La elasticidad lineal es un modelo matemático de cómo los objetos sólidos se deforman y se tensan internamente debido a las condiciones de carga prescritas. Es una simplificación de la teoría no lineal de la elasticidad más general y una rama de la mecánica del continuo .
Los supuestos fundamentales de "linealización" de la elasticidad lineal son: deformaciones infinitesimales o deformaciones "pequeñas" (o deformaciones) y relaciones lineales entre los componentes de tensión y deformación. Además, la elasticidad lineal es válida solo para estados de tensión que no producen fluencia .
Estas suposiciones son razonables para muchos materiales de ingeniería y escenarios de diseño de ingeniería. Por lo tanto, la elasticidad lineal se utiliza ampliamente en el análisis estructural y el diseño de ingeniería, a menudo con la ayuda del análisis de elementos finitos .
Formulación matemática
Las ecuaciones que gobiernan un problema de valor límite elástico lineal se basan en tres ecuaciones diferenciales parciales de tensor para el equilibrio del momento lineal y seis relaciones deformación - desplazamiento infinitesimales . El sistema de ecuaciones diferenciales se completa con un conjunto de relaciones constitutivas algebraicas lineales .
Forma de tensor directo
En forma de tensor directo que es independiente de la elección del sistema de coordenadas, estas ecuaciones gobernantes son: [1]
Ecuación de movimiento , que es una expresión de la segunda ley de Newton :
Ecuaciones de deformación-desplazamiento :
Ecuaciones constitutivas . Para materiales elásticos, la ley de Hooke representa el comportamiento del material y relaciona las tensiones y deformaciones desconocidas. La ecuación general de la ley de Hooke es
donde es el tensor de tensión de Cauchy ,es el tensor de deformación infinitesimal ,es el vector de desplazamiento , es el tensor de rigidez de cuarto orden , es la fuerza corporal por unidad de volumen, es la densidad de masa, representa el operador nabla ,representa una transposición , representa la segunda derivada con respecto al tiempo, y es el producto interno de dos tensores de segundo orden (se implica la suma de los índices repetidos).
Forma de coordenadas cartesianas
Nota: a continuación se utiliza la convención de suma de Einstein de sumar en índices repetidos.
Expresado en términos de componentes con respecto a un sistema de coordenadas cartesiano rectangular , las ecuaciones que gobiernan la elasticidad lineal son: [1]
Ecuación de movimiento :
Notación de ingeniería
donde el subíndice es una abreviatura de y indica , es el tensor de tensión de Cauchy , son las fuerzas del cuerpo, es la densidad de masa, y es el desplazamiento.
Estas son 3 ecuaciones independientes con 6 incógnitas independientes (tensiones).
Ecuaciones de deformación-desplazamiento :
Notación de ingeniería
donde es la cepa. Estas son 6 ecuaciones independientes que relacionan deformaciones y desplazamientos con 9 incógnitas independientes (deformaciones y desplazamientos).
Ecuaciones constitutivas . La ecuación de la ley de Hooke es:
donde es el tensor de rigidez. Estas son 6 ecuaciones independientes que relacionan tensiones y deformaciones. El requisito de la simetría de los tensores de tensión y deformación conduce a la igualdad de muchas de las constantes elásticas, reduciendo el número de elementos diferentes a 21 [2].
Un problema de valor límite elastostático para un medio isótropo-homogéneo es un sistema de 15 ecuaciones independientes y el mismo número de incógnitas (3 ecuaciones de equilibrio, 6 ecuaciones de deformación-desplazamiento y 6 ecuaciones constitutivas). Al especificar las condiciones de contorno, el problema del valor de contorno está completamente definido. Para resolver el sistema, se pueden adoptar dos enfoques de acuerdo con las condiciones de contorno del problema del valor de contorno: una formulación de desplazamiento y una formulación de tensión .
Forma de coordenadas cilíndricas
En coordenadas cilíndricas () las ecuaciones de movimiento son [1]
Las relaciones tensión-desplazamiento son
y las relaciones constitutivas son las mismas que en coordenadas cartesianas, excepto que los índices ,, ahora representa ,,, respectivamente.
Forma de coordenadas esféricas
En coordenadas esféricas () las ecuaciones de movimiento son [1]
Coordenadas esféricas ( r , θ , φ ) como se usan comúnmente en física : distancia radial r , ángulo polar θ ( theta ) y ángulo azimutal φ ( phi ). El símbolo ρ ( rho ) se usa a menudo en lugar de r .
El tensor de deformación en coordenadas esféricas es
(Un) medio isotrópico (in) homogéneo
En medios isotrópicos , el tensor de rigidez da la relación entre las tensiones (tensiones internas resultantes) y las deformaciones (deformaciones resultantes). Para un medio isotrópico, el tensor de rigidez no tiene una dirección preferida: una fuerza aplicada dará los mismos desplazamientos (en relación con la dirección de la fuerza) sin importar la dirección en la que se aplique la fuerza. En el caso isotrópico, el tensor de rigidez se puede escribir:
[ cita requerida ]
donde es el delta de Kronecker , K es el módulo de volumen (o incompresibilidad), yes el módulo de corte (o rigidez), dos módulos elásticos . Si el medio no es homogéneo, el modelo isotrópico es sensible si el medio es constante por partes o débilmente no homogéneo; en el modelo liso fuertemente heterogéneo, la anisotropía debe tenerse en cuenta. Si el medio es homogéneo , los módulos elásticos serán independientes de la posición en el medio. La ecuación constitutiva ahora se puede escribir como:
Esta expresión separa la tensión en una parte escalar a la izquierda que puede estar asociada con una presión escalar y una parte sin trazas a la derecha que puede estar asociada con fuerzas cortantes. Una expresión más simple es: [3]
[4]
donde λ es el primer parámetro de Lamé . Dado que la ecuación constitutiva es simplemente un conjunto de ecuaciones lineales, la deformación puede expresarse en función de las tensiones como: [5]
que es de nuevo, una parte escalar a la izquierda y una parte de corte sin trazas a la derecha. Más simple:
donde es la razón de Poisson yes el módulo de Young .
Elastostatics
La elastostática es el estudio de la elasticidad lineal en condiciones de equilibrio, en las que todas las fuerzas sobre el cuerpo elástico suman cero y los desplazamientos no son función del tiempo. Las ecuaciones de equilibrio son entonces
Notación de ingeniería (tau es esfuerzo cortante )
Esta sección discutirá solo el caso homogéneo isotrópico.
Formulación de desplazamiento
En este caso, los desplazamientos se prescriben en todas partes del límite. En este enfoque, las deformaciones y tensiones se eliminan de la formulación, dejando los desplazamientos como las incógnitas que deben resolverse en las ecuaciones gobernantes. Primero, las ecuaciones de deformación-desplazamiento se sustituyen en las ecuaciones constitutivas (Ley de Hooke), eliminando las deformaciones como incógnitas:
Diferenciando (asumiendo y son espacialmente uniformes) produce:
Sustituyendo en la ecuación de equilibrio se obtiene:
o (reemplazando índices dobles (ficticios) (= suma) k, k por j, j e intercambiando índices, ij a, ji después de, en virtud del teorema de Schwarz )
donde y son parámetros de Lamé . De esta forma, las únicas incógnitas que quedan son los desplazamientos, de ahí el nombre de esta formulación. Las ecuaciones gobernantes obtenidas de esta manera se denominan ecuaciones elastostáticas , el caso especial de las ecuaciones de Navier-Cauchy que se dan a continuación.
Derivación de las ecuaciones de Navier-Cauchy en notación de ingeniería
First, the -direction will be considered. Substituting the strain-displacement equations into the equilibrium equation in the -direction we have
Then substituting these equations into the equilibrium equation in the -direction we have
Using the assumption that and are constant we can rearrange and get:
Following the same procedure for the -direction and -direction we have
These last 3 equations are the Navier–Cauchy equations, which can be also expressed in vector notation as
Una vez que se ha calculado el campo de desplazamiento, los desplazamientos se pueden reemplazar en las ecuaciones de deformación-desplazamiento para resolver las deformaciones, que luego se utilizan en las ecuaciones constitutivas para resolver las tensiones.
La ecuación biharmonic
La ecuación elastostática se puede escribir:
Tomando la divergencia de ambos lados de la ecuación elastostática y asumiendo que las fuerzas del cuerpo tienen divergencia cero (homogénea en el dominio) () tenemos
Teniendo en cuenta que los índices sumados no tienen por qué coincidir, y que las derivadas parciales se conmutan, se considera que los dos términos diferenciales son iguales y tenemos:
de lo cual concluimos que:
Tomando el laplaciano de ambos lados de la ecuación elastostática, y asumiendo además, tenemos
De la ecuación de divergencia, el primer término de la izquierda es cero (Nota: nuevamente, los índices sumados no tienen por qué coincidir) y tenemos:
de lo cual concluimos que:
o, en notación libre de coordenadas que es solo la ecuación biarmónica en.
