En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , los espacios vectoriales topológicos localmente convexos ( LCTVS ) o los espacios localmente convexos son ejemplos de espacios vectoriales topológicos (TVS) que generalizan espacios normativos . Se pueden definir como espacios vectoriales topológicos cuya topología se genera mediante traslaciones de conjuntos convexos , absorbentes y equilibrados . Alternativamente, pueden definirse como un espacio vectorial con una familia de seminormas.y se puede definir una topología en términos de esa familia. Aunque en general tales espacios no son necesariamente normativos , la existencia de una base local convexa para el vector cero es lo suficientemente fuerte como para que se mantenga el teorema de Hahn-Banach , produciendo una teoría suficientemente rica de los funcionales lineales continuos .
Los espacios de Fréchet son espacios localmente convexos que son completamente metrizables (con una opción de métrica completa). Son generalizaciones de espacios de Banach , que son espacios vectoriales completos con respecto a una métrica generada por una norma .
Historia
Las topologías metrizables en espacios vectoriales se han estudiado desde su introducción en la tesis doctoral de 1902 de Maurice Fréchet, Sur quelques points du calcul fonctionnel (en la que se introdujo por primera vez la noción de métrica ). Después de que Felix Hausdorff definiera la noción de un espacio topológico general en 1914, [1] aunque algunos matemáticos usaban implícitamente topologías convexas localmente, hasta 1934 sólo John von Neumann parecía haber definido explícitamente la topología débil en los espacios de Hilbert y topología de operador fuerte en operadores en espacios de Hilbert. [2] [3] Finalmente, en 1935 von Neumann introdujo la definición general de un espacio localmente convexo (llamado espacio convexo por él). [4] [5]
Un ejemplo notable de un resultado que tuvo que esperar a que el desarrollo y la difusión de los espacios generales localmente convexos (entre otras nociones y resultados, como las redes , la topología del producto y el teorema de Tychonoff ) se probara en su completa generalidad, es el de Banach-Alaoglu. teorema que Stefan Banach estableció por primera vez en 1932 mediante un argumento diagonal elemental para el caso de espacios normados separables [6] (en cuyo caso la bola unitaria del dual es metrizable ).
Definición
Suponga que X es un espacio vectorial sobreun subcampo de los números complejos (normalmente sí mismo o ). Un espacio localmente convexo se define en términos de conjuntos convexos o, de manera equivalente, en términos de seminormas.
Definición mediante conjuntos convexos
Un subconjunto C en X se llama
- Convexo si para todo x , y en C , y tx + (1 - t ) y está en C . En otras palabras, C contiene todos los segmentos de línea entre los puntos en C .
- Encerrado en un círculo si para todo x en C , λx está en C si | λ | = 1 . Siesto significa que C es igual a su reflejo a través del origen. Parasignifica que para cualquier x en C , C contiene el círculo a través de x , centrado en el origen, en el subespacio complejo unidimensional generado por x .
- Un cono (cuando el subyacente se ordena campo ) si para todo x en C y 0 ≤ lambda ≤ 1, λx está en C .
- Equilibrado si para todo x en C , λx está en C si | λ | ≤ 1 . Siesto significa que si x está en C , C contiene el segmento de línea entre x y - x . Parasignifica que para cualquier x en C , C contiene el disco con x en su límite, centrado en el origen, en el subespacio complejo unidimensional generado por x . De manera equivalente, un conjunto equilibrado es un cono en un círculo.
- Absorbente o absorbente si por cada x en X , existetal que x está en tC para todos satisfactorio El conjunto C se puede escalar con cualquier valor "grande" para absorber todos los puntos del espacio.
- En cualquier TV, cada vecindario del origen es absorbente. [7]
- Absolutamente convexo o un disco si es a la vez equilibrado y convexo. Esto equivale a estar cerrado bajo combinaciones lineales cuyos coeficientes suman absolutamente a; un conjunto de este tipo es absorbente si se extiende por todos los X .
