos: en cada producto, solo hay un número finito de factores sinusoidales pero cofinitivamente muchos factores coseno. Los términos con infinitos factores sinusoidales serían necesariamente iguales a cero.

Cuando solo un número finito de los ángulos ${\displaystyle \theta _{i}}$son distintos de cero, entonces sólo un número finito de los términos del lado derecho son distintos de cero porque todos, excepto un número finito de factores sinusoidales, desaparecen. Además, en cada término todos los factores del coseno, excepto un número finito, son unidad.

Tangentes y cotangentes de sumas

Dejar ${\displaystyle e_{k}}$ (por ${\displaystyle k=0,1,2,3,\ldots }$) ser el polinomio simétrico elemental de k -ésimo grado en las variables

$${\displaystyle x_{i}=\tan \theta _{i}}$$

por ${\displaystyle i=0,1,2,3,\ldots ,}$ eso es,

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}&=1\\[6pt]e_{1}&=\sum _{i}x_{i}&&=\sum _{i}\tan \theta _{i}\\[6pt]e_{2}&=\sum _{i<j}x_{i}x_{j}&&=\sum _{i<j}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\\[6pt]e_{3}&=\sum _{i<j<k}x_{i}x_{j}x_{k}&&=\sum _{i<j<k}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\tan \theta _{k}\\&{}\ \ \vdots &&{}\ \ \vdots \end{aligned}}}$

Luego

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)&={\frac {\sin \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)/\prod _{i}\cos \theta _{i}}{\cos \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)/\prod _{i}\cos \theta _{i}}}\\&={\frac {\displaystyle \sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}{\displaystyle \sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}~(-1)^{\frac {k}{2}}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}}={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\\cot \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)&={\frac {e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}}$

usando las fórmulas de suma de seno y coseno anteriores.

El número de términos del lado derecho depende del número de términos del lado izquierdo.

Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\theta _{1}+\theta _{2})&={\frac {e_{1}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{1\ -\ x_{1}x_{2}}}={\frac {\tan \theta _{1}+\tan \theta _{2}}{1\ -\ \tan \theta _{1}\tan \theta _{2}}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\[8pt]&={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}},\end{aligned}}}$

etcétera. El caso de sólo un número finito de términos puede demostrarse mediante inducción matemática . ^[22]

Secantes y cosecantes de sumas

${\displaystyle {\begin{aligned}\sec \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[8pt]\csc \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}}$

donde ${\displaystyle e_{k}}$es el polinomio simétrico elemental de k -ésimo grado en las n variables${\displaystyle x_{i}=\tan \theta _{i},}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n,}$y el número de términos en el denominador y el número de factores en el producto en el numerador dependen del número de términos en la suma de la izquierda. ^[23] El caso de sólo un número finito de términos puede demostrarse mediante inducción matemática sobre el número de dichos términos.

Por ejemplo,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sec(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\tan \alpha \tan \beta -\tan \alpha \tan \gamma -\tan \beta \tan \gamma }}\\[8pt]\csc(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma -\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma }}.\end{aligned}}}$

Fórmulas de múltiples ángulos

T n es el n- ésimo polinomio de Chebyshev	${\displaystyle \cos(n\theta )=T_{n}(\cos \theta )}$[24]
fórmula de de Moivre , i es la unidad imaginaria	${\displaystyle \cos(n\theta )+i\sin(n\theta )=(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}}$[25]

Fórmulas de ángulo doble, triple ángulo y medio ángulo

Fórmulas de doble ángulo

Fórmulas para el doble de ángulo. ^[26]

${\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta ={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}}$

${\displaystyle \cos(2\theta )=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}}$

${\displaystyle \tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}}$

${\displaystyle \cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}}$

${\displaystyle \sec(2\theta )={\frac {\sec ^{2}\theta }{2-\sec ^{2}\theta }}}$

${\displaystyle \csc(2\theta )={\frac {\sec \theta \csc \theta }{2}}}$

Fórmulas de triple ángulo

Fórmulas para ángulos triples. ^[26]

${\displaystyle \sin(3\theta )=3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta =4\sin \theta \sin \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\sin \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)}$

${\displaystyle \cos(3\theta )=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta =4\cos \theta \cos \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\cos \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)}$

${\displaystyle \tan(3\theta )={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}=\tan \theta \tan \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\tan \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)}$

${\displaystyle \cot(3\theta )={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}}$

${\displaystyle \sec(3\theta )={\frac {\sec ^{3}\theta }{4-3\sec ^{2}\theta }}}$

${\displaystyle \csc(3\theta )={\frac {\csc ^{3}\theta }{3\csc ^{2}\theta -4}}}$

Fórmulas de medio ángulo

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(2\pi -\theta +4\pi \left\lfloor {\frac {\theta }{4\pi }}\right\rfloor \right){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\\[3pt]\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}&={\frac {1-\cos \theta }{2}}\\[3pt]\cos {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\pi +\theta +4\pi \left\lfloor {\frac {\pi -\theta }{4\pi }}\right\rfloor \right){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}\\[3pt]\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}&={\frac {1+\cos \theta }{2}}\\[3pt]\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta =\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\\[3pt]&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {-1\pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}{\tan \theta }}={\frac {\tan \theta }{1+\sec {\theta }}}\\[3pt]\cot {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta +\cot \theta =\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}\end{aligned}}}$

^{[27] [28]}

También

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {\eta \pm \theta }{2}}&={\frac {\sin \eta \pm \sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[3pt]\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\tan \theta \\[3pt]{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}&={\frac {\left|1-\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}{\left|1+\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}}\end{aligned}}}$

Mesa

Estos se pueden mostrar utilizando las identidades de suma y diferencia o las fórmulas de múltiples ángulos.

