En matemáticas , una forma lineal (también conocida como funcional lineal , [1] una forma o un covector ) es un mapa lineal desde un espacio vectorial a su campo de escalares (a menudo, los números reales o los números complejos ) .
Si V es un espacio vectorial sobre un campo k , el conjunto de todos los funcionales lineales de V a k es en sí mismo un espacio vectorial sobre k con la suma y la multiplicación escalar definidas puntualmente . Este espacio se denomina espacio dual de V , o algunas veces espacio dual algebraico , cuando también se considera un espacio dual topológico . A menudo se denota Hom ( V , k ) , [2] o, cuando se entiende el campo k ,; [3] también se utilizan otras notaciones, como, [4] [5] o [2] Cuando los vectores están representados por vectores de columna (como es común cuando una base es fija), los funcionales lineales se representan como vectores de fila , y sus valores en vectores específicos están dados por productos matriciales (con el vector de fila a la izquierda ).
Ejemplos de
La "función cero constante", que asigna cada vector a cero, es trivialmente una función lineal. Todos los demás funcionales lineales (como los que se muestran a continuación) son sobreyectivos (es decir, su rango es todo de k ).
Funcionales lineales en R n
Suponga que los vectores en el espacio de coordenadas real se representan como vectores de columna
Para cada vector de fila hay un funcional lineal definido por
Esto se puede interpretar como el producto matricial o el producto escalar del vector fila y el vector de columna :
Integración (Definida)
Los funcionales lineales aparecieron por primera vez en el análisis funcional , el estudio de espacios vectoriales de funciones . Un ejemplo típico de un funcional lineal es la integración : la transformación lineal definida por la integral de Riemann
es un funcional lineal del espacio vectorial de funciones continuas en el intervalo [ a , b ] , a los números reales. La linealidad de I se deriva de los hechos estándar sobre la integral:
Evaluación
Sea P n el espacio vectorial de funciones polinomiales de valor real de gradodefinido en un intervalo [ a , b ] . Si entonces deja ser la evaluación funcional
Si están puntos distintos en [ a , b ] , luego los funcionales de evaluación forman una base del espacio dual de( Lax (1996) prueba este último hecho utilizando la interpolación de Lagrange ).
No es un ejemplo
Una función teniendo la ecuación de una recta con (p.ej no es un funcional lineal en, ya que no es lineal . [nb 1] Sin embargo, es afín-lineal .
Visualización
En dimensiones finitas, un funcional lineal se puede visualizar en términos de sus conjuntos de niveles , los conjuntos de vectores que se asignan a un valor dado. En tres dimensiones, los conjuntos de niveles de un funcional lineal son una familia de planos mutuamente paralelos; en dimensiones superiores, son hiperplanos paralelos . Este método de visualizar funcionales lineales se introduce a veces en textos de relatividad general , como Gravitation de Misner, Thorne y Wheeler (1973) .
Aplicaciones
Aplicación a la cuadratura
Si están puntos distintos en [ a , b ] , luego los funcionales linealesdefinido anteriormente forman una base del espacio dual de P n , el espacio de polinomios de gradoEl funcional de integración I también es un funcional lineal en P n , por lo que puede expresarse como una combinación lineal de estos elementos básicos. En símbolos, hay coeficientes para cual
En mecánica cuántica
Los funcionales lineales son particularmente importantes en la mecánica cuántica . Sistemas mecánicos cuánticos están representados por los espacios de Hilbert , que son contra - isomorfo a sus propios espacios duales. Un estado de un sistema mecánico cuántico se puede identificar con un funcional lineal. Para obtener más información, consulte la notación bra-ket .
Distribuciones
En la teoría de funciones generalizadas , ciertos tipos de funciones generalizadas llamadas distribuciones pueden realizarse como funcionales lineales en espacios de funciones de prueba .
Vectores duales y formas bilineales
Toda forma bilineal no degenerada en un espacio vectorial de dimensión finita V induce un isomorfismo V → V ∗ : v ↦ v ∗ tal que
donde se denota la forma bilineal en V(por ejemplo, en el espacio euclidiano } es el producto escalar de v y w ).
El isomorfismo inverso es V ∗ → V : v ∗ ↦ v , donde v es el elemento único de V tal que
Se dice que el vector v ∗ ∈ V ∗ definido anteriormente es el vector dual de
En un espacio de Hilbert de dimensión infinita , el teorema de representación de Riesz mantiene resultados análogos . Hay un mapeo V → V ∗ en el espacio dual continuo V ∗ .
Relación con las bases
Base del espacio dual
Deje que el espacio vectorial V tenga una base, no necesariamente ortogonal . Entonces el espacio dual tiene una base llamada la base dual definida por la propiedad especial que
O, más sucintamente,
donde δ es el delta de Kronecker . Aquí los superíndices de los funcionales básicos no son exponentes, sino índices contravariantes .