Un espacio vectorial topológico se denomina localmente convexo si el origen tiene una base de vecindad (es decir, una base local) que consta de conjuntos convexos. [7]
De hecho, cada TVS localmente convexo tiene una base de vecindad del origen que consiste en conjuntos absolutamente convexos (es decir, discos), donde esta base de vecindad se puede elegir además para que también consista enteramente en conjuntos abiertos o enteramente en conjuntos cerrados. [7] Cada TVS tiene una base de vecindad en el origen que consiste en conjuntos balanceados, pero solo un TVS localmente convexo tiene una base de vecindad en el origen que consiste en conjuntos que son tanto balanceados como convexos. Es posible que un TVS tenga algunos vecindarios del origen que sean convexos y, sin embargo, no sean localmente convexos.
Debido a que la traducción es (por definición de "espacio vectorial topológico") continua, todas las traducciones son homeomorfismos , por lo que cada base para las vecindades del origen se puede traducir a una base para las vecindades de cualquier vector dado.
Definición vía seminormas
Un seminario en X es un mapa tal que
- p es positivo o positivo semidefinito:;
- p es positivo homogéneo o positivo escalable: por cada escalar Entonces, en particular, ;
- p es subaditivo. Satisface la desigualdad del triángulo:
Si p satisface la definición positiva, que establece que si luego , entonces p es una norma . Si bien, en general, los seminarios no tienen por qué ser normas, hay un análogo de este criterio para las familias de seminarios, la separación, que se define a continuación.
- Definición : Si X es un espacio vectorial y es una familia de seminormas en X, luego un subconjunto de se llama una base de seminormas para si por todos existe un y un real tal que [8]
- Definición (segunda versión): Un espacio localmente convexo se define como un espacio vectorial X junto con una familia.de seminormas en X .
Topología seminorm
Suponga que X es un espacio vectorial sobre dónde son los números reales o complejos, y deje (resp. denotar la bola abierta (o cerrada) de radio en Una familia de seminarios en el espacio vectorial X induce una topología de espacio vectorial canónica en X , llamada topología inicial inducida por las seminormas, convirtiéndola en un espacio vectorial topológico (TVS). Por definicin, es la topologa ms gruesa en X para la cual todos los mapas en son continuos.
El hecho de que las operaciones del espacio vectorial sean continuas en esta topología se deduce de las propiedades 2 y 3 anteriores. Puede verse fácilmente que el espacio vectorial topológico resultante es "localmente convexo" en el sentido de la primera definición dada anteriormente porque cada es absolutamente convexo y absorbente (y porque estas últimas propiedades se conservan mediante traslaciones).
Es posible para una topología localmente convexa en un espacio X a ser inducida por una familia de normas pero para X a no ser normable (es decir, tener su topología ser inducida por una única norma).
Base y subbase
Suponer que es una familia de seminormas en X que induce una topología localmente convexa τ en X . Una subbase en el origen viene dada por todos los conjuntos de la formacomo p se extiende sobrey r varía sobre los números reales positivos. Una base en el origen viene dada por la colección de todas las posibles intersecciones finitas de tales conjuntos de subbasis.
Recuerde que la topología de un TVS es invariante en la traducción, lo que significa que si S es cualquier subconjunto de X que contenga el origen, entonces para cualquier S es una vecindad de 0 si y solo sies una vecindad de x ; por tanto, basta con definir la topología en el origen. Una base de vecindades de y para esta topología se obtiene de la siguiente manera: para cada subconjunto finito F de y cada dejar
Bases de seminormas y familias saturadas
Si X es un espacio localmente convexo y sies una colección de seminormes continuos en X , luegoque se llama una base del seminormas continuas si se trata de una base de seminormas para la recogida de todos los seminormas continuas en X . [8] Explícitamente, esto significa que para todos los seminormes continuos p en X , existe un y un real tal que [8]
Si es una base de seminormes continuos para un TVS X localmente convexo, luego la familia de todos los conjuntos de la formacomo q varía sobrey r varía sobre los números reales positivos, es una base de vecindades del origen en X (no solo una subbase, por lo que no es necesario tomar intersecciones finitas de tales conjuntos). [8]
Una familia de seminormas sobre un espacio vectorial X se llama saturado si por cualquier p y q en, la seminorma definida por pertenece a .