	Seno	Coseno	Tangente	Cotangente
Fórmulas de doble ángulo [29] [30]	${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(2\theta )&=2\sin \theta \cos \theta \ \\&={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(2\theta )&=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \\&=2\cos ^{2}\theta -1\\&=1-2\sin ^{2}\theta \\&={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}}$	${\displaystyle \tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle \cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}}$
Fórmulas de triple ángulo [24] [31]	${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(3\theta )&=-\sin ^{3}\theta +3\cos ^{2}\theta \sin \theta \\&=-4\sin ^{3}\theta +3\sin \theta \end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(3\theta )&=\cos ^{3}\theta -3\sin ^{2}\theta \cos \theta \\&=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \end{aligned}}}$	${\displaystyle \tan(3\theta )={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle \cot(3\theta )={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}}$
Fórmulas de medio ángulo [27] [28]	${\displaystyle {\begin{aligned}&\sin {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn}(A)\,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\\\\&{\text{where }}A=2\pi -\theta +4\pi \left\lfloor {\frac {\theta }{4\pi }}\right\rfloor \\\\&\left({\text{or }}\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{2}}\right)\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&\cos {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn}(B)\,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}\\\\&{\text{where }}B=\pi +\theta +4\pi \left\lfloor {\frac {\pi -\theta }{4\pi }}\right\rfloor \\\\&\left({\text{or }}\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1+\cos \theta }{2}}\right)\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}\\[3pt]&={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\\[3pt]&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}\\[5pt]\tan {\frac {\eta +\theta }{2}}&={\frac {\sin \eta +\sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[5pt]\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\tan \theta \\[5pt]{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}&={\frac {\left|1-\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}{\left|1+\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}}\\[5pt]\tan {\frac {\theta }{2}}&={\frac {\tan \theta }{1+{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}\\&{\text{for }}\theta \in \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\cot {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta +\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}\\[3pt]&={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}\\[4pt]&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}\end{aligned}}}$

El hecho de que la fórmula de triple ángulo para seno y coseno solo involucre potencias de una sola función permite relacionar el problema geométrico de una construcción de compás y regla no graduada de trisección de ángulo con el problema algebraico de resolver una ecuación cúbica , lo que permite demostrar que la trisección es en general imposible usando las herramientas dadas, por la teoría de campo .

Existe una fórmula para calcular las identidades trigonométricas para el ángulo de un tercio, pero requiere encontrar los ceros de la ecuación cúbica 4 x ³ - 3 x + d = 0 , donde${\displaystyle x}$es el valor de la función coseno en el ángulo de un tercio y d es el valor conocido de la función coseno en el ángulo completo. Sin embargo, el discriminante de esta ecuación es positivo, por lo que esta ecuación tiene tres raíces reales (de las cuales solo una es la solución para el coseno del ángulo de un tercio). Ninguna de estas soluciones se puede reducir a una expresión algebraica real , ya que usan números complejos intermedios debajo de las raíces cúbicas .

Seno, coseno y tangente de múltiples ángulos

Para múltiplos específicos, estos se derivan de las fórmulas de suma de ángulos, mientras que la fórmula general fue dada por el matemático francés del siglo XVI François Viète . ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(n\theta )&=\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta =\sin \theta \sum _{i=0}^{(n+1)/2}\sum _{j=0}^{i}(-1)^{i-j}{n \choose 2i+1}{i \choose j}\cos ^{n-2(i-j)-1}\theta ,\\\cos(n\theta )&=\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta =\sum _{i=0}^{n/2}\sum _{j=0}^{i}(-1)^{i-j}{n \choose 2i}{i \choose j}\cos ^{n-2(i-j)}\theta \,,\end{aligned}}}$

para valores no negativos de ${\displaystyle k}$ a traves de ${\displaystyle n.}$^{[ cita requerida ]}

En cada una de estas dos ecuaciones, el primer término entre paréntesis es un coeficiente binomial y la función trigonométrica final es igual a uno, menos uno o cero, de modo que se eliminan la mitad de las entradas en cada una de las sumas. La proporción de estas fórmulas da

${\displaystyle \tan(n\theta )={\frac {\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\tan ^{k}\theta }{\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\tan ^{k}\theta }}\,.}$^{[ cita requerida ]}

Método Chebyshev

El método de Chebyshev es un algoritmo recursivo para encontrar la n ésima fórmula de ángulos múltiples conociendo los valores ( n - 1) ésimo y ( n - 2) ésimo. ^[32]

cos ( nx ) se puede calcular a partir de cos (( n - 1) x ) , cos (( n - 2) x ) y cos ( x ) con

cos ( nx ) = 2 · cos x · cos (( n - 1) x ) - cos (( n - 2) x ) .

Esto se puede demostrar sumando las fórmulas

cos (( n - 1) x + x ) = cos (( n - 1) x ) cos x - sin (( n - 1) x ) sin x

cos (( n - 1) x - x ) = cos (( n - 1) x ) cos x + sin (( n - 1) x ) sin x .

Se deduce por inducción que cos ( nx ) es un polinomio de${\displaystyle \cos x,}$el llamado polinomio de Chebyshev del primer tipo, ver polinomios de Chebyshev # Definición trigonométrica .

De manera similar, sin ( nx ) se puede calcular a partir de sin (( n - 1) x ) , sin (( n - 2) x ) y cos ( x ) con

sin ( nx ) = 2 · cos x · sin (( n - 1) x ) - sin (( n - 2) x ) .

Esto se puede demostrar agregando fórmulas para sin (( n - 1) x + x ) y sin (( n - 1) x - x ) .

Con un propósito similar al del método Chebyshev, para la tangente podemos escribir:

${\displaystyle \tan(nx)={\frac {\tan((n-1)x)+\tan x}{1-\tan((n-1)x)\tan x}}\,.}$

Tangente de un promedio

${\displaystyle \tan \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)={\frac {\sin \alpha +\sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}=-\,{\frac {\cos \alpha -\cos \beta }{\sin \alpha -\sin \beta }}}$

Establecer ya sea ${\displaystyle \alpha }$ o ${\displaystyle \beta }$ a 0 da las fórmulas habituales de medio ángulo tangente.

El producto infinito de Viète

${\displaystyle \cos {\frac {\theta }{2}}\cdot \cos {\frac {\theta }{4}}\cdot \cos {\frac {\theta }{8}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos {\frac {\theta }{2^{n}}}={\frac {\sin \theta }{\theta }}=\operatorname {sinc} \theta .}$

(Consulte la fórmula de Viète y la función sinc .)

Fórmulas de reducción de potencia

Se obtiene resolviendo la segunda y tercera versiones de la fórmula del coseno de doble ángulo.