Un funcional lineal perteneciente al espacio dual se puede expresar como una combinación lineal de funciones básicas, con coeficientes ("componentes") u i ,
Luego, aplicando el funcional a un vector base rendimientos
debido a la linealidad de múltiplos escalares de funcionales y linealidad puntual de sumas de funcionales. Luego
Entonces, cada componente de un funcional lineal se puede extraer aplicando el funcional al vector base correspondiente.
La base dual y el producto interior
Cuando el espacio V lleva un producto interno , entonces es posible escribir explícitamente una fórmula para la base dual de una base dada. Sea V tener una base (no necesariamente ortogonal)En tres dimensiones ( n = 3 ), la base dual se puede escribir explícitamente
En dimensiones superiores, esto se generaliza de la siguiente manera
Sobre un anillo
Los módulos sobre un anillo son generalizaciones de espacios vectoriales, lo que elimina la restricción de que los coeficientes pertenecen a un campo . Dado un módulo M sobre un anillo R , una forma lineal en M es un mapa lineal de M a R , donde este último se considera un módulo sobre sí mismo. El espacio de formas lineales siempre se denota como Hom k ( V , k ) , ya sea que k sea un campo o no. Es un módulo derecho , si V es un módulo izquierdo.
La existencia de formas lineales "suficientes" en un módulo es equivalente a la proyectividad . [8]
Lema de base dual - Un módulo R - M es proyectivo si y solo si existe un subconjunto y formas lineales tal que, por cada solo un número finito son distintos de cero, y
Cambio de campo
Suponer que es un espacio vectorial sobre Restringir la multiplicación escalar a da lugar a un espacio vectorial real [9] llamado la realización de Cualquier espacio vectorial encima es también un espacio vectorial sobre , dotado de una estructura compleja ; es decir, existe un subespacio vectorial real de modo que podamos (formalmente) escribir como -espacios vectoriales.
Cada funcional lineal en (respectivamente, en ) tiene valor complejo (resp. valor real) y no es trivial (es decir, no idénticamente ) si y solo si es sobreyectiva (porque si luego para cualquier escalar ), en cuyo caso su imagen es (resp. es ). En consecuencia, la única función en que es un funcional lineal en y una función lineal en es lo trivial funcional; en otras palabras, dónde denota el espacio dual algebraico del espacio . Sin embargo, cada-funcional lineal en es un R {\ Displaystyle \ mathbb {R}} -linear operador (es decir que es aditivo y más homogénea R {\ Displaystyle \ mathbb {R}} ), pero a menos que sea idénticamente no es un -linear funcional en porque su rango (que es ) es bidimensional sobre Por el contrario, un distinto de cero -el funcional lineal tiene un rango demasiado pequeño para ser un -lineal funcional también.
Si luego denote su parte real pory su parte imaginaria por Luego y son funcionales lineales en y El hecho de que para todos implica que para todos [9]
La asignación define un biyectivo -operador lineal cuya inversa es el mapa definido por la asignación que envía al funcional lineal definido por
Esta relación fue descubierta por Henry Löwig en 1934 (aunque generalmente se le atribuye a F. Murray), [10] y puede generalizarse a extensiones finitas arbitrarias de un campo de forma natural. Tiene muchas consecuencias importantes, algunas de las cuales se describirán a continuación.
Suponer es un funcional lineal en con parte real y parte imaginaria
- si y solo si si y solo si
- Asumir que es un espacio vectorial topológico . Luego es continuo si y solo si su parte real es continuo, si y solo si parte imaginaria es continuo. Esto sigue siendo cierto si la palabra "continuo" se reemplaza por la palabra " acotado ". En particular, si y solo si donde el primo denota el espacio dual continuo del espacio . [9]
- Dejar Si para todos los escalares de unidad de longitud (es decir) luego [prueba 1]Si luegodónde denota la parte compleja de En particular, si es un espacio normado entoncesdonde todas las normas del operador se definen de la forma habitual como supremums de valores absolutos sobre la bola unitaria cerradaEsta conclusión se extiende al enunciado análogo para los polares de conjuntos equilibrados en espacios vectoriales topológicos generales .
- Si es un espacio de Hilbert complejo con un producto interno (complejo) que es antilineal en su primera coordenada (y lineal en la segunda) luego se convierte en un espacio real de Hilbert cuando se le dota de la parte real de Explícitamente, este producto interno real en es definido por para todos e induce la misma norma en como porque para todos los vectores Aplicando el teorema de representación de Riesz a (resp. a ) garantiza la existencia de un vector único (resp. ) tal que (resp. ) para todos los vectores El teorema también garantiza que y Se verifica fácilmente que Ahora y las igualdades anteriores implican que que es la misma conclusión a la que se llegó anteriormente.
