En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas, una topología dual es una topología localmente convexa en un par dual , dos espacios vectoriales con una forma bilineal definida en ellos, de modo que un espacio vectorial se convierte en el dual continuo del otro espacio.
Las diferentes topologías duales para un par dual dado se caracterizan por el teorema de Mackey-Arens. Todas las topologías localmente convexas con su dual continuo son trivialmente un par dual y la topología localmente convexa es una topología dual.
Varias propiedades topológicas dependen solo del par dual y no de la topología dual elegida y, por lo tanto, a menudo es posible sustituir una topología dual complicada por una más simple.
Definición
Dado un par doble , una topología dual enes una topología localmente convexa así que eso
Aquí denota el dual continuo de y significa que hay un isomorfismo lineal
(Si una topología convexa local en no es una topología dual, entonces tampoco no es sobreyectiva o está mal definido ya que el funcional lineal no es continuo en para algunos .)
Propiedades
- Teorema (de Mackey ): Dado un par dual, los conjuntos acotados bajo cualquier topología dual son idénticos.
- Bajo cualquier topología dual, los mismos conjuntos son barridos .
Caracterización de topologías duales
El teorema de Mackey-Arens , llamado así por George Mackey y Richard Arens , caracteriza todas las topologías duales posibles en un espacio localmente convexo .
El teorema muestra que la topología dual más burda es la topología débil , la topología de convergencia uniforme en todos los subconjuntos finitos de, y la topología más fina es la topología de Mackey , la topología de convergencia uniforme en todos los subconjuntos absolutamente convexos débilmente compactos de.
Teorema de Mackey-Arens
Dado un par doble con un espacio localmente convexo y su dual continuo , entonces es una topología dual en si y solo si se trata de una topología de convergencia uniforme en una familia de subconjuntos absolutamente convexos y débilmente compactos de
Ver también
Referencias
- Bogachev, Vladimir I; Smolyanov, Oleg G. (2017). Espacios vectoriales topológicos y sus aplicaciones . Springer Monografías en Matemáticas . Cham, Suiza: Springer International Publishing. ISBN 978-3-319-57117-1. OCLC 987790956 .