Seno	Coseno	Otro
${\displaystyle \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos(2\theta )}{2}}}$	${\displaystyle \cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos(2\theta )}{2}}}$	${\displaystyle \sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta ={\frac {1-\cos(4\theta )}{8}}}$
${\displaystyle \sin ^{3}\theta ={\frac {3\sin \theta -\sin(3\theta )}{4}}}$	${\displaystyle \cos ^{3}\theta ={\frac {3\cos \theta +\cos(3\theta )}{4}}}$	${\displaystyle \sin ^{3}\theta \cos ^{3}\theta ={\frac {3\sin(2\theta )-\sin(6\theta )}{32}}}$
${\displaystyle \sin ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos(2\theta )+\cos(4\theta )}{8}}}$	${\displaystyle \cos ^{4}\theta ={\frac {3+4\cos(2\theta )+\cos(4\theta )}{8}}}$	${\displaystyle \sin ^{4}\theta \cos ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos(4\theta )+\cos(8\theta )}{128}}}$
${\displaystyle \sin ^{5}\theta ={\frac {10\sin \theta -5\sin(3\theta )+\sin(5\theta )}{16}}}$	${\displaystyle \cos ^{5}\theta ={\frac {10\cos \theta +5\cos(3\theta )+\cos(5\theta )}{16}}}$	${\displaystyle \sin ^{5}\theta \cos ^{5}\theta ={\frac {10\sin(2\theta )-5\sin(6\theta )+\sin(10\theta )}{512}}}$

y en términos generales de poderes de ${\displaystyle \sin \theta }$ o ${\displaystyle \cos \theta }$La siguiente es cierto, y puede deducirse usando la fórmula de De Moivre , la fórmula de Euler y el teorema del binomio ^{[ citación necesaria ]} .

	Coseno	Seno
${\displaystyle {\text{if }}n{\text{ is odd}}}$	${\displaystyle \cos ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}}$	${\displaystyle \sin ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}(-1)^{\left({\frac {n-1}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\sin {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}}$
${\displaystyle {\text{if }}n{\text{ is even}}}$	${\displaystyle \cos ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}}$	${\displaystyle \sin ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}(-1)^{\left({\frac {n}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}}$

Identidades de producto a suma y suma a producto

Las identidades producto-a-suma o las fórmulas de prosthaféresis pueden probarse expandiendo sus lados derechos usando los teoremas de la suma de ángulos . Consulte la modulación de amplitud para obtener una aplicación de las fórmulas de suma a suma y el detector de latidos (acústica) y de fase para las aplicaciones de las fórmulas de suma a producto.

Producto a suma [33]
${\displaystyle 2\cos \theta \cos \varphi ={\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi )}}$
${\displaystyle 2\sin \theta \sin \varphi ={\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi )}}$
${\displaystyle 2\sin \theta \cos \varphi ={\sin(\theta +\varphi )+\sin(\theta -\varphi )}}$
${\displaystyle 2\cos \theta \sin \varphi ={\sin(\theta +\varphi )-\sin(\theta -\varphi )}}$
${\displaystyle \tan \theta \tan \varphi ={\frac {\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi )}{\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi )}}}$
${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{k=1}^{n}\cos \theta _{k}&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{e\in S}\cos(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\\[6pt]&{\text{where }}S=\{1,-1\}^{n}\end{aligned}}}$

Suma al producto [34]
${\displaystyle \sin \theta \pm \sin \varphi =2\sin \left({\frac {\theta \pm \varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta \mp \varphi }{2}}\right)}$
${\displaystyle \cos \theta +\cos \varphi =2\cos \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)}$
${\displaystyle \cos \theta -\cos \varphi =-2\sin \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\sin \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)}$

Otras identidades relacionadas

• ${\displaystyle \sec ^{2}x+\csc ^{2}x=\sec ^{2}x\csc ^{2}x.}$^[35]
• Si ${\displaystyle x+y+z=\pi }$ (semicírculo), luego

  ${\displaystyle \sin(2x)+\sin(2y)+\sin(2z)=4\sin x\sin y\sin z.}$

• Identidad triple tangente: Si${\displaystyle x+y+z=\pi }$ (semicírculo), luego

  ${\displaystyle \tan x+\tan y+\tan z=\tan x\tan y\tan z.}$

En particular, la fórmula se cumple cuando ${\displaystyle x,y,{\text{ and }}z}$ son los tres ángulos de cualquier triángulo.

(Si alguno de ${\displaystyle x,y,z}$ es un ángulo recto, uno debe tomar ambos lados como ${\displaystyle \infty }$. Esto no es ni${\displaystyle +\infty }$ ni ${\displaystyle -\infty }$; para los propósitos actuales, tiene sentido agregar un solo punto en el infinito a la línea real , que es abordado por${\displaystyle \tan \theta }$ como ${\displaystyle \tan \theta }$aumenta a través de valores positivos o disminuye a través de valores negativos. Esta es una compactificación de un punto de la línea real).

• Identidad triple cotangente: Si${\displaystyle x+y+z={\frac {\pi }{2}}i}$ (ángulo recto o un cuarto de círculo), luego

  ${\displaystyle \cot x+\cot y+\cot z=\cot x\cot y\cot z.}$

Identidad cotangente de Hermite

Charles Hermite demostró la siguiente identidad. ^[36] Supongamos${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$son números complejos , ninguno de los cuales difiere en un múltiplo entero de  π . Dejar

${\displaystyle A_{n,k}=\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq k\end{smallmatrix}}\cot(a_{k}-a_{j})}$

(en particular, ${\displaystyle A_{1,1},}$siendo un producto vacío , es 1). Luego

${\displaystyle \cot(z-a_{1})\cdots \cot(z-a_{n})=\cos {\frac {n\pi }{2}}+\sum _{k=1}^{n}A_{n,k}\cot(z-a_{k}).}$

El ejemplo no trivial más simple es el caso  n  = 2 :

${\displaystyle \cot(z-a_{1})\cot(z-a_{2})=-1+\cot(a_{1}-a_{2})\cot(z-a_{1})+\cot(a_{2}-a_{1})\cot(z-a_{2}).}$

Teorema de Ptolomeo

El teorema de Ptolomeo se puede expresar en el lenguaje de la trigonometría moderna como:

Si w + x + y + z = π , entonces:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(w+x)\sin(x+y)&=\sin(x+y)\sin(y+z)&{\text{(trivial)}}\\&=\sin(y+z)\sin(z+w)&{\text{(trivial)}}\\&=\sin(z+w)\sin(w+x)&{\text{(trivial)}}\\&=\sin w\sin y+\sin x\sin z.&{\text{(significant)}}\end{aligned}}}$

(Las primeras tres igualdades son reordenamientos triviales; la cuarta es la sustancia de esta identidad).

