Dualidad (matemáticas)
En matemáticas , una dualidad traduce conceptos, teoremas o estructuras matemáticas en otros conceptos, teoremas o estructuras, de forma uno a uno, a menudo (pero no siempre) mediante una operación de involución : si el dual de A es B , entonces el doble de B es A . Tales involuciones a veces tienen puntos fijos , de modo que el dual de A es A en sí mismo. Por ejemplo, el teorema de Desargues es auto-dual en este sentido bajo la dualidad estándar en geometría proyectiva .
En contextos matemáticos, la dualidad tiene numerosos significados. [1] Se ha descrito como "un concepto muy generalizado e importante en las matemáticas (modernas)" [2] y "un tema general importante que tiene manifestaciones en casi todas las áreas de las matemáticas". [3]
Muchas dualidades matemáticas entre objetos de dos tipos corresponden a emparejamientos , funciones bilineales de un objeto de un tipo y otro objeto del segundo tipo a alguna familia de escalares. Por ejemplo, la dualidad de álgebra lineal corresponde de esta manera a mapas bilineales de pares de espacios vectoriales a escalares, la dualidad entre distribuciones y las funciones de prueba asociadas corresponde al emparejamiento en el que se integra una distribución contra una función de prueba, y la dualidad de Poincaré corresponde de manera similar al número de intersección , visto como un emparejamiento entre subvariedades de una variedad dada. [4]
Desde el punto de vista de la teoría de categorías , la dualidad también puede verse como un funtor , al menos en el ámbito de los espacios vectoriales. Este funtor asigna a cada espacio su espacio dual, y la construcción de retroceso asigna a cada flecha f : V → W su dual f ∗ : W ∗ → V ∗ .
La siguiente lista de ejemplos muestra las características comunes de muchas dualidades, pero también indica que el significado preciso de dualidad puede variar de un caso a otro.
Un simple, tal vez el más simple, la dualidad surge de la consideración de los subconjuntos de un conjunto fijo S . Para cualquier subconjunto A ⊆ S , el complemento A c [6] consiste en todos aquellos elementos de S que no están contenidos en A . Es de nuevo un subconjunto de S . Tomar el complemento tiene las siguientes propiedades:
