En la teoría algebraica de números, la ley de reciprocidad de Eisenstein es una ley de reciprocidad que extiende la ley de reciprocidad cuadrática y la ley de reciprocidad cúbica a los residuos de poderes superiores. Es una de las leyes de reciprocidad más tempranas y más simples, y es una consecuencia de varias leyes de reciprocidad posteriores y más fuertes, como la ley de reciprocidad de Artin . Fue introducido por Eisenstein ( 1850 ), aunque Jacobi había anunciado previamente (sin pruebas) un resultado similar para los casos especiales de las potencias 5, 8 y 12 en 1839. [1]
Fondo y notación
Dejar ser un entero y dejar ser el anillo de números enteros del m - ésimo campo ciclotómico dónde es una m primitiva raíz de unidad .
Los números son unidades en(También hay otras unidades ).
Números primarios
Un número se llama primario [2] [3] si no es una unidad , es relativamente primo para, y es congruente con un racional (es decir, en ) entero
El siguiente lema [4] [5] muestra que los números primarios en son análogos a los números enteros positivos en
Suponer que y que ambos y son relativamente primordiales para Luego
- Hay un entero haciendo primario. Este entero es único
- Si y son primarios entonces es primario, siempre que es coprime con .
- Si y son primarios entonces es primario.
- es primario.
El significado de que aparece en la definición se ve más fácilmente cuando es un primo. En ese caso Además, el ideal principal de está totalmente ramificado en
m -ésimo símbolo de residuo de energía
Para el m -ésimo símbolo de residuo de potencia paraes cero o una m -ésima raíz de la unidad:
Es la m -ésima versión de potencia del símbolo clásico (cuadrático, m = 2) de Jacobi (asumiendo y son relativamente primos):
- Si y luego
- Si luego no es un m -ésimo poder
- Si luego puede o no ser una m -ésima potencia
Declaración del teorema
Dejar ser un primo extraño y un número entero primo relativo a Luego
Primer suplemento
Segundo suplemento
Reciprocidad de Eisenstein
Dejar ser primario (y por lo tanto relativamente primo para ), y asumir que también es relativamente primordial para . Entonces [8] [9]
Prueba
El teorema es una consecuencia de la relación de Stickelberger . [10] [11]
Weil (1975) ofrece una discusión histórica de algunas leyes de reciprocidad tempranas, incluida una prueba de la ley de Eisenstein usando sumas de Gauss y Jacobi que se basa en la prueba original de Eisenstein.
Generalización
En 1922 Takagi demostró que si es un campo numérico algebraico arbitrario que contiene el-th raíces de la unidad para una prima , luego la ley de Eisenstein para -th poderes se mantiene en [12]
Aplicaciones
Primer caso del último teorema de Fermat
Asumir que es un primo extraño, que para enteros primos relativos por pares (es decir, en ) y eso
Este es el primer caso del último teorema de Fermat . (El segundo caso es cuando) La reciprocidad de Eisenstein se puede utilizar para demostrar los siguientes teoremas
(Wieferich 1909) [13] [14] Bajo los supuestos anteriores,
- Los únicos números primos por debajo de 6,7 × 10 15 que satisfacen esto son 1093 y 3511. Consulte los números primos de Wieferich para obtener detalles y registros actuales.
(Mirimanoff 1911) [15] Bajo los supuestos anteriores
- Los resultados análogos son verdaderos para todos los primos ≤ 113, pero la demostración no usa la ley de Eisenstein. Véase el número primo de Wieferich Conexión con el último teorema de Fermat .
(Furtwängler 1912) [16] [17] Bajo los supuestos anteriores, para cada primo
(Furtwängler 1912) [18] Bajo los supuestos anteriores, para cada primo
(Vandiver) [19] Bajo los supuestos anteriores, si además luego y
Poderes mod la mayoría de primos
La ley de Eisenstein se puede utilizar para demostrar el siguiente teorema (Trost, Ankeny , Rogers ). [20] Supongamos y eso dónde es un primo extraño. Si se puede resolver para todos, excepto para un número finito de números primos luego
Ver también
- Reciprocidad cuartica
- Reciprocidad óctica
- Criterio de Wieferich
- Congruencia de Mirimanoff
Notas
- ^ Lemmermeyer, pág. 392.
- ^ Irlanda y Rosen, cap. 14,2
- ↑ Lemmermeyer, cap. 11.2, utiliza el término semiprimario.
- ^ Irlanda y Rosen, lema en cap. 14.2 (solo primera afirmación)
- ↑ Lemmereyer, lema 11.6
- ^ Irlanda y Rosen, prop 13.2.7
- ^ Lemmermeyer, prop. 3.1
- ^ a b c Lemmermeyer, thm. 11,9
- ^ Irlanda y Rosen, cap. 14 thm. 1
- ^ Irlanda y Rosen, cap. 14,5
- ↑ Lemmermeyer, cap. 11,2
- ↑ Lemmermeyer, cap. 11 notas
- ^ Lemmermeyer, ej. 11.33
- ^ Irlanda y Rosen, th. 14,5
- ^ Lemmermeyer, ej. 11.37
- ^ Lemmermeyer, ej. 11.32
- ^ Irlanda y Rosen, th. 14,6
- ^ Lemmermeyer, ej. 11.36
- ^ Irlanda y Rosen, notas al cap. 14
- ^ Irlanda y Rosen, cap. 14,6, thm. 4. Esto es parte de un teorema más general: suponga para todos, excepto para un número finito de números primos Entonces yo) si luego pero ii) si luego o
Referencias
- Eisenstein, Gotthold (1850), "Beweis der allgemeinsten Reciprocitätsgesetze zwischen reellen und komplexen Zahlen", Verhandlungen der Königlich Preußische Akademie der Wissenschaften zu Berlin (en alemán): 189-198, volumen 2, reimpreso en Mat.
- Irlanda, Kenneth; Rosen, Michael (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory (Segunda edición) , Nueva York: Springer Science + Business Media , ISBN 0-387-97329-X
- Lemmermeyer, Franz (2000), Leyes de reciprocidad: de Euler a Eisenstein , Berlín: Springer Science + Business Media , ISBN 3-540-66957-4
- Weil, André (1975), "La cyclotomie jadis et naguère", Séminaire Bourbaki, vol. 1973/1974, 26ème année, Exp. No. 452 , Lecture Notes in Math, 431 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 318–338, MR 0432517