En infinitas dimensiones
A continuación, todos los espacios vectoriales están por encima de los números reales. o los números complejos
Si es un espacio vectorial topológico , el espacio de funcionales lineales continuos , el dual continuo , a menudo se denomina simplemente espacio dual. Sies un espacio de Banach , entonces también lo es su dual (continuo). Para distinguir el espacio dual ordinario del espacio dual continuo, el primero a veces se denomina espacio dual algebraico . En dimensiones finitas, todo funcional lineal es continuo, por lo que el dual continuo es lo mismo que el dual algebraico, pero en dimensiones infinitas el dual continuo es un subespacio propio del dual algebraico.
Una función lineal f en un espacio vectorial topológico X (no necesariamente localmente convexo ) es continua si y solo si existe una seminorma continua p en X tal que [11]
Caracterización de subespacios cerrados
Los funcionales lineales continuos tienen buenas propiedades para el análisis : un funcional lineal es continuo si y solo si su núcleo está cerrado, [12] y un funcional lineal continuo no trivial es un mapa abierto , incluso si el espacio vectorial (topológico) no está completo . [13]
Hiperplanos y subespacios máximos
Un subespacio vectorial de se llama máxima si (significado y ) y no existe un subespacio vectorial de tal que Un subespacio vectorial de es máxima si y sólo si es el núcleo de algún funcional lineal no trivial en (es decir, para algunos funcionales lineales en que no es idénticamente 0 ). Un hiperplano afín enes una traducción de un subespacio vectorial máximo. Por linealidad, un subconjunto de es un hiperplano afín si y solo si existe alguna función lineal no trivial en tal que [10] Si es un funcional lineal y es un escalar entonces Esta igualdad se puede utilizar para relacionar diferentes conjuntos de niveles de Además, si entonces el núcleo de se puede reconstruir a partir del hiperplano afín por
Relaciones entre múltiples funcionales lineales
Dos funcionales lineales cualesquiera con el mismo núcleo son proporcionales (es decir, múltiplos escalares entre sí). Este hecho se puede generalizar al siguiente teorema.
Teorema [14] [15] - Sison funcionales lineales en X , entonces los siguientes son equivalentes:
- f se puede escribir como una combinación lineal de; es decir, existen escalares tal que ;
- ;
- existe un número real r tal que para todos y todo
Si f es un funcional lineal no trivial en X con kernel N , satisface y U es un subconjunto equilibrado de X , entonces si y solo si para todos [13]
Teorema de Hahn-Banach
Cualquier funcional lineal (algebraico) en un subespacio vectorial puede extenderse a todo el espacio; Por ejemplo, las funciones de evaluación descritas anteriormente se pueden extender al espacio vectorial de polinomios en todos losSin embargo, esta extensión no siempre se puede hacer mientras se mantiene continuo el funcional lineal. La familia de teoremas de Hahn-Banach da las condiciones bajo las cuales se puede realizar esta extensión. Por ejemplo,
Teorema de extensión dominado por Hahn-Banach [16] ( Rudin 1991 , Th. 3.2) - Sies una función sublineal , yes un funcional lineal en un subespacio lineal que está dominado por p en M , entonces existe una extensión linealde f al espacio completo X que está dominado por p , es decir, existe un funcional lineal F tal que
Equicontinuidad de familias de funcionales lineales
Sea X un espacio vectorial topológico (TVS) con espacio dual continuo
Para cualquier subconjunto H delos siguientes son equivalentes: [17]
- H es equicontinuo ;
- H está contenido en el polar de alguna vecindad deen X ;
- el (pre) polar de H es una vecindad deen X ;
Si H es un subconjunto equicontinuo deentonces los siguientes conjuntos también son equicontinuos: el cierre débil * , el casco equilibrado , el casco convexo y el casco convexo equilibrado . [17] Además, el teorema de Alaoglu implica que el cierre débil- * de un subconjunto equicontinuo dees débil- * compacto (y por lo tanto, cada subconjunto equicontinuo débil- * relativamente compacto). [18] [17]
Ver también
- Mapa lineal discontinuo
- Espacio vectorial topológico localmente convexo : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
- Funcional lineal positivo
- Forma multilineal : mapa de varios vectores a un campo subyacente de escalares, lineal en cada argumento
- Espacio vectorial topológico: espacio vectorial con una noción de proximidad
Notas
Notas al pie
- ^ Por ejemplo,
Pruebas
- ^ Es cierto siasí que asume lo contrario. Desde para todos los escalares resulta que Si entonces deja y ser tal que y donde si entonces toma Luego y porqué es un número real, Por suposición entonces Desde fue arbitrario, se sigue que
Referencias
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- ↑ a b Tu (2011) p. 19, §3.1
- ^ Katznelson y Katznelson (2008) p. 37, §2.1.3
- ^ Axler (2015) p. 101, §3.94
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