Si es una familia saturada de seminormas continuos que induce la topología en X y luego la colección de todos los conjuntos de la formacomo p se extiende sobrey r varía sobre todos los números reales positivos, forma una base de vecindad en el origen que consta de conjuntos abiertos convexos; [8] Esto forma una base en el origen en lugar de simplemente una subbase de modo que, en particular, no hay necesidad de tomar intersecciones finitas de tales conjuntos. [8]
Bases de normas
El siguiente teorema implica que si X es un espacio localmente convexo, entonces la topología de X puede ser definida por una familia de normas continuas sobre X (una norma es una seminorma dónde implica ) Si y sólo si existe al menos un continuo norma en X . [9] Esto se debe a que la suma de una norma y una seminorma es una norma, por lo que si un espacio localmente convexo está definido por alguna familia de seminormas (cada uno es necesariamente continuo) entonces la familia de normas (también continuas) obtenidas añadiendo alguna norma continua dada para cada elemento, necesariamente habrá una familia de normas que defina esta misma topología localmente convexa. Si existe una norma continua en un espacio vectorial topológico X, entonces X es necesariamente Hausdorff, pero lo contrario no es cierto en general (ni siquiera para espacios localmente convexos o espacios de Fréchet ).
Teorema [10] - Sea ser un espacio de Fréchet sobre el campo Entonces los siguientes son equivalentes:
- no no admitir una norma continua (es decir, cualquier seminorma continua enno puede ser una norma).
- contiene un subespacio vectorial que es TVS-isomorfo a
- contiene un subespacio vectorial complementado que es TVS-isomorfo a
Redes
Suponga que la topología de un espacio localmente convexo X es inducida por una familiade seminormas continuas en X . Si y si es una red en X , entoncesen X si y solo si para todos [11] Además, sies Cauchy en X , entonces también lo es para cada [11]
Equivalencia de definiciones
Aunque la definición en términos de una base de vecindario ofrece una mejor imagen geométrica, la definición en términos de seminormas es más fácil de trabajar en la práctica. La equivalencia de las dos definiciones se deriva de una construcción conocida como calibre funcional de Minkowski o calibre de Minkowski. La característica clave de los seminormas que asegura la convexidad de sus ε - bolas es la desigualdad del triángulo .
Para un conjunto absorbente C tal que si x está en C , entonces tx está en C siempre que, define el funcional de Minkowski de C como
De esta definición se sigue que es seminorme si C es equilibrado y convexo (también es absorbente por supuesto). Por el contrario, dada una familia de seminarios, los conjuntos
Forman una base de conjuntos equilibrados absorbentes convexos.
Formas de definir una topología convexa local
Teorema [7] - Suponga que X es un espacio vectorial (real o complejo) y seaser una base de filtro de subconjuntos de X tal que:
- Cada es convexo , equilibrado y absorbente ;
- Para cada existe algo real r satisfactorio tal que
Luego es una base de barrio a 0 para una topología localmente convexa en TVS X .
Teorema [7] - Suponga que X es un espacio vectorial (real o complejo) y seaser una colección no vacía de convexa, equilibrada , y de absorción de subconjuntos de X . Entonces el conjunto de todos los múltiplos escalares positivos de intersecciones finitas de conjuntos enforma una base barrio a 0 para una topología localmente convexa en TVS X .
Definiciones adicionales
- Una familia de seminarios se llama total o separado o se dice que separa puntos si siemprese cumple para cada α entonces x es necesariamente 0 . Un espacio localmente convexo es Hausdorff si y solo si tiene una familia separada de seminormas. Muchos autores toman el criterio de Hausdorff en la definición.
