Una espiral de Fermat o espiral parabólica es una curva plana nombre de Pierre de Fermat . [1] Su representación de coordenadas polares está dada por
que describe una parábola con eje horizontal.
La espiral de Fermat es similar a la espiral de Arquímedes . Pero una espiral de Arquímedes siempre tiene la misma distancia entre arcos vecinos, lo que no es cierto para la espiral de Fermat.
Al igual que otras espirales, la espiral de Fermat se utiliza para la combinación continua de curvaturas de curvas. [1]
En coordenadas cartesianas
Espiral de Fermat con ecuación polar
se puede describir en coordenadas cartesianas ( x = r cos φ , y = r sin φ ) mediante la representación paramétrica
De la representación paramétrica y φ =r 2/un 2, r = √ x 2 + y 2 se obtiene una representación mediante una ecuación :
Propiedades geometricas
División del avión
Una espiral de Fermat completa (ambas ramas) es una curva libre de doble punto suave , en contraste con la espiral de Arquímedes e hiperbólica . Divide el plano (como una línea, un círculo o una parábola) en dos regiones conectadas. Pero esta división es menos obvia que la división por una línea, un círculo o una parábola. No es obvio a qué lado pertenece un punto elegido.
Pendiente polar
Del cálculo vectorial en coordenadas polares se obtiene la fórmula
para la pendiente polar y su ángulo α entre la tangente de una curva y el círculo polar correspondiente (ver diagrama).
Para la espiral de Fermat r = a √ φ se obtiene
Por tanto, el ángulo de la pendiente disminuye monótonamente.
Curvatura
De la fórmula
para la curvatura de una curva con ecuación polar r = r ( φ ) y sus derivadas
se obtiene la curvatura de una espiral de Fermat:
En el origen, la curvatura es 0. Por tanto, la curva completa tiene en el origen un punto de inflexión y el eje x es su tangente allí.
Área entre arcos
El área de un sector de la espiral de Fermat entre dos puntos ( r ( φ 1 ), φ 1 ) y ( r ( φ 1 ), φ 1 ) es
Después de elevar ambos ángulos en 2 π se obtiene
Por tanto, el área A de la región entre dos arcos vecinos es
A solo depende de la diferencia de los dos ángulos, no de los ángulos en sí.
Para el ejemplo que se muestra en el diagrama, todas las franjas vecinas tienen la misma área: A 1 = A 2 = A 3 .
Esta propiedad se utiliza en ingeniería eléctrica para la construcción de condensadores variables . [2]
Caso especial debido a Fermat
En 1636, Fermat escribió una carta [3] a Marin Mersenne que contiene el siguiente caso especial:
Deje φ 1 = 0, φ 2 = 2 π ; entonces el área de la región negra (ver diagrama) es A 0 = a 2 π 2 , que es la mitad del área del círculo K 0 con radio r (2 π ) . Las regiones entre las curvas vecinas (blanco, azul, amarillo) tienen la misma área A = 2 a 2 π 2 . Por eso:
- El área entre dos arcos de la espiral después de un giro completo es igual al área del círculo K 0 .
Longitud de arco
La longitud del arco de la espiral de Fermat entre dos puntos ( r ( φ 1 ), φ 1 ) se puede calcular mediante la integral :
Esta integral conduce a una integral elíptica , que se puede resolver numéricamente.
Inversión de círculo
La inversión en el círculo unitario tiene en coordenadas polares la descripción simple ( r , φ ) ↦ ( 1/r, φ ) .
- La imagen de la espiral de Fermat r = a √ φ debajo de la inversión en el círculo unitario es una espiral lituus con ecuación polar
- Cuando φ = 1/un 2, ambas curvas se cruzan en un punto fijo del círculo unitario.
- La tangente ( eje x ) en el punto de inflexión (origen) de la espiral de Fermat se mapea sobre sí misma y es la línea asintótica de la espiral lituus.
La proporción áurea y el ángulo áureo
En la filotaxis del disco , como en el girasol y la margarita, la malla de espirales se produce en números de Fibonacci porque la divergencia (ángulo de sucesión en una disposición de una sola espiral) se acerca a la proporción áurea . La forma de las espirales depende del crecimiento de los elementos generados secuencialmente. En la filotaxis de disco maduro , cuando todos los elementos tienen el mismo tamaño, la forma de las espirales es la de las espirales de Fermat, idealmente. Esto se debe a que la espiral de Fermat atraviesa anillos iguales en vueltas iguales. El modelo completo propuesto por H. Vogel en 1979 [4] es
donde θ es el ángulo, r es el radio o la distancia desde el centro, y n es el número índice del flósculo y c es un factor de escala constante. El ángulo 137.508 ° es el ángulo dorado que se aproxima por las razones de los números de Fibonacci . [5]
El patrón en espiral resultante de discos unitarios debe distinguirse de las espirales Doyle , patrones formados por discos tangentes de radios geométricamente crecientes colocados en espirales logarítmicas .
Plantas solares
También se ha descubierto que la espiral de Fermat es un diseño eficiente para los espejos de las plantas de energía solar concentrada . [6]
Ver también
Referencias
- ^ a b Anastasios M. Lekkas, Andreas R. Dahl, Morten Breivik, Thor I. Fossen: "Generación de trayectoria de curvatura continua utilizando la espiral de Fermat" . En: Modelado, Identificación y Control . Vol. 34, núm. 4, 2013, págs. 183–198, ISSN 1890-1328 .
- ↑ Fritz Wicke: Einführung in die höhere Mathematik. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-662-36804-6 , pág. 414.
- ↑ Lettre de Fermat à Mersenne du 3 juin 1636, dans Paul Tannery. En: Oeuvres de Fermat. T. III, S. 277, Lire en ligne.
- ^ Vogel, H (1979). "Una mejor forma de construir la cabeza de girasol". Biociencias matemáticas . 44 (44): 179–189. doi : 10.1016 / 0025-5564 (79) 90080-4 .
- ^ Prusinkiewicz, Przemyslaw ; Lindenmayer, Aristid (1990). La belleza algorítmica de las plantas . Springer-Verlag. págs. 101-107 . ISBN 978-0-387-97297-8.
- ^ Nadie, Corey J .; Torrilhon, Manuel; Mitsos, Alexander (diciembre de 2011). "Optimización del campo de helióstatos: un nuevo modelo computacionalmente eficiente y diseño biomimético". Energía solar . doi : 10.1016 / j.solener.2011.12.007 .
Otras lecturas
- J. Dennis Lawrence (1972). Un catálogo de curvas planas especiales . Publicaciones de Dover. págs. 31, 186 . ISBN 0-486-60288-5.
enlaces externos
- "Fermat spiral" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Exploración en línea usando JSXGraph (JavaScript)
- Espirales naturales de Fermat, en sciencenews.org