Productos finitos de funciones trigonométricas

Para enteros coprimos n , m

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\left(2a+2\cos \left({\frac {2\pi km}{n}}+x\right)\right)=2\left(T_{n}(a)+{(-1)}^{n+m}\cos(nx)\right)}$

donde T _n es el polinomio de Chebyshev .

La siguiente relación es válida para la función seno

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{2^{n-1}}}.}$

Más en general ^[37]

${\displaystyle \sin(nx)=2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left(x+{\frac {k\pi }{n}}\right).}$

Combinaciones lineales

Para algunos propósitos, es importante saber que cualquier combinación lineal de ondas sinusoidales del mismo período o frecuencia pero con diferentes cambios de fase también es una onda sinusoidal con el mismo período o frecuencia, pero con un cambio de fase diferente. Esto es útil en sinusoide apropiado de datos , porque los datos medidos u observados están relacionadas linealmente a los unos y b incógnitas del componentes en fase y en cuadratura base por debajo, resultando en una simple jacobiano , en comparación con la de${\displaystyle c}$ y ${\displaystyle \varphi }$.

Seno y coseno

La combinación lineal, o suma armónica, de ondas seno y coseno es equivalente a una sola onda senoidal con un cambio de fase y amplitud escalada, ^{[38] [39]}

${\displaystyle a\cos x+b\sin x=c\cos(x+\varphi )}$

donde ${\displaystyle c}$ y ${\displaystyle \varphi }$ se definen así:

${\displaystyle {\begin{aligned}c&=\operatorname {sgn}(a){\sqrt {a^{2}+b^{2}}},\\\varphi &=\operatorname {arctan} \left(-{\frac {b}{a}}\right),\end{aligned}}}$

Dado que ${\displaystyle a\neq 0.}$

Cambio de fase arbitrario

De manera más general, para cambios de fase arbitrarios, tenemos

${\displaystyle a\sin(x+\theta _{a})+b\sin(x+\theta _{b})=c\sin(x+\varphi )}$

donde ${\displaystyle c}$ y ${\displaystyle \varphi }$ satisfacer:

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=a^{2}+b^{2}+2ab\cos \left(\theta _{a}-\theta _{b}\right),\\\tan \varphi &={\frac {a\sin \theta _{a}+b\sin \theta _{b}}{a\cos \theta _{a}+b\cos \theta _{b}}}.\end{aligned}}}$

Más de dos sinusoides

El caso general dice ^[39]

${\displaystyle \sum _{i}a_{i}\sin(x+\theta _{i})=a\sin(x+\theta ),}$

donde

${\displaystyle a^{2}=\sum _{i,j}a_{i}a_{j}\cos(\theta _{i}-\theta _{j})}$

y

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sum _{i}a_{i}\sin \theta _{i}}{\sum _{i}a_{i}\cos \theta _{i}}}.}$

Identidades trigonométricas de Lagrange

Estas identidades, que llevan el nombre de Joseph Louis Lagrange , son: ^{[40] [41] [42]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\sin(n\theta )&={\frac {1}{2}}\cot {\frac {\theta }{2}}-{\frac {\cos \left(\left(N+{\frac {1}{2}}\right)\theta \right)}{2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)}}\\[5pt]\sum _{n=1}^{N}\cos(n\theta )&=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sin \left(\left(N+{\frac {1}{2}}\right)\theta \right)}{2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)}}\end{aligned}}}$

Una función relacionada es la siguiente función de ${\displaystyle x,}$llamado el kernel de Dirichlet .

${\displaystyle 1+2\cos x+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots +2\cos(nx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin \left({\frac {x}{2}}\right)}}.}$

ver prueba .

Otras sumas de funciones trigonométricas

Suma de senos y cosenos con argumentos en progresión aritmética: ^[43] si${\displaystyle \alpha \neq 0,}$ luego

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \varphi +\sin(\varphi +\alpha )+\sin(\varphi +2\alpha )&+\cdots \\[8pt]\cdots +\sin(\varphi +n\alpha )&={\frac {\sin {\frac {n+1}{2}}\alpha \cdot \sin \left(\varphi +{\frac {n}{2}}\alpha \right)}{\sin {\frac {1}{2}}\alpha }}\quad {\text{and}}\\[10pt]\cos \varphi +\cos(\varphi +\alpha )+\cos(\varphi +2\alpha )&+\cdots \\[8pt]\cdots +\cos(\varphi +n\alpha )&={\frac {\sin {\frac {n+1}{2}}\alpha \cdot \cos \left(\varphi +{\frac {n}{2}}\alpha \right)}{\sin {\frac {1}{2}}\alpha }}.\\[10pt]\sec x\pm \tan x&=\tan \left({\frac {\pi }{4}}\pm {\frac {1}{2}}x\right).\end{aligned}}}$

La identidad anterior a veces es conveniente de conocer cuando se piensa en la función de Gudermann , que relaciona las funciones trigonométricas circulares e hiperbólicas sin recurrir a números complejos .