- Una pseudométrica es una generalización de una métrica que no satisface la condición de que sólo cuando Un espacio localmente convexo es pseudometrizable, lo que significa que su topología surge de una pseudometría, si y solo si tiene una familia contable de seminormas. De hecho, una pseudometría que induce la misma topología viene dada por (donde 1/2 n puede ser reemplazado por cualquier secuencia sumable positiva). Esta pseudométrica es invariante a la traducción, pero no homogénea, lo que significay por lo tanto no define una (pseudo) norma. La pseudométrica es una métrica honesta si y solo si la familia de seminormas está separada, ya que este es el caso si y solo si el espacio es Hausdorff. Si además el espacio está completo, el espacio se denomina espacio Fréchet .
- Como ocurre con cualquier espacio vectorial topológico, un espacio localmente convexo es también un espacio uniforme . Así, uno puede hablar de continuidad uniforme , la convergencia uniforme , y secuencias de Cauchy .
- Una red de Cauchy en un espacio localmente convexo es una red { x κ } κ tal que para cada ε > 0 y cada seminorma p α , existe una κ tal que para todo λ , μ > κ , p α ( x λ - x μ ) < ε . En otras palabras, la red debe ser Cauchy en todos los seminormas simultáneamente. La definición de completitud se da aquí en términos de redes en lugar de las secuencias más familiares porque, a diferencia de los espacios de Fréchet que son metrizables, los espacios generales pueden estar definidos por una familia incontable de pseudometría. Las secuencias, que son contables por definición, no pueden ser suficientes para caracterizar la convergencia en tales espacios. Un espacio localmente convexo está completo si y solo si todas las redes de Cauchy convergen.
- Una familia de seminormas se convierte en un conjunto preordenado bajo la relación p α ≤ p β si y solo si existe un M > 0 tal que para todo x , p α ( x ) ≤ Mp β ( x ) . Se dice que es una familia dirigida de seminormas si la familia es un conjunto dirigido con la suma como unión , es decir, si para cada α y β , hay una γ tal que p α + p β ≤ p γ . Cada familia de seminormas tiene una familia dirigida equivalente, es decir, una que define la misma topología. De hecho, dada una familia { p α } α ∈ I , sea Φ el conjunto de subconjuntos finitos de I , entonces para cada F en Φ , defina Se puede comprobar que { q F } F ∈ Φ es una familia dirigida equivalente.
- Si la topología del espacio se induce a partir de una única seminorma, entonces el espacio es seminormable . Cualquier espacio localmente convexo con una familia finita de seminormas es seminormable. Además, si el espacio es Hausdorff (la familia está separada), entonces el espacio es normable, con la norma dada por la suma de las seminormas. En términos de conjuntos abiertos, un espacio vectorial topológico localmente convexo es seminormable si y solo si 0 tiene una vecindad acotada .
Condiciones suficientes
Propiedad de extensión de Hahn-Banach
Sea X un TVS. Decir que un subespacio vectorial M de X tiene la propiedad de extensión si cualquier continua funcional lineal en M se puede extender a una funcional lineal continua en X . [12] Supongamos que X tiene la propiedad de extensión de Hahn-Banach ( HBEP ) si cada subespacio vectorial de X tiene la propiedad de extensión. [12]
The Hahn-Banach theorem guarantees that every Hausdorff locally convex space has the HBEP. For complete metrizable TVSs there is a converse:
Theorem[12] (Kalton) — Every complete metrizable TVS with the Hahn-Banach extension property is locally convex.
If a vector space X has uncountable dimension and if we endow it with the finest vector topology then this is a TVS with the HBEP that is neither locally convex or metrizable.[12]
Propiedades
Throughout, is a family of continuous seminorms that generate the topology of X.
Topological properties
- Suppose that Y is a TVS (not necessarily locally convex or Hausdorff) over the real or complex numbers. Then the open convex subsets of Y are exactly those that are of the form for some and some positive continuous sublinear functional p on Y.[13]
- If and then if and only if for every and every finite collection there exists some such that [14]
- The closure of in X is equal to [15]
- Every Hausdorff locally convex TVS is homeomorphic to a subspace of a product of Banach spaces.[16]
Topological properties of convex subsets
- The interior and closure of a convex subset of a TVS is again convex.[17]
- The Minkowski sum of two convex sets is convex; furthermore, the scalar multiple of a convex set is again convex.[17]
- If C is a convex set with non-empty interior, then the closure of C is equal to the closure of the interior of C; furthermore, the interior of C is equal to the interior of the closure of C.[17][18]
- So if a convex set C has non-empty interior then C is a closed (resp. open) set if and only if it is a regular closed (resp. regular open) set.
