En matemáticas , un número primo de Eisenstein es un número entero de Eisenstein
que es irreductible (o equivalentemente primo ) en el sentido de la teoría de anillos: sus únicos divisores de Eisenstein son las unidades {± 1, ± ω , ± ω 2 } , a + bω en sí y sus asociados.
Los asociados (múltiplos de unidades) y el complejo conjugado de cualquier primo de Eisenstein también son primos.
Caracterización
Un entero de Eisenstein z = a + bω es un número primo de Eisenstein si y solo si se cumple alguna de las siguientes condiciones (mutuamente excluyentes):
- z es igual al producto de una unidad y un primo natural de la forma 3 n - 1 (necesariamente congruente con 2 mod 3 ),
- | z | 2 = a 2 - ab + b 2 es un primo natural (necesariamente congruente con 0 o 1 mod 3 ).
De ello se deduce que el cuadrado del valor absoluto de cada primo de Eisenstein es un primo natural o el cuadrado de un primo natural.
En base 12 (escrito con dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B): Los números primos naturales de Eisenstein son exactamente los números primos naturales que terminan en 5 o B (es decir, los números primos naturales primos congruentes con 2 mod 3 ). (Los primos naturales que son primos en los enteros gaussianos son exactamente los primos naturales que terminan en 7 o B, es decir, los primos naturales congruentes con 3 mod 4 ).)
Ejemplos de
Los primeros números primos de Eisenstein que son iguales a un primo natural 3 n - 1 son:
- 2 , 5 , 11 , 17 , 23 , 29 , 41 , 47 , 53 , 59 , 71 , 83 , 89 , 101 , ... (secuencia A003627 en la OEIS ).
Los primos naturales que son congruentes con 0 o 1 módulo 3 no son primos de Eisenstein: admiten factorizaciones no triviales en Z [ ω ]. Por ejemplo:
- 3 = - (1 + 2 ω ) 2
- 7 = (3 + ω ) (2 - ω ) .
En general, si un primo natural p es 1 módulo 3 y, por lo tanto, se puede escribir como p = a 2 - ab + b 2 , entonces factoriza Z [ ω ] como
- p = ( a + bω ) (( a - b ) - bω ) .
Algunos números primos de Eisenstein no reales son
- 2 + ω , 3 + ω , 4 + ω , 5 + 2 ω , 6 + ω , 7 + ω , 7 + 3 ω .
Hasta la conjugación y los múltiplos de unidades, los primos enumerados anteriormente, junto con 2 y 5, son todos los primos de Eisenstein de valor absoluto que no exceda de 7.
Grandes números primos
A septiembre de 2019[actualizar], el primo de Eisenstein más grande conocido (real) es el noveno primo más grande conocido 10223 × 2 31172165 + 1 , descubierto por Péter Szabolcs y PrimeGrid . [1] Todos los números primos más grandes conocidos son números primos de Mersenne , descubiertos por GIMPS . Los primos de Eisenstein reales son congruentes con 2 mod 3 , y todos los primos de Mersenne mayores que 3 son congruentes con 1 mod 3 ; por tanto, ningún primo de Mersenne es un primo de Eisenstein.
Ver también
Referencias
- ^ Chris Caldwell, " Los veinte primeros: Primes más grandes conocidos " de las páginas principales . Consultado el 18 de septiembre de 2019.