Si ${\displaystyle x,y,{\text{ and }}z}$ son los tres ángulos de cualquier triángulo, es decir, si ${\displaystyle x+y+z=\pi ,}$ luego

${\displaystyle \cot x\cot y+\cot y\cot z+\cot z\cot x=1.}$

Ciertas transformaciones fraccionarias lineales

Si ${\displaystyle f(x)}$viene dada por la transformación fraccional lineal

${\displaystyle f(x)={\frac {(\cos \alpha )x-\sin \alpha }{(\sin \alpha )x+\cos \alpha }},}$

y de manera similar

${\displaystyle g(x)={\frac {(\cos \beta )x-\sin \beta }{(\sin \beta )x+\cos \beta }},}$

luego

${\displaystyle f{\big (}g(x){\big )}=g{\big (}f(x){\big )}={\frac {{\big (}\cos(\alpha +\beta ){\big )}x-\sin(\alpha +\beta )}{{\big (}\sin(\alpha +\beta ){\big )}x+\cos(\alpha +\beta )}}.}$

Dicho de manera más concisa, si para todos ${\displaystyle \alpha }$ dejamos ${\displaystyle f_{\alpha }}$ ser lo que llamamos ${\displaystyle f}$ arriba, entonces

${\displaystyle f_{\alpha }\circ f_{\beta }=f_{\alpha +\beta }.}$

Si ${\displaystyle x}$ es la pendiente de una línea, entonces ${\displaystyle f(x)}$ es la pendiente de su rotación en un ángulo de ${\displaystyle -\alpha .}$

Funciones trigonométricas inversas

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin x+\arccos x&={\dfrac {\pi }{2}}\\\arctan x+\operatorname {arccot} x&={\dfrac {\pi }{2}}\\\arctan x+\arctan {\dfrac {1}{x}}&={\begin{cases}{\dfrac {\pi }{2}},&{\text{if }}x>0\\-{\dfrac {\pi }{2}},&{\text{if }}x<0\end{cases}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \arctan {\frac {1}{x}}=\arctan {\frac {1}{x+y}}+\arctan {\frac {y}{x^{2}+xy+1}}}$^[44]

Composiciones de funciones trigonométricas y trigonométricas inversas

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\arccos x)&={\sqrt {1-x^{2}}}&\tan(\arcsin x)&={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\\sin(\arctan x)&={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\tan(\arccos x)&={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\\\cos(\arctan x)&={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\cot(\arcsin x)&={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\\\cos(\arcsin x)&={\sqrt {1-x^{2}}}&\cot(\arccos x)&={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\end{aligned}}}$

Relación con la función exponencial compleja

Con el número imaginario de la unidad ${\displaystyle i}$ satisfactorio ${\displaystyle i^{2}=-1,}$

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$^[45] ( fórmula de Euler ),

${\displaystyle e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x}$

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$( Identidad de Euler ),

${\displaystyle e^{2\pi i}=1}$

${\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}$^[46]

${\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}$^[47]

${\displaystyle \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{i({e^{ix}+e^{-ix}})}}\,.}$

Estas fórmulas son útiles para probar muchas otras identidades trigonométricas. Por ejemplo, que e ^{i ( θ + φ )} = e ^iθ e ^iφ significa que

cos ( θ + φ ) + i sin ( θ + φ ) = (cos θ + i sin θ ) (cos φ + i sin φ ) = (cos θ cos φ - sin θ sin φ ) + i (cos θ sin φ + pecado θ cos φ ) .

Que la parte real del lado izquierdo sea igual a la parte real del lado derecho es una fórmula de suma de ángulos para el coseno. La igualdad de las partes imaginarias da una fórmula de suma de ángulos para el seno.

Fórmulas de productos infinitas

Para aplicaciones a funciones especiales , las siguientes fórmulas de productos infinitos para funciones trigonométricas son útiles: ^{[48] [49]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)&\cos x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\right)\\\sinh x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)&\cosh x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

Identidades sin variables

En términos de la función arcangente tenemos ^[44]

${\displaystyle \arctan {\frac {1}{2}}=\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}.}$

La curiosa identidad conocida como ley de Morrie ,

${\displaystyle \cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}},}$

es un caso especial de una identidad que contiene una variable:

${\displaystyle \prod _{j=0}^{k-1}\cos \left(2^{j}x\right)={\frac {\sin \left(2^{k}x\right)}{2^{k}\sin x}}.}$

La misma identidad de coseno en radianes es

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{9}}\cos {\frac {2\pi }{9}}\cos {\frac {4\pi }{9}}={\frac {1}{8}}.}$

Similar,

${\displaystyle \sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{8}}}$

es un caso especial de una identidad con ${\displaystyle x}$ = 20 °:

${\displaystyle \sin x\cdot \sin \left(60^{\circ }-x\right)\cdot \sin \left(60^{\circ }+x\right)={\frac {\sin 3x}{4}}.}$

Para el caso ${\displaystyle x}$ = 15 °,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin 15^{\circ }\cdot \sin 45^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }&={\frac {\sqrt {2}}{8}},\\\sin 15^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }&={\frac {1}{4}}.\end{aligned}}}$

Para el caso ${\displaystyle x}$ = 10 °,

${\displaystyle \sin 10^{\circ }\cdot \sin 50^{\circ }\cdot \sin 70^{\circ }={\frac {1}{8}}.}$

La misma identidad coseno es

${\displaystyle \cos x\cdot \cos \left(60^{\circ }-x\right)\cdot \cos \left(60^{\circ }+x\right)={\frac {\cos 3x}{4}}.}$

Similar,

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos 10^{\circ }\cdot \cos 50^{\circ }\cdot \cos 70^{\circ }&={\frac {\sqrt {3}}{8}},\\\cos 15^{\circ }\cdot \cos 45^{\circ }\cdot \cos 75^{\circ }&={\frac {\sqrt {2}}{8}},\\\cos 15^{\circ }\cdot \cos 75^{\circ }&={\frac {1}{4}}.\end{aligned}}}$

Similar,

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan 50^{\circ }\cdot \tan 60^{\circ }\cdot \tan 70^{\circ }&=\tan 80^{\circ },\\\tan 40^{\circ }\cdot \tan 30^{\circ }\cdot \tan 20^{\circ }&=\tan 10^{\circ }.\end{aligned}}}$

Lo siguiente quizás no se generalice tan fácilmente a una identidad que contiene variables (pero vea la explicación a continuación):

${\displaystyle \cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2}}.}$

La medida en grados deja de ser más feliz que la medida en radianes cuando consideramos esta identidad con 21 en los denominadores:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{21}}+{}&\cos \left(2\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)\\[10pt]{}+{}&\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)={\frac {1}{2}}.\end{aligned}}}$

Los factores 1, 2, 4, 5, 8, 10 pueden empezar a aclarar el patrón: son aquellos enteros menores que 21/2que son primos relativos (o no tienen factores primos en común con) 21. Los últimos ejemplos son corolarios de un hecho básico sobre los polinomios ciclotómicos irreducibles : los cosenos son las partes reales de los ceros de esos polinomios; la suma de los ceros es la función de Möbius evaluada en (en el último caso anterior) 21; solo la mitad de los ceros están presentes arriba. Las dos identidades que preceden a esta última surgen de la misma manera con 21 reemplazadas por 10 y 15, respectivamente.