- If C is a convex subset of a TVS X (not necessarily Hausdorff), x belongs to the interior of S, and y belongs to the closure of S, then the open line segment joint x and y (that is, ) belongs to the interior of S.[18][19]
- If X is a locally convex space (not necessarily Hausdorff), M is a closed vector subspace of X, V is a convex neighborhood of 0 in M, and if is a vector not in V, then there exists a convex neighborhood U of 0 in X such that and [17]
- The closure of a convex subset of a Hausdorff locally convex TVS X is the same for all locally convex Hausdorff TVS topologies on X that are compatible with duality between X and its continuous dual space.[20]
- In a locally convex space, the convex hull and the disked hull of a totally bounded set is totally bounded.[7]
- In a complete locally convex space, the convex hull and the disked hull of a compact set are both compact.[7]
- More generally, if K is a compact subset of a locally convex space, then the convex hull (resp. the disked hull ) is compact if and only if it is complete.[7]
- In a locally convex space, convex hulls of bounded sets are bounded. This is not true for TVSs in general.[21]
- In a Fréchet space, the closed convex hull of a compact set is compact.[22]
- In a locally convex space, any linear combination of totally bounded sets is totally bounded.[21]
Properties of convex hulls
For any subset S of a TVS X, the convex hull (resp. closed convex hull, balanced hull, resp. convex balanced hull) of S, denoted by (resp. , ), is the smallest convex (resp. closed convex, balanced, convex balanced) subset of X containing S.
- In a quasi-complete locally convex TVS, the closure of the convex hull of a compact subset is again compact.
- In a Hausdorff locally convex TVS, the convex hull of a precompact set is again precompact.[23] Consequently, in a complete locally convex Hausdorff TVS, the closed convex hull of a compact subset is again compact.[24]
- In any TVS, the convex hull of a finite union of compact convex sets is compact (and convex).[7]
- This implies that in any Hausdorff TVS, the convex hull of a finite union of compact convex sets is closed (in addition to being compact and convex); in particular, the convex hull of such a union is equal to the closed convex hull of that union.
- In general, the closed convex hull of a compact set is not necessarily compact.
- In any non-Hausdorff TVS, there exist subsets that are compact (and thus complete) but not closed.
- The bipolar theorem states that the bipolar (i.e. the polar of the polar) of a subset of a locally convex Hausdorff TVS is equal to the closed convex balanced hull of that set.[25]
- The balanced hull of a convex set is not necessarily convex.
- If C and D are convex subsets of a topological vector space (TVS) X and if , then there exist and a real number r satisfying such that [17]
- If M is a vector subspace of a TVS X, C a convex subset of M, and D a convex subset of X such that , then .[17]
- Recall that the smallest balanced subset of X containing a set S is called the balanced hull of S and is denoted by For any subset S of X, the convex balanced hull of S, denoted by , is the smallest subset of X containing S that is convex and balanced.[26] The convex balanced hull of S is equal to the convex hull of the balanced hull of S (i.e. ), but the convex balanced hull of S is not necessarily equal to the balanced hull of the convex hull of S (i.e. is not necessarily equal to ).[26]
- If A and B are subsets of a TVS X and if r is a scalar then , , and Moreover, if is compact then [27]
- If A and B are subsets of a TVS X whose closed convex hulls are compact, then [27]
- If S is a convex set in a complex vector space X and there exists some such that then for all real such that In particular, for all scalars a such that
Ejemplos y no ejemplos
Finest and coarsest locally convex topology
Coarsest vector topology
Any vector space X endowed with the trivial topology (i.e. the indiscrete topology) is a locally convex TVS (and of course, it is the coarsest such topology). This topology is Hausdorff if and only The indiscrete topology makes any vector space into a complete pseudometrizable locally convex TVS.