Formulación de estrés
En este caso, las tracciones de superficie se prescriben en todas partes del límite de la superficie. En este enfoque, las deformaciones y los desplazamientos se eliminan dejando las tensiones como las incógnitas que deben resolverse en las ecuaciones gobernantes. Una vez que se encuentra el campo de tensión, las deformaciones se encuentran utilizando las ecuaciones constitutivas.
Hay seis componentes independientes del tensor de tensión que deben determinarse, sin embargo, en la formulación de desplazamiento, solo hay tres componentes del vector de desplazamiento que deben determinarse. Esto significa que hay algunas restricciones que deben imponerse al tensor de tensión para reducir el número de grados de libertad a tres. Usando las ecuaciones constitutivas, estas restricciones se derivan directamente de las restricciones correspondientes que deben cumplirse para el tensor de deformación, que también tiene seis componentes independientes. Las restricciones sobre el tensor de deformación se derivan directamente de la definición del tensor de deformación en función del campo del vector de desplazamiento, lo que significa que estas restricciones no introducen nuevos conceptos o información. Son las restricciones sobre el tensor de deformación las que se entienden más fácilmente.Si el medio elástico se visualiza como un conjunto de cubos infinitesimales en el estado no tensado, luego de que el medio se tensa, un tensor de deformación arbitrario debe producir una situación en la que los cubos distorsionados aún encajen sin superponerse. En otras palabras, para una deformación dada, debe existir un campo vectorial continuo (el desplazamiento) del cual se puede derivar ese tensor de deformación. Las restricciones en el tensor de deformación que se requieren para asegurar que este es el caso fueron descubiertas por Saint Venant y se denominan "debe existir un campo vectorial continuo (el desplazamiento) del cual se pueda derivar ese tensor de deformación. Las restricciones en el tensor de deformación que se requieren para asegurar que este es el caso fueron descubiertas por Saint Venant y se denominan "debe existir un campo vectorial continuo (el desplazamiento) del cual se pueda derivar ese tensor de deformación. Las restricciones en el tensor de deformación que se requieren para asegurar que este es el caso fueron descubiertas por Saint Venant y se denominan "Ecuaciones de compatibilidad de Saint Venant ". Se trata de 81 ecuaciones, 6 de las cuales son ecuaciones independientes no triviales, que relacionan los diferentes componentes de la deformación. Se expresan en notación índice como:
Notación de ingeniería
Las deformaciones en esta ecuación se expresan luego en términos de las tensiones utilizando las ecuaciones constitutivas, lo que produce las restricciones correspondientes sobre el tensor de tensiones. Estas restricciones sobre el tensor de tensión se conocen como ecuaciones de compatibilidad de Beltrami-Michell :
En la situación especial donde la fuerza del cuerpo es homogénea, las ecuaciones anteriores se reducen a
[6]
Una condición necesaria, pero insuficiente, para la compatibilidad en esta situación es o . [1]
Estas restricciones, junto con la ecuación de equilibrio (o ecuación de movimiento para la elastodinámica) permiten el cálculo del campo del tensor de tensión. Una vez que se ha calculado el campo de tensión a partir de estas ecuaciones, las deformaciones pueden obtenerse de las ecuaciones constitutivas y el campo de desplazamiento de las ecuaciones de deformación-desplazamiento.
Una técnica de solución alternativa es expresar el tensor de tensión en términos de funciones de tensión que automáticamente dan una solución a la ecuación de equilibrio. Entonces, las funciones de tensión obedecen a una única ecuación diferencial que corresponde a las ecuaciones de compatibilidad.
Soluciones para casos elastostáticos
Solución de Thomson: fuerza puntual en un medio isótropo infinito
The most important solution of the Navier–Cauchy or elastostatic equation is for that of a force acting at a point in an infinite isotropic medium. This solution was found by William Thomson (later Lord Kelvin) in 1848 (Thomson 1848). This solution is the analog of Coulomb's law in electrostatics. A derivation is given in Landau & Lifshitz.[7]:§8 Defining
where is Poisson's ratio, the solution may be expressed as
where is the force vector being applied at the point, and is a tensor Green's function which may be written in Cartesian coordinates as:
It may be also compactly written as:
and it may be explicitly written as:
In cylindrical coordinates () it may be written as:
where r is total distance to point.