Otras identidades de coseno incluyen: ^[50]

${\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {\pi }{3}}&=1,\\2\cos {\frac {\pi }{5}}\times 2\cos {\frac {2\pi }{5}}&=1,\\2\cos {\frac {\pi }{7}}\times 2\cos {\frac {2\pi }{7}}\times 2\cos {\frac {3\pi }{7}}&=1,\end{aligned}}}$

y así sucesivamente para todos los números impares, y por lo tanto

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{3}}+\cos {\frac {\pi }{5}}\times \cos {\frac {2\pi }{5}}+\cos {\frac {\pi }{7}}\times \cos {\frac {2\pi }{7}}\times \cos {\frac {3\pi }{7}}+\dots =1.}$

Muchas de esas curiosas identidades provienen de hechos más generales como los siguientes:

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\sin {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{2^{n-1}}}}$^[51]

y

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\cos {\frac {k\pi }{n}}={\frac {\sin {\frac {\pi n}{2}}}{2^{n-1}}}.}$

Combinar estos nos da

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\tan {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{\sin {\frac {\pi n}{2}}}}}$

Si n es un número impar (${\displaystyle n=2m+1}$) podemos hacer uso de las simetrías para obtener

${\displaystyle \prod _{k=1}^{m}\tan {\frac {k\pi }{2m+1}}={\sqrt {2m+1}}}$

La función de transferencia del filtro de paso bajo Butterworth se puede expresar en términos de polinomio y polos. Al establecer la frecuencia como frecuencia de corte, se puede demostrar la siguiente identidad:

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\sin {\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}=\prod _{k=1}^{n}\cos {\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}={\frac {\sqrt {2}}{2^{n}}}}$

Computación π

Una forma eficiente de calcular π a una gran cantidad de dígitos se basa en la siguiente identidad sin variables, debido a Machin . Esto se conoce como fórmula similar a Machin :

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$

o, alternativamente, utilizando una identidad de Leonhard Euler :

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}}$

o usando triples pitagóricos :

${\displaystyle \pi =\arccos {\frac {4}{5}}+\arccos {\frac {5}{13}}+\arccos {\frac {16}{65}}=\arcsin {\frac {3}{5}}+\arcsin {\frac {12}{13}}+\arcsin {\frac {63}{65}}.}$

Otros incluyen:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}},}$^{[52] [44]}

${\displaystyle \pi =\arctan 1+\arctan 2+\arctan 3,}$^[52]

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}.}$^[44]

Generalmente, para los números t ₁ , ..., t _{n −1} ∈ (−1, 1) para los cuales θ _n = ∑^{n −1}
_{k = 1}arctan t _k ∈ ( π / 4, 3 π / 4) , sea t _n = tan ( π / 2 - θ _n ) = cot θ _n . Esta última expresión se puede calcular directamente usando la fórmula para la cotangente de una suma de ángulos cuyas tangentes son t ₁ , ..., t _{n −1} y su valor estará en (−1, 1) . En particular, el t _n calculado será racional siempre que todos los valores de t ₁ , ..., t _{n −1} sean racionales. Con estos valores,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\sum _{k=1}^{n}\arctan(t_{k})\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\operatorname {sign} (t_{k})\arccos \left({\frac {1-t_{k}^{2}}{1+t_{k}^{2}}}\right)\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\arcsin \left({\frac {2t_{k}}{1+t_{k}^{2}}}\right)\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\arctan \left({\frac {2t_{k}}{1-t_{k}^{2}}}\right)\,,\end{aligned}}}$

donde en todas menos la primera expresión, hemos usado fórmulas de medio ángulo tangente. Las dos primeras fórmulas funcionan incluso si uno o más de los valores de t _k no están dentro de (−1, 1) . Tenga en cuenta que si t = p / q es racional, entonces los valores (2 t , 1 - t ² , 1 + t ² ) en las fórmulas anteriores son proporcionales al triple de Pitágoras (2 pq , q ² - p ² , q ² + p ² ) .

Por ejemplo, para n = 3 términos,

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\arctan \left({\frac {a}{b}}\right)+\arctan \left({\frac {c}{d}}\right)+\arctan \left({\frac {bd-ac}{ad+bc}}\right)}$

para cualquier a , b , c , d > 0 .

Un mnemónico útil para ciertos valores de senos y cosenos

Para ciertos ángulos simples, los senos y cosenos toman la forma √ n/2para 0 ≤ n ≤ 4 , lo que los hace fáciles de recordar.

${\displaystyle {\begin{matrix}\sin \left(0\right)&=&\sin \left(0^{\circ }\right)&=&{\dfrac {\sqrt {0}}{2}}&=&\cos \left(90^{\circ }\right)&=&\cos \left({\dfrac {\pi }{2}}\right)\\[5pt]\sin \left({\dfrac {\pi }{6}}\right)&=&\sin \left(30^{\circ }\right)&=&{\dfrac {\sqrt {1}}{2}}&=&\cos \left(60^{\circ }\right)&=&\cos \left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\\[5pt]\sin \left({\dfrac {\pi }{4}}\right)&=&\sin \left(45^{\circ }\right)&=&{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}&=&\cos \left(45^{\circ }\right)&=&\cos \left({\dfrac {\pi }{4}}\right)\\[5pt]\sin \left({\dfrac {\pi }{3}}\right)&=&\sin \left(60^{\circ }\right)&=&{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}&=&\cos \left(30^{\circ }\right)&=&\cos \left({\dfrac {\pi }{6}}\right)\\[5pt]\sin \left({\dfrac {\pi }{2}}\right)&=&\sin \left(90^{\circ }\right)&=&{\dfrac {\sqrt {4}}{2}}&=&\cos \left(0^{\circ }\right)&=&\cos \left(0\right)\\[5pt]&&&&\uparrow \\&&&&{\text{These}}\\&&&&{\text{radicands}}\\&&&&{\text{are}}\\&&&&0,\,1,\,2,\,3,\,4.\end{matrix}}}$

Miscelánea

Con la proporción áurea ${\displaystyle \varphi }$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {\pi }{5}}&=\cos 36^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}={\frac {\varphi }{2}}\\[3pt]\sin {\frac {\pi }{10}}&=\sin 18^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}={\frac {\varphi ^{-1}}{2}}={\frac {1}{2\varphi }}\end{aligned}}}$

Una identidad de Euclides

Euclides mostró en el Libro XIII, Proposición 10 de sus Elementos que el área del cuadrado en el lado de un pentágono regular inscrito en un círculo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados en los lados del hexágono regular y el decágono regular. inscrito en el mismo círculo. En el lenguaje de la trigonometría moderna, esto dice:

${\displaystyle \sin ^{2}18^{\circ }+\sin ^{2}30^{\circ }=\sin ^{2}36^{\circ }.}$

Ptolomeo usó esta proposición para calcular algunos ángulos en su tabla de acordes .