In contrast, the discrete topology forms a vector topology on X if and only This follows from the fact that every topological vector space is a connected space.
Finest locally convex topology
If X is a real or complex vector space and if is the set of all seminorms on X then the locally convex TVS topology, denoted by 𝜏lc, that induces on X is called the finest locally convex topology on X.[28] This topology may also be described as the TVS-topology on X having as a neighborhood base at 0 the set of all absorbing disks in X.[28] Any locally convex TVS-topology on X is necessarily a subset of 𝜏lc. (X, 𝜏lc) is Hausdorff.[15] Every linear map from (X, 𝜏lc) into another locally convex TVS is necessarily continuous.[15] In particular, every linear functional on (X, 𝜏lc) is continuous and every vector subspace of X is closed in (X, 𝜏lc).;[15] therefore, if X is infinite dimensional then (X, 𝜏lc) is not pseudometrizable (and thus not metrizable).[28] Moreover, 𝜏lc is the only Hausdorff locally convex topology on X with the property that any linear map from it into any Hausdorff locally convex space is continuous.[29] The space (X, 𝜏lc) is a bornological space.[30]
Examples of locally convex spaces
Every normed space is a Hausdorff locally convex space, and much of the theory of locally convex spaces generalises parts of the theory of normed spaces. The family of seminorms can be taken to be the single norm. Every Banach space is a complete Hausdorff locally convex space, in particular, the Lp spaces with p ≥ 1 are locally convex.
More generally, every Fréchet space is locally convex. A Fréchet space can be defined as a complete locally convex space with a separated countable family of seminorms.
The space of real valued sequences with the family of seminorms given by
is locally convex. The countable family of seminorms is complete and separable, so this is a Fréchet space, which is not normable. This is also the limit topology of the spaces , embedded in in the natural way, by completing finite sequences with infinitely many .
Given any vector space X and a collection F of linear functionals on it, X can be made into a locally convex topological vector space by giving it the weakest topology making all linear functionals in F continuous. This is known as the weak topology or the initial topology determined by F. The collection F may be the algebraic dual of X or any other collection. The family of seminorms in this case is given by for all f in F.
Spaces of differentiable functions give other non-normable examples. Consider the space of smooth functions such that , where a and b are multiindices. The family of seminorms defined by is separated, and countable, and the space is complete, so this metrisable space is a Fréchet space. It is known as the Schwartz space, or the space of functions of rapid decrease, and its dual space is the space of tempered distributions.
An important function space in functional analysis is the space D(U) of smooth functions with compact support in A more detailed construction is needed for the topology of this space because the space C∞
0(U) is not complete in the uniform norm. The topology on D(U) is defined as follows: for any fixed compact set K ⊂ U, the space of functions f ∈ C∞
0(U) with supp( f ) ⊂ K is a Fréchet space with countable family of seminorms || f ||m = supk≤msupx|Dk f (x)| (these are actually norms, and the completion of the space with the || ⋅ ||m norm is a Banach space Dm(K)). Given any collection {Kλ}λ of compact sets, directed by inclusion and such that their union equal U, the C∞
0(Kλ) form a direct system, and D(U) is defined to be the limit of this system. Such a limit of Fréchet spaces is known as an LF space. More concretely, D(U) is the union of all the C∞
0(Kλ) with the strongest locally convex topology which makes each inclusion map C∞
0(Kλ) ↪ D(U) continuous. This space is locally convex and complete. However, it is not metrisable, and so it is not a Fréchet space. The dual space of is the space of distributions on
More abstractly, given a topological space X, the space of continuous (not necessarily bounded) functions on X can be given the topology of uniform convergence on compact sets. This topology is defined by semi-norms φK( f ) = max{| f (x)| : x ∈ K }(as K varies over the directed set of all compact subsets of X). When X is locally compact (e.g. an open set in ) the Stone-Weierstrass theorem applies—in the case of real-valued functions, any subalgebra of that separates points and contains the constant functions (e.g., the subalgebra of polynomials) is dense.