It is particularly helpful to write the displacement in cylindrical coordinates for a point force directed along the z-axis. Defining and as unit vectors in the and directions respectively yields:
It can be seen that there is a component of the displacement in the direction of the force, which diminishes, as is the case for the potential in electrostatics, as 1/r for large r. There is also an additional ρ-directed component.
Solución de Boussinesq-Cerruti: fuerza puntual en el origen de un semiespacio isotrópico infinito
Another useful solution is that of a point force acting on the surface of an infinite half-space. It was derived by Boussinesq[8] for the normal force and Cerruti for the tangential force and a derivation is given in Landau & Lifshitz.[7]:§8 In this case, the solution is again written as a Green's tensor which goes to zero at infinity, and the component of the stress tensor normal to the surface vanishes. This solution may be written in Cartesian coordinates as [note: a=(1-2ν) and b=2(1-ν), ν== Poissons ratio]:
Otras soluciones:
Fuerza puntual dentro de un semiespacio isotrópico infinito. [9]
Fuerza puntual sobre una superficie de un semiespacio isotrópico. [6]
Contacto de dos cuerpos elásticos: la solución de Hertz (ver código Matlab ). [10] Ver también la página sobre Mecánica de contacto .
Elastodinámica en términos de desplazamientos
La elastodinámica es el estudio de las ondas elásticas e implica la elasticidad lineal con variación en el tiempo. Una onda elástica es un tipo de onda mecánica que se propaga en materiales elásticos o viscoelásticos . La elasticidad del material proporciona la fuerza restauradora de la ola. Cuando ocurren en la Tierra como resultado de un terremoto u otra perturbación, las ondas elásticas generalmente se denominan ondas sísmicas .
La ecuación del momento lineal es simplemente la ecuación de equilibrio con un término inercial adicional:
Si el material se rige por la ley anisotrópica de Hooke (con el tensor de rigidez homogéneo en todo el material), se obtiene la ecuación de desplazamiento de la elastodinámica :
Si el material es isotrópico y homogéneo, se obtiene la ecuación de Navier-Cauchy :
La ecuación de onda elastodinámica también se puede expresar como
donde
es el operador diferencial acústico , yes el delta de Kronecker .
En medios isotrópicos , el tensor de rigidez tiene la forma
dondees el módulo de volumen (o incompresibilidad), yes el módulo de corte (o rigidez), dos módulos elásticos . Si el material es homogéneo (es decir, el tensor de rigidez es constante en todo el material), el operador acústico se convierte en:
Para ondas planas , el operador diferencial anterior se convierte en el operador algebraico acústico :
donde
son los valores propios decon vectores propios paralelo y ortogonal a la dirección de propagación , respectivamente. Las ondas asociadas se denominan ondas elásticas longitudinales y de corte . En la literatura sismológica, las ondas planas correspondientes se denominan ondas P y ondas S (consulte Onda sísmica ).
Elastodinámica en términos de tensiones
La eliminación de desplazamientos y deformaciones de las ecuaciones que gobiernan conduce a la ecuación de Ignaczak de elastodinámica [11]
En el caso de la isotropía local, esto se reduce a
Las principales características de esta formulación incluyen: (1) evita gradientes de cumplimiento pero introduce gradientes de densidad de masa; (2) es derivable de un principio variacional; (3) es ventajoso para manejar problemas de valor límite inicial de tracción, (4) permite una clasificación tensorial de ondas elásticas, (5) ofrece una gama de aplicaciones en problemas de propagación de ondas elásticas; (6) puede extenderse a la dinámica de sólidos clásicos o micropolares con campos de interacción de diversos tipos (termoelásticos, porosos saturados de fluido, piezoelectroelásticos ...) así como a medios no lineales.
Medios homogéneos anisotrópicos
Para medios anisotrópicos, el tensor de rigidez es más complicado. La simetría del tensor de tensiónsignifica que hay como máximo 6 elementos diferentes de estrés. Del mismo modo, hay como máximo 6 elementos diferentes del tensor de deformación. De ahí el tensor de rigidez de cuarto orden puede escribirse como una matriz (un tensor de segundo orden). La notación de Voigt es el mapeo estándar para los índices tensoriales,
Con esta notación, se puede escribir la matriz de elasticidad para cualquier medio linealmente elástico como:
Como se muestra, la matriz es simétrico, esto es el resultado de la existencia de una función de densidad de energía de deformación que satisface . Por lo tanto, hay como máximo 21 elementos diferentes de.
El caso especial isotrópico tiene 2 elementos independientes:
El caso anisotrópico más simple, el de la simetría cúbica, tiene 3 elementos independientes:
El caso de la isotropía transversal , también llamada anisotropía polar, (con un solo eje (los 3 ejes) de simetría) tiene 5 elementos independientes:
Cuando la isotropía transversal es débil (es decir, cercana a la isotropía) , es conveniente una parametrización alternativa que utilice parámetros de Thomsen para las fórmulas de velocidades de onda.
El caso de la ortotropía (la simetría de un ladrillo) tiene 9 elementos independientes:
Elastodinámica
La ecuación de onda elastodinámica para medios anisotrópicos se puede expresar como
donde
es el operador diferencial acústico , yes el delta de Kronecker .
Ondas planas y ecuación de Christoffel
Una onda plana tiene la forma
con de unidad de longitud. Es una solución de la ecuación de onda con forzamiento cero, si y solo si y constituyen un par de autovalores / autovectores del operador algebraico acústico
Esta condición de propagación (también conocida como la ecuación de Christoffel ) se puede escribir como
dondedenota la dirección de propagación y es la velocidad de fase.
Ver también
Parte de una serie sobre
Mecánica de Medios Continuos
Leyes
Conservations
Mass
Momentum
Energy
Inequalities
Clausius–Duhem (entropy)
Mecánica de sólidos
Deformation
Elasticity
linear
Plasticity
Hooke's law
Stress
Finite strain
Infinitesimal strain
Compatibility
Bending
Contact mechanics
frictional
Material failure theory
Fracture mechanics
Mecánica de fluidos
Fluids
Statics · Dynamics
Archimedes' principle · Bernoulli's principle
Navier–Stokes equations
Poiseuille equation · Pascal's law
Viscosity
(Newtonian · non-Newtonian)
Buoyancy · Mixing · Pressure
Liquids
Surface tension
Capillary action
Gases
Atmosphere
Boyle's law
Charles's law
Fick's law
Graham's law
Gay-Lussac's law
Combined gas law
Plasma
Reología
Viscoelasticity
Rheometry
Rheometer
Smart fluids
Electrorheological
Magnetorheological
Ferrofluids
Científicos
Bernoulli
Boyle
Cauchy
Charles
Euler
Fick
Gay-Lussac
Graham
Hooke
Newton
Navier
Noll
Pascal
Stokes
Truesdell
v
t
mi
El método de Castigliano
Teorema de Clapeyron (elasticidad)
Mecánicos de contacto
Deformación
Elasticidad (física)
GRADELA
ley de Hooke
Teoría de la deformación infinitesimal
Solución Michell
Plasticidad (física)
Problema de Signorini
Sistema de resorte
Estrés (mecánica)
Funciones de estrés
Referencias
^ a b c d e Slaughter, WS, (2002), La teoría linealizada de la elasticidad , Birkhauser.
^ Belen'kii; Salaev (1988). "Efectos de deformación en cristales de capa". Uspekhi Fizicheskikh Nauk . 155 : 89. doi : 10.3367 / UFNr.0155.198805c.0089 .
^ Aki, Keiiti ; Richards, Paul G. (2002). Sismología cuantitativa (2 ed.). Sausalito, California: University Science Books.
^ Mecánica de continuo para ingenieros 2001 Mase, Eq. 5.12-2
^ Sommerfeld, Arnold (1964). Mecánica de cuerpos deformables . Nueva York: Academic Press.
↑ a b tribonet (16 de febrero de 2017). "Deformación elástica" . Tribología . Consultado el 16 de febrero de 2017 .
^ a b Landau, LD ; Lifshitz, EM (1986). Teoría de la elasticidad (3ª ed.). Oxford, Inglaterra: Butterworth Heinemann. ISBN 0-7506-2633-X.
^ Boussinesq, Joseph (1885). Application des potentiels à l'étude de l'équilibre et du mouvement des solides élastiques . París, Francia: Gauthier-Villars.
^ Mindlin, RD (1936). "Fuerza en un punto del interior de un sólido semi-infinito" . Física . 7 (5): 195–202. Código Bibliográfico : 1936Physi ... 7..195M . doi : 10.1063 / 1.1745385 .
^ Hertz, Heinrich (1882). "Contacto entre cuerpos sólidos elásticos". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 92 .
^ Ostoja-Starzewski, M. , (2018), Ecuación de Ignaczak de elastodinámica , matemáticas y mecánica de sólidos. doi : 10.1177/1081286518757284