Composición de funciones trigonométricas

Esta identidad involucra una función trigonométrica de una función trigonométrica: ^[53]

${\displaystyle \cos(t\sin x)=J_{0}(t)+2\sum _{k=1}^{\infty }J_{2k}(t)\cos(2kx)}$

${\displaystyle \sin(t\sin x)=2\sum _{k=0}^{\infty }J_{2k+1}(t)\sin {\big (}(2k+1)x{\big )}}$

${\displaystyle \cos(t\cos x)=J_{0}(t)+2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}J_{2k}(t)\cos(2kx)}$

${\displaystyle \sin(t\cos x)=2\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}J_{2k+1}(t)\cos {\big (}(2k+1)x{\big )}}$

donde J _i son funciones de Bessel .

Cálculo

En cálculo, las relaciones indicadas a continuación requieren que los ángulos se midan en radianes ; las relaciones se volverían más complicadas si los ángulos se midieran en otra unidad, como grados. Si las funciones trigonométricas se definen en términos de geometría, junto con las definiciones de longitud y área del arco , sus derivadas se pueden encontrar verificando dos límites. El primero es:

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin x}{x}}=1,}$

verificado usando el círculo unitario y el teorema de apretar . El segundo límite es:

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0,}$

verificado usando la identidad tanX/2 = 1 - cos x/pecado x. Habiendo establecido estos dos límites, se puede usar la definición de límite de la derivada y los teoremas de la suma para demostrar que (sen x ) ′ = cos x y (cos x ) ′ = −sin x . Si las funciones seno y coseno están definidas por su serie de Taylor , entonces las derivadas se pueden encontrar diferenciando la serie de potencias término por término.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x}$

El resto de las funciones trigonométricas se pueden diferenciar utilizando las identidades anteriores y las reglas de diferenciación : ^{[54] [55] [56]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sin x&=\cos x,&{\frac {d}{dx}}\arcsin x&={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\\\{\frac {d}{dx}}\cos x&=-\sin x,&{\frac {d}{dx}}\arccos x&={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\\\{\frac {d}{dx}}\tan x&=\sec ^{2}x,&{\frac {d}{dx}}\arctan x&={\frac {1}{1+x^{2}}}\\\\{\frac {d}{dx}}\cot x&=-\csc ^{2}x,&{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccot} x&={\frac {-1}{1+x^{2}}}\\\\{\frac {d}{dx}}\sec x&=\tan x\sec x,&{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x&={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\\\{\frac {d}{dx}}\csc x&=-\csc x\cot x,&{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x&={\frac {-1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\end{aligned}}}$

Las identidades integrales se pueden encontrar en Lista de integrales de funciones trigonométricas . Algunas formas genéricas se enumeran a continuación.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}&=\sin ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C\\[3pt]\int {\frac {du}{a^{2}+u^{2}}}&={\frac {1}{a}}\tan ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C\\[3pt]\int {\frac {du}{u{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}}&={\frac {1}{a}}\sec ^{-1}\left|{\frac {u}{a}}\right|+C\end{aligned}}}$

Implicaciones

El hecho de que la diferenciación de funciones trigonométricas (seno y coseno) dé como resultado combinaciones lineales de las mismas dos funciones es de fundamental importancia para muchos campos de las matemáticas, incluidas las ecuaciones diferenciales y las transformadas de Fourier .

Algunas ecuaciones diferenciales satisfechas por la función seno

Dejar ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$sea ​​la unidad imaginaria y sea ∘ la composición de los operadores diferenciales. Entonces, para cada entero positivo  impar n ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\left({\frac {d}{dx}}-\sin x\right)&\circ \left({\frac {d}{dx}}-\sin x+i\right)\circ \cdots \\\cdots &\circ \left({\frac {d}{dx}}-\sin x+(k-1)i\right)(\sin x)^{n-k}=0.\end{aligned}}}$

(Cuando k  = 0, entonces el número de operadores diferenciales que se componen es 0, por lo que el término correspondiente en la suma anterior es solo  (sen x ) ⁿ .) Esta identidad se descubrió como un subproducto de la investigación en imágenes médicas . ^[57]

Definiciones exponenciales

Función	Función inversa [58]
${\displaystyle \sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}}$	${\displaystyle \arcsin x=-i\,\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}$
${\displaystyle \cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}}$	${\displaystyle \arccos x=-i\,\ln \left(x+\,{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}$
${\displaystyle \tan \theta =-i\,{\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}}$	${\displaystyle \arctan x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i+x}{i-x}}\right)}$
${\displaystyle \csc \theta ={\frac {2i}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}}$	${\displaystyle \operatorname {arccsc} x=-i\,\ln \left({\frac {i}{x}}+{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)}$
${\displaystyle \sec \theta ={\frac {2}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}}$	${\displaystyle \operatorname {arcsec} x=-i\,\ln \left({\frac {1}{x}}+i{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)}$
${\displaystyle \cot \theta =i\,{\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}}$	${\displaystyle \operatorname {arccot} x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {x-i}{x+i}}\right)}$
cis ⁡ θ = e i θ {\ Displaystyle \ operatorname {cis} \ theta = e ^ {i \ theta}}	${\displaystyle \operatorname {arccis} x=-i\ln x}$

Otras identidades "condicionales" para el caso α + β + γ = 180 °

Las siguientes fórmulas se aplican a triángulos planos arbitrarios y se siguen de ${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ },}$ siempre que las funciones que aparecen en las fórmulas estén bien definidas (esto último se aplica solo a las fórmulas en las que ocurren tangentes y cotangentes).

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma &=\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma \\1&=\cot \beta \cot \gamma +\cot \gamma \cot \alpha +\cot \alpha \cot \beta \\\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)&=\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\1&=\tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)\tan \left({\frac {\gamma }{2}}\right)+\tan \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)\\\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma &=4\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cos \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\-\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma &=4\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma &=4\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)+1\\-\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma &=4\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cos \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)-1\\\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )&=4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \\-\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )&=4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma \\\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )&=-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1\\-\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )&=-4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\\\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma &=2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +2\\-\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma &=2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma \\\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma &=-2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +1\\-\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma &=-2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\\-\sin ^{2}(2\alpha )+\sin ^{2}(2\beta )+\sin ^{2}(2\gamma )&=-2\cos(2\alpha )\sin(2\beta )\sin(2\gamma )\\-\cos ^{2}(2\alpha )+\cos ^{2}(2\beta )+\cos ^{2}(2\gamma )&=2\cos(2\alpha )\,\sin(2\beta )\,\sin(2\gamma )+1\\1&=\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\beta }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\gamma }{2}}\right)+2\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\,\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\,\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\end{aligned}}}$

Varios

Núcleo de Dirichlet

El kernel de Dirichlet D _n ( x ) es la función que ocurre en ambos lados de la siguiente identidad:

${\displaystyle 1+2\cos x+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots +2\cos(nx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}x\right)}}.}$

La convolución de cualquier función integrable de período${\displaystyle 2\pi }$ con el kernel de Dirichlet coincide con la función ${\displaystyle n}$Aproximación de Fourier de th-grado. Lo mismo vale para cualquier medida o función generalizada .

Sustitución de medio ángulo tangente

Si ponemos

${\displaystyle t=\tan {\frac {x}{2}},}$

luego ^[59]

${\displaystyle \sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}};\qquad \cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}};\qquad e^{ix}={\frac {1+it}{1-it}}}$

donde ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$a veces abreviado como  cis x .

Cuando esta sustitución de ${\displaystyle t}$para broncearseX/2se utiliza en cálculo , se sigue que${\displaystyle \sin x}$ es reemplazado por 2 t/1 + t ², ${\displaystyle \cos x}$ es reemplazado por 1 - t ²/1 + t ²y el diferencial d x se reemplaza por2 d t/1 + t ². De este modo, uno convierte funciones racionales de${\displaystyle \sin x}$ y ${\displaystyle \cos x}$ a funciones racionales de ${\displaystyle t}$para encontrar sus antiderivadas .

Ver también

• La desigualdad de Aristarco
• Derivadas de funciones trigonométricas
• Constantes trigonométricas exactas (valores de seno y coseno expresados ​​en surds)
• Existente
• Fórmula de medio lado
• Función hiperbólica
• Leyes para la solución de triángulos:
  • Ley de los cosenos
    • Ley esférica de los cosenos
  • Ley de los senos
  • Ley de las tangentes
  • Ley de los cotangentes
  • Fórmula de Mollweide
• Lista de integrales de funciones trigonométricas
• Mnemónicos en trigonometría
• Pentagramma mirificum
• Pruebas de identidades trigonométricas
• Prostaphaeresis
• Teorema de pitágoras
• Fórmula de medio ángulo tangente
• Número trigonométrico
• Trigonometría
• Constantes trigonométricas expresadas en radicales reales
• Usos de la trigonometría
• Versine y haversine

Notas

1. Heng, Cheng y Talbert, "Matemáticas adicionales" , página 228
2. Schaumberger, N. (1974). "Un teorema de aula sobre irracionalidades trigonométricas". Matemáticas universitarias de dos años. J . 5 (1): 73–76. doi : 10.2307 / 3026991 . JSTOR  3026991 .
3. Garibaldi, Skip (junio de 2008). "Algo más de lo que los gobernadores necesitan saber sobre trigonometría" . Revista de Matemáticas . 81 (3): 191–200. doi : 10.1080 / 0025570X.2008.11953548 . ISSN 0025-570X . 
4. Weisstein, Eric W. "Teorema de Niven" . MathWorld .
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8. Selby 1970 , p. 188
9. Abramowitz y Stegun, p. 72, 4.3.13–15
10. Abramowitz y Stegun, p. 72, 4.3.9
11. Abramowitz y Stegun, p. 72, 4.3.7–8
12. The Trigonographer (28 de septiembre de 2015). "Suma y diferencia de ángulos para seno y coseno" . Trigonography.com . Consultado el 28 de mayo de 2017 .
13. Abramowitz y Stegun, p. 72, 4.3.16
14. Weisstein, Eric W. "Fórmulas de adición trigonométricas" . MathWorld .
15. Abramowitz y Stegun, p. 72, 4.3.17
16. Abramowitz y Stegun, p. 72, 4.3.18
17. "Identidades de suma y diferencia de ángulos" . www.milefoot.com . Consultado el 12 de octubre de 2019 .
18. Abramowitz y Stegun, p. 72, 4.3.19
19. Abramowitz y Stegun, p. 80, 4.4.32
20. Abramowitz y Stegun, p. 80, 4.4.33
21. Abramowitz y Stegun, p. 80, 4.4.34
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50. Humilde, Steve (noviembre de 2004). "Identidad de la abuela". Gaceta matemática . 88 : 524-525. doi : 10.1017 / s0025557200176223 .
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56. Finney, Ross (2003). Cálculo: gráfico, numérico, algebraico . Glenview, Illinois: Prentice Hall. págs.  159-161 . ISBN 0-13-063131-0.
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58. Abramowitz y Stegun, p. 80, 4.4.26–31
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Referencias

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. , eds. (1972). Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Nueva York: Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-61272-0.
• Nielsen, Kaj L. (1966), Tablas logarítmicas y trigonométricas a cinco lugares (2a ed.), Nueva York: Barnes & Noble , LCCN  61-9103
• Selby, Samuel M., ed. (1970), Tablas matemáticas estándar (18a ed.), The Chemical Rubber Co.

Enlaces externos

• Valores de sin y cos, expresados ​​en surds, para múltiplos enteros de 3 ° y de 5+5/8° , y para los mismos ángulos csc y ​​sec y tan
• Lista completa de fórmulas trigonométricas