Examples of spaces lacking local convexity
Many topological vector spaces are locally convex. Examples of spaces that lack local convexity include the following:
- The spaces Lp([0, 1]) for are equipped with the F-normThey are not locally convex, since the only convex neighborhood of zero is the whole space. More generally the spaces Lp(μ) with an atomless, finite measure μ and are not locally convex.
- The space of measurable functions on the unit interval (where we identify two functions that are equal almost everywhere) has a vector-space topology defined by the translation-invariant metric: (which induces the convergence in measure of measurable functions; for random variables, convergence in measure is convergence in probability) This space is often denoted
Both examples have the property that any continuous linear map to the real numbers is 0. In particular, their dual space is trivial, that is, it contains only the zero functional.
- The sequence space ℓp(N), , is not locally convex.
Mapeos continuos
Theorem[31] — Let be a linear operator between TVSs where Y is locally convex (note that X need not be locally convex). Then is continuous if and only if for every continuous seminorm q on Y, there exists a continuous seminorm p on X such that
Because locally convex spaces are topological spaces as well as vector spaces, the natural functions to consider between two locally convex spaces are continuous linear maps. Using the seminorms, a necessary and sufficient criterion for the continuity of a linear map can be given that closely resembles the more familiar boundedness condition found for Banach spaces.
Given locally convex spaces X and Y with families of seminorms {pα}α and {qβ}β respectively, a linear map is continuous if and only if for every β, there exist α1, α2, …, αn and M > 0 such that for all v in X
In other words, each seminorm of the range of T is bounded above by some finite sum of seminorms in the domain. If the family {pα}α is a directed family, and it can always be chosen to be directed as explained above, then the formula becomes even simpler and more familiar:
The class of all locally convex topological vector spaces forms a category with continuous linear maps as morphisms.
Linear functionals
Theorem[31] — If X is a TVS (not necessarily locally convex) and if f is a linear functional on X, then f is continuous if and only if there exists a continuous seminorm p on X such that
If X is a real or complex vector space, f is a linear functional on X, and p is a seminorm on X, then if and only if [31] If f is a non-0 linear functional on a real vector space X and if p is a seminorm on X, then if and only if [15]
Multilinear maps
Let be an integer, be TVSs (not necessarily locally convex), let Y be a locally convex TVS whose topology is determined by a family of continuous seminorms, and let be a multilinear operator that is linear in each of its n coordinates. The following are equivalent:
- M is continuous.
- For every , there exist continuous seminorms on respectively, such that for all [15]
- For every , there exists some neighborhood of 0 in on which is bounded.[15]
Ver también
- Convex set – In geometry, set that intersects every line into a single line segment
- Krein–Milman theorem – On when a space equals the closed convex hull of its extreme points
- Linear form – Linear map from a vector space to its field of scalars
- Locally convex vector lattice
- Minkowski functional
- Seminorm
- Sublinear functional
- Topological group – Group that is a topological space with continuous group action
- Topological vector space – Vector space with a notion of nearness
- Vector space – Basic algebraic structure of linear algebra
Notas
- ^ Hausdorff, F. Grundzüge der Mengenlehre (1914)
- ^ von Neumann, J. Collected works. Vol II. p.94-104
- ^ Dieudonne, J. History of Functional Analysis Chapter VIII. Section 1.
- ^ von Neumann, J. Collected works. Vol II. p.508-527
- ^ Dieudonne, J. History of Functional Analysis Chapter VIII. Section 2.
- ^ Banach, S. Theory of linear operations p.75. Ch. VIII. Sec. 3. Theorem 4., translated from Theorie des operations lineaires (1932)
- ^ a b c d e f g h i Narici & Beckenstein 2011, pp. 67-113.
- ^ a b c d e f Narici & Beckenstein 2011, p. 122.
- ^ Jarchow 1981, p. 130.
- ^ Jarchow 1981, pp. 129-130.
- ^ a b Narici & Beckenstein 2011, p. 126.
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- ^ Narici & Beckenstein 2011, pp. 177-220.
